2016年江西省吉安市遂川县于田三中中考数学模拟试卷（五）（解析版）

这是一份2016年江西省吉安市遂川县于田三中中考数学模拟试卷（五）（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2016年江西省吉安市遂川县于田三中中考数学模拟试卷（五）
　
一、选择题（共6小题，每小题3分）
1．下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．±5
3．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，∠E=120°，∠F=90°，∠A+∠C的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
　
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分）
7．化简： •=______．
8．不等式组的解集为______．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．

10．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为______．
11．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表（有1个数据被遮盖）
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
成绩
91
89
★
90
92
90
那么这五名同学成绩的方差是______分2．
12．如图，已知圆锥母线长30cm，底面半径r=8cm，则这个圆锥的侧面积是______cm2．

　
三、解答题(本大题共11个小题，共84分）
13．计算：（π﹣2009）0++||+（）﹣1．
14．先化简后求值：当时，求代数式的值．
15．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
16．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5米，今年他们仍在原地A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？（精确到0.01）
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.732）

17．我市为了解中学生的视力情况，对某校三个年级的学生视力进行了抽样调查，得到不完整的统计表与扇形统计图如下，其中扇形统计图的圆心角α为36°，x表示视力情况，根据上面提供的信息，回答下列问题：
分组
视力情况
频数
频率
A
4.0≤x＜4.3
20

B
4.3≤x＜4.6

0.35
C
4.6≤x＜4.9
50

D
x≥4.9


（1）此次共调查了______人；
（2）请将表格补充完整；
（3）这组数据的中位数落在______组内；
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是______．

18．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．

19．市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总量为106m3的土石方任务，该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆，甲型车平均每天可以运送土石方80m3，乙型车平均每天可以运送土石方120m3，计划100天完成运输任务．
（1）该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少台？
（2）如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，在甲型卡车数量不变情况下，公司至少应增加多少辆乙型卡车？
20．已知函数y=﹣1与函数y=kx交于点A（2，b）、B（﹣3，m）两点（点A在第一象限），
（1）求b，m，k的值；
（2）函数y=﹣1与x轴交于点C，求△ABC的面积．

21．园林部门计划在一定时间内完成植树任务，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．现两队合作2天后，余下任务由乙队独做，正好按期完成任务．问原计划多少天完成植树任务？
22．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角形的顶点P放在斜边AC上．
（1）设三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N．
①当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，得到图1，写出图中的一对全等三角形；
②在①的条件下，写出与△PEM相似的三角形，并直接写出PN与PM的数量关系．
（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB，BC的延长线于点M，N．
①请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；
②在①的条件下，当△PCN是等腰三角形时，若BC=3cm，则线段BN的长是______．

23．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．

　

2016年江西省吉安市遂川县于田三中中考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共6小题，每小题3分）
1．下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
B、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．
故选B．
　
2．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．±5
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的含义和求法，可得﹣5的绝对值是：|﹣5|=5，据此解答即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是：|﹣5|=5．
故选：A．
　
3．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】长方体的表面展开图的特点，有四个长方形的侧面和上下两个底面组成．
【解答】解：A、是长方体平面展开图，不符合题意；
B、是长方体平面展开图，不符合题意；
C、有两个面重合，不是长方体平面展开图，不符合题意；
D、是长方体平面展开图，不符合题意．
故选：C．
　
4．如图，AB∥CD，∠E=120°，∠F=90°，∠A+∠C的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
【分析】分别过E，F作GE∥AB，FH∥AB，则AB∥GE∥FH∥CD，根据平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠C，∠GEF+∠HFE=180°，于是得到∠1+∠GEF+∠HFE+∠2=210°，进而推出结论．
【解答】解：分别过E，F作GE∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GE∥FH∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，∠GEF+∠HFE=180°，
∵∠E=120°，∠F=90°，
∴∠1+∠GEF+∠HFE+∠2=210°，
∴∠1+∠2=210°﹣180°=30°，
即∠A+∠C=30°，
故选A．

　
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．

　
6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D．
　
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分）
7．化简： •=　　．
【考点】分式的乘除法．
【分析】本题考查的是分式的乘法运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：原式=•
=．
故答案为：．
　
8．不等式组的解集为　﹣1≤x＜5　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣1；
解第二个不等式得：x＜5，
则不等式组的解集是：﹣1≤x＜5．
故答案是：﹣1≤x＜5．
　
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为　　．

【考点】弧长的计算；含30度角的直角三角形．
【分析】连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，根据弧长公式求出的长度．
【解答】解：连接AE，
在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，
∴∠DEA=30°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEA=30°，
∴的长度为： =，
故答案为：．

