2018_2019学年北京市东城区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市东城区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 边长为 2 的正方形内接于 ⊙M，则 ⊙M 的半径是
A. 1B. 2C. 2D. 22

3. 若要得到函数 y=x+12+2 的图象，只需将函数 y=x2 的图象
A. 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
B. 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
C. 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
D. 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度

4. Ax1,y1，Bx2,y2 都在反比例函数 y=2x 的图象上，若 x1A. y2>y1>0B. y1>y2>0C. y2
5. A，B 是 ⊙O 上的两点，OA=1，AB 的长是 13π，则 ∠AOB 的度数是
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

6. △DEF 和 △ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，若 △DEF 的面积是 2，则 △ABC 的面积是
A. 2B. 4C. 6D. 8

7. 已知函数 y=−x2+bx+c，其中 b>0，c<0，此函数的图象可以是
A. B.
C. D.

8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如表所示：
移植棵数n成活数m成活率m/n移植棵数n成活数m成活率
下面有四个推断：
①当移植的树数是 1500 时，表格记录成活数是 1335，所以这种树苗成活的概率是 0.890；
②随着移植棵数的增加，可以估计树苗成活的概率是 0.902；
③若小张移植 10000 棵这种树苗，则可能成活 9000 棵；
④若小张移植 20000 棵这种树苗，则一定成活 18000 棵．
其中合理的是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，csA=13，AB=6，则 AC 的长是 ．

10. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴没有交点，写出一个满足条件的 c 的值： ．

11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若点 B 与点 A 关于点 O 中心对称，则点 B 的坐标为 ．

12. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，C 是 AB 的中点，连接 OC 并延长交 ⊙O 于点 D．若 CD=1，AB=4，则 ⊙O 的半径是 ．

13. 某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1 m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边 AB，OA 的长分别为 0.7 m，0.3 m，观测点 O 到旗杆的距离 OE 为 6 m，则旗杆 MN 的高度为 m .

14. ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 平分 ∠BAD，则正确结论的序号是 ．
① AB=AD；② BC=CD；③ AB=AD；④ ∠BCA=∠DCA；⑤ BC=CD．

15. 已知函数 y=x2−2x−3，当 −1≤x≤a 时，函数的最小值是 −4，则实数 a 的取值范围是 ．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A8,0，C0,6，矩形 OABC 的对角线交于点 P，点 M 在经过点 P 的函数 y=kxx>0 的图象上运动，k 的值为 ，OM 长的最小值为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs30∘−2sin45∘+3tan60∘+∣1−2∣．

18. 如图，已知等腰 △ABC 内接于 ⊙O，AB=AC，∠BOC=100∘，求 △ABC 的顶角和底角的度数．

19. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，∠DEC=90∘．
（1）求证：△ADE∽△BEC．
（2）若 AD=1，BC=3，AE=2，求 AB 的长．

20. 在 △ABC 中，∠B=135∘，AB=22，BC=1．
（1）求 △ABC 的面积；
（2）求 AC 的长．

21. 北京 2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、 物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、 地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．
（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；
（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，∠C=30∘．将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 得到 △AʹBCʹ，其中点 Aʹ，Cʹ 分别是点 A，C 的对应点．
（1）作出 △AʹBCʹ（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接 AAʹ，求 ∠CʹAʹA 的度数．

23. 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30∘ 角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h=20t−5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高?最大高度是多少?
（2）小球飞行时间 t 在什么范围时，飞行高度不低于 15 m?

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+4 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于点 A−3,a 和点 B．
（1）求反比例函数的表达式和点 B 的坐标；
（2）直接写出不等式 kx<2x+4 的解集．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC，AC 分别交于点 D，E．DF 是 ⊙O 的切线，交 AC 于点 F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若 AE=4，DF=3，求 tanA．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−2mx+nm≠0 与 x 轴交于点 A，B，点 A 的坐标为 −2,0．
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）直线 y=12x−4m−n 过点 B，且与抛物线的另一个交点为 C．
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点 P 为抛物线对称轴上的动点，过点 P 的两条直线 l1:y=x+a 和 l2:y=−x+b 组成图形 G．当图形 G 与线段 BC 有公共点时，直接写出点 P 的纵坐标 t 的取值范围．

