福建省福州市连江县2021-2022学年八年级（上）期中数学【试卷+答案】

这是一份福建省福州市连江县2021-2022学年八年级（上）期中数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷（A卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式运算中结果是x6是（　　）
A．x4+x2 B．x12÷x2 C．（x2）3 D．x2•x3
4．（4分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（　　）

A．SSS B．HL C．AAS D．SAS
5．（4分）若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
6．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝60°，∠C′＝20°，则∠B′的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
7．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（　　）

A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
8．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（　　）
A．17cm B．15cm C．13cm D．13cm或17cm
9．（4分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝n°，则∠A的度数是（　　）

A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．180°﹣n°
10．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是　 　．

12．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　 　．
13．（4分）若（x+3）0＝1，则x的取值范围是　 　．
14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．

15．（4分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　 　°．

16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，则3∠ADB﹣∠CAD＝　 　．

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2；
（2）（x+y）（y﹣x）﹣y（y﹣2x）．
18．（8分）如图，已知：AB＝DC，AE＝BF，CE＝DF，求证：△AEC≌△BFD．

19．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；并写出点B1与点C1的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使BP+CP的值最小．（保留画图痕迹）

20．（8分）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．即：如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）尺规作图：在AC上求作一点D，使得AD＝BD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BD，请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．

22．（10分）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，根据此图：
（1）写出大正方形、中间小正方形与长方形的面积之间的等量关系式（用含a、b的等式表示），并运用乘法公式验证你写出的等量关系式；
（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．

23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F．
（1）求∠APB的度数；
（2）求证：PA＝PF．

24．（12分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，并且AE＝CD，AD与BE相交于点F，连接FC，BF＝2AF．
求证：（1）∠CAD＝∠ABE；
（2）CF⊥BE．

25．（14分）如图，等边△ADE的顶点D恰好在等边△ABC的边BC上，AC、ED相交于点G，连接CE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）F是ED延长线上的点，且∠FCD＝∠CAD，判断CF和GF数量关系，并证明．


2021-2022学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用三角形高的定义，过B点作AC的垂线，垂线段为AC边的高．
【解答】解：AC上的高，画法正确的是

故选：B．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的高．
3．（4分）下列各式运算中结果是x6是（　　）
A．x4+x2 B．x12÷x2 C．（x2）3 D．x2•x3
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x4+x2，无法计算，不合题意；
B、x12÷x2＝x10，不合题意；
C、（x2）3＝x6，符合题意；
D、x2•x3＝x5，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（　　）

A．SSS B．HL C．AAS D．SAS
【分析】利用作法可得到OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，再加上公共边OP，则可利用“HL”判断△POM≌△PON．
【解答】解：由作法可得OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO＝∠PNO＝90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中
，
所以△POM≌△PON（HL）．
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定方法．
5．（4分）若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的二次项，得出6+2m＝0，然后求解即可得出答案．
【解答】解：（2x2+m）（2x2+3）
＝4x4+6x2+2mx2+3m，
∵2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，
∴6+2m＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝60°，∠C′＝20°，则∠B′的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
∴∠B′＝100°，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（　　）

A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
【分析】由于∠