　
10．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为　　．
【考点】概率公式．
【分析】向上一面出现的点数大于2且小于5的共2种情况．
【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2且小于5的情况有2种，
故其概率是=，
故答案为：．
　
11．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表（有1个数据被遮盖）
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
成绩
91
89
★
90
92
90
那么这五名同学成绩的方差是　2　分2．
【考点】方差．
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×5﹣（91+89+90+92）=88，
方差= [（91﹣90）2+（89﹣90）2+（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2]=2．
故答案为：2．
　
12．如图，已知圆锥母线长30cm，底面半径r=8cm，则这个圆锥的侧面积是　240π　cm2．

【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是8cm，则底面周长=16πcm，圆锥的侧面积=×16π×30=240πcm2．
故答案为：240π．
　
三、解答题(本大题共11个小题，共84分）
13．计算：（π﹣2009）0++||+（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据零指数幂、二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂的运算，得出各部分的最简值，然后合并可得出答案．
【解答】解：原式=1+2+2﹣+2=5+．
　
14．先化简后求值：当时，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】把所求的分式中后边的两个分式的分子和分母分解因式，相乘，然后通分相减即可化简，最后把x的值代入即可求解．
【解答】解：原式=﹣
=﹣
=，
当x=﹣1时，原式=1，
当时，原式=1．
　
15．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2中，
概率是=．

　
16．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5米，今年他们仍在原地A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？（精确到0.01）
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，
在Rt△ABC中，AB===5（m），
在Rt△DAB中，BD=AB•tan37°≈5×0.75≈6.495（m），
则CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495≈1.50（m）．
答：这棵树一年约生长了1.50m．
　
17．我市为了解中学生的视力情况，对某校三个年级的学生视力进行了抽样调查，得到不完整的统计表与扇形统计图如下，其中扇形统计图的圆心角α为36°，x表示视力情况，根据上面提供的信息，回答下列问题：
分组
视力情况
频数
频率
A
4.0≤x＜4.3
20

B
4.3≤x＜4.6

0.35
C
4.6≤x＜4.9
50

D
x≥4.9


（1）此次共调查了　200　人；
（2）请将表格补充完整；
（3）这组数据的中位数落在　C　组内；
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是　108°　．

【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．
【分析】（1）根据圆心角α为36°，求出A组所占的百分比，的出频率，再根据频数是20，即可得出总人数；
（2）根据频数、频率之间的关系，分别求出B组的频数、C组的频率、D组的频数以及频率，填表即可；
（3）根据中位数的定义即可得出这组数据的中位数落在C组内；
（4）用360°乘以D组的频率即可得出答案．
【解答】解：（1）∵圆心角α为36°，
∴A组的频率是： =0.1，
∴总人数是20÷0.1=200（人），
故答案为：200；
（2）B组的频数是200×0.35=70；
C组的频率是50÷200=0.25；
D组的频数是：200﹣20﹣70﹣50=60，
频率是60÷200=0.3；
填表如下：
分组
视力情况
频数
频率
A
4.0≤x＜4.3
20
0.1
B
4.3≤x＜4.6
70
0.35
C
4.6≤x＜4.9
50
0.25
D
x≥4.9
60
0.30
（3）∵这组数据共有200个数，
∴中位数是第100，101个数的平均数，
∴这组数据的中位数落在C组内；
故答案为：C．
（4）扇形统计图中“D组”的扇形所对的圆心角的度数是360°×0.30=108°；
故答案为：108°．
　
18．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】（1）根据平行得出∠DAM=∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD=CN，推出四边形ADCN是平行四边形即可；
（2）根据∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC求出∠MCD=∠MDC，推出MD=MC，求出MD=MN=MA=MC，推出AC=DN，根据矩形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠DAM=∠NCM，
∵在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；

（2）解：四边形ADCN是矩形，
理由如下：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．
　
19．市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总量为106m3的土石方任务，该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆，甲型车平均每天可以运送土石方80m3，乙型车平均每天可以运送土石方120m3，计划100天完成运输任务．
（1）该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少台？
（2）如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，在甲型卡车数量不变情况下，公司至少应增加多少辆乙型卡车？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设该公司甲种型号的卡车有x台，乙种型号的卡车有y台，根据等量关系：该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆；某运输公司承担运送总量为106m3的土石方任务；列出方程组求解即可；
（2）可设公司增加z辆乙型卡车，根据不等关系：剩下的所有运输任务必须在50天内完成，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）可设该公司甲种型号的卡车有x台，乙种型号的卡车有y台，依题意有
，
解得．
答：设该公司甲种型号的卡车有50台，乙种型号的卡车有50台；