27. 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=23，以点 B 为圆心，3 为半径作圆．点 P 为 ⊙B 上的动点，连接 PC，作 PʹC⊥PC，使点 Pʹ 落在直线 BC 的上方，且满足 PʹC:PC=1:3，连接 BP，APʹ．
（1）求 ∠BAC 的度数，并证明 △APʹC∽△BPC；
（2）若点 P 在 AB 上时．
①在图 2 中画出 △APʹC；
②连接 BPʹ，求 BPʹ 的长；
（3）点 P 在运动过程中，BPʹ 是否有最大值或最小值?若有，请直接写出 BPʹ 取得最大值或最小值时 ∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 G，若在图形 G 上存在一点 N，使 M，N 两点间的距离等于 1，则称 M 为图形 G 的和睦点．
（1）当 ⊙O 的半径为 3 时，在 P11,0，P23,1，P372,0，P45,0 中，⊙O 的和睦点是 ；
（2）若 P4,3 为 ⊙O 的和睦点，求 ⊙O 的半径 r 的取值范围；
（3）点 A 在直线 y=−1 上，将点 A 向上平移 4 个单位长度得到点 B，以 AB 为边构造正方形 ABCD，且 C，D 两点都在 AB 右侧．已知 E2,2，若线段 OE 上的所有点都是正方形 ABCD 的和睦点，直接写出点 A 的横坐标 xA 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
2. C
3. B
4. C
5. B
6. D
7. D
8. C
第二部分
9. 2
10. 2（答案不唯一）
11. 2,−1
12. 2.5
13. 15
14. ②⑤
15. a≥1
16. 12，26
第三部分
17. 原式=2×32−2×22+3×3+2−1=3−2+33+2−1=43−1.
18. 如图 1，
当点 A 在优弧上时，∠A=50∘，∠ABC=∠ACB=65∘；
如图 2，
当点 A 在劣弧上时，∠A=130∘，∠ABC=∠ACB=25∘．
19. （1） 如图，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90∘．
∵AD∥BC，
∴∠A=90∘．
∴∠1+∠3=90∘．
∵∠DEC=90∘．
∴∠1+∠2=90∘．
∴∠3=∠2．
∴△ADE∽△BEC．
（2） 由（1）可得，ADBE=AEBC，
AD=1，BC=3，AE=2，
∴BE=1.5，
∴AB=3.5．
20. （1） 过点 A 作 CB 的垂线交 CB 的延长线于点 D，
则 ∠D=90∘．
∵∠ABC=135∘，
∴∠ABD=45∘．
∴AD=BD．
∵AB=22，
根据勾股定理，求得 BD=AD=2．
∴S△ABC=12×1×2=1．
（2） 在 Rt△ADC 中，AD=2，DC=DB+BC=3，AC2=AD2+DC2，
∴AC=13．
21. （1） 共九种选考方案，分别是：物理、历史、地理；物理、历史、思想品德；物理、地理、思想品德；生化、历史、地理；生化、历史、思想品德；生化、地理、思想品德；物理、生化、历史；物理、生化、地理；物理、生化、思想品德．
（2） P包含物理和历史=39=13．
22. （1） 如图 1，
则 △AʹBCʹ 为所求作的三角形．
（2） 如图 2，
由作图可知，△ABAʹ 为等边三角形，
∴∠AAʹB=60∘．
∵∠BAʹCʹ=90∘，
∴∠CʹAʹA=150∘．
23. （1） h=20t−5t2=−5t−22+20，
当 t=2 时，小球最高，最大高度是 20 m．
（2） 令 h=20t−5t2=−5t−22+20=15，
解得 t1=1，t2=3．
当 1≤t≤3 时，小球飞行高度不低于 15 m．
24. （1） ∵A−3,a 在直线 y=2x+4 上，
∴a=−2．
∵A−3,a 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=6．
∴ 反比例函数的表达式是 y=6x．
由 y=6x,y=2x+4, 解得 x1=−3,y1=−2 或 x2=1,y2=6.
∴B1,6．
（2） −31．
25. （1） 连接 AD，OD，如图 1．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵AB=AC，
∴BD=CD．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DF 是 ⊙O 的切线，OD 是 ⊙O 的半径，
∴DF⊥OD．
∴DF⊥AC．
（2） 连接 BE，如图 2，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴DF∥BE，
∴CDDB=CFEF．
∵CD=DB，
∴CF=EF．
∴BE=2DF=6．
在 Rt△ABE 中，tanA=BEAE=64=32．
26. （1） 抛物线的对称轴为直线 x=1．
（2） 根据抛物线的对称性，
∵A−2,0，
∴B4,0．
①抛物线过点 A，直线 y=12x−4m−n 过点 B，
可得 4m+4m+n=0,12×4−4m−n=0, 解得 m=−12,n=4.
∴ 直线的表达式是 y=12x−2，抛物线的表达式 y=−12x2+x+4．
② −152≤t≤3．
27. （1） Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=23，
∴tan∠BAC=3．
∴∠BAC=60∘．
∵PʹC⊥PC，
∴∠PʹCP=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠PʹCA=∠PCB．
∵AC=2，BC=23，PʹC:PC=1:3，
∴AC:BC=PʹC:PC．
∴△PʹCA∽△PCB．
（2） ①作图：
② Rt△ABC 中，AC=2，BC=23，
∴AB=4，∠PBC=30∘．
∵△PʹCA∽△PCB，
∴∠PʹAC=∠PBC=30∘，APʹ:PB=1:3．
∵P 在以 3 为半径的圆上，
∴BP=3．
∴APʹ=1．
∵∠BAC=60∘，
∴∠PʹAB=90∘．
Rt△PʹAB 中，APʹ=1，AB=4，
∴BPʹ=17．
（3） 当 BPʹ 最大时 ∠PBC=120∘；
当 BPʹ 最小时 ∠PBC=60∘．
（当 A，B，Pʹ 共线时，BPʹ 取到最大值和最小值，如图所示）．
28. （1） P2，P3
（2） 由勾股定理可知，OP=5，
以点 O 为圆心，分别作半径为 4 和 6 的圆，分别交射线 OP 于点 Q，R，可知 PQ=PR=1，
此时 P 是 ⊙O 的和睦点；
若 ⊙O 半径 r 满足 01，此时，P 不是 ⊙O 的和睦点；
若 ⊙O 半径 r 满足 r>6 时，r−OP>1，此时，P 也不是 ⊙O 的和睦点；
若 ⊙O 半径 r 满足 4综上所述，4≤r≤6．
（3） −5+2≤xA≤−3 或 2−1≤xA≤1．