（2）设公司增加z辆乙型卡车，依题意有
40（80×50+120×50）+50[80×50+120×（50+y）]≥106，
解得z≥16，
∵z为整数，
∴公司至少应增加17辆乙型卡车．
　
20．已知函数y=﹣1与函数y=kx交于点A（2，b）、B（﹣3，m）两点（点A在第一象限），
（1）求b，m，k的值；
（2）函数y=﹣1与x轴交于点C，求△ABC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A（2，b），B（﹣3，m）代入函数解析式进行计算，求得b和m的值，再根据正比例函数解析式，求得k的值；
（2）先求出函数y=﹣1与x轴交点C，再计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵点A（2，b），B（﹣3，m）在函数y=﹣1的图象上
∴
解得b=2，m=﹣3
∴A（2，2）
∴把A（2，2）代入y=kx，得2=2k
∴k=1；
（2）∵函数y=﹣1与x轴交于点C，
∴C（6，0），
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=×6×2+×6×3=15．

　
21．园林部门计划在一定时间内完成植树任务，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．现两队合作2天后，余下任务由乙队独做，正好按期完成任务．问原计划多少天完成植树任务？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设原计划x天完成植树任务，则乙队单独完成的时间是（x+3）天，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设原计划x天完成植树任务，则乙队单独完成的时间是（x+3）天，由题意，得
2（+）+=1，
解得：x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
答：原计划6天完成植树任务．
　
22．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角形的顶点P放在斜边AC上．
（1）设三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N．
①当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，得到图1，写出图中的一对全等三角形；
②在①的条件下，写出与△PEM相似的三角形，并直接写出PN与PM的数量关系．
（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB，BC的延长线于点M，N．
①请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；
②在①的条件下，当△PCN是等腰三角形时，若BC=3cm，则线段BN的长是　1cm或5cm　．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根据AAS推出两三角形全等即可；②根据已知条件得到AB=BC，求出PE=BC，PF=AB，根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，根据相似三角形的性质得到==，即可得出答案．
（2）①根据相似三角形的性质得到=2，设CF=x，则PE=2x，求出PF=x，根据相似三角形的性质即可得到结论；②求出CP=2cm，分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，得出△PCN是等边三角形，求出CN=CP=2cm，即可得到结论；第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，求出CN=PC=2cm，即可得到结论．
【解答】（1）解：①△AEP≌△PFC，
理由是：∵P为AC中点，
∴AP=PC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，
∴PF∥AB，PE∥BC，
∴∠APE=∠C=60°，
在△AEP和△PFC中

∴△AEP≌△PFC（AAS）；

②△PFN∽△PEM，PN=PM，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P为AC中点，
∴E为AB中点，F为BC中点，
∴PE=BC，PF=AB，
∴=，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴==，
∴PN=PM．
（2）①PM=2PN，如图1，
证明：过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠C，
∴△AEP∽∠PFC，
∴=2，
设CF=x，则PE=2x，
在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，
∴PF=x，
∵在四边形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，
∴∠EPF=90°，
即∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠NPF=∠EPM，
∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN，
∴=，
∴PM=PN；

②解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm，
∴AC=2BC=6cm，
∵AP=2PC，
∴CP=2cm，
分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，如图2，
∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，
∴△PCN是等边三角形，
∴CN=CP=2cm，
∴BN=BC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm；
第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，如图3，
∵∠PCN=180°﹣60°=120°，
∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，
即CN=PC=2cm，
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，
即BN的长是1cm或5cm，
故答案为：1cm或5cm．



　
23．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．

【考点】二次函数综合题；一次函数的应用；平行四边形的性质；相似三角形的性质．
【分析】方法一：
（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，﹣a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
方法二：
（1）利用一次函数求出B点坐标，利用抛物线求出D点坐标，进而求出BD．
（2）因为以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似，所以∠OMN=∠OBA或∠OMN=∠OAB，分类讨论MN∥OB或OM⊥BC两种情况，并进行求解．
（3）求出PH的参数长度，当PH=BO=2时，求出P点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），
∴
解得：，
∴y=﹣x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；

（2）存在．
如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．
∵y=﹣2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MNO时，
∴，
∴，
解得：a1=1，a2=﹣2（舍去）
∴M（1，2）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
，
∴，
∴a=或（舍去），
∴M（，）．
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；

（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．
∴2=﹣b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．

方法二：
（1）略．
（2）设M（a，﹣a2+a+2），
∵MN⊥x轴，
∴∠OMN=∠OBA或∠OMN=∠OAB，
①当∠OMN=∠OBA时，
∵△BOC∽△MON，
∴，
∴，
∴a1=1，a2=﹣2（舍），
∴M1（1，2），
②当∠OMN=∠OAB时，
∵△BOC∽△MON，
∴OM⊥BC，
∴KOM×KBC=﹣1，
∴=﹣1，
∴2a2﹣a﹣4=0，
∴a1=，a2=（舍），
∴M2（，）．

（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2），
∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2，
∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．
∴2=﹣b2+3b，
∴b1=1，b2=2，
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0），
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．



　

2016年9月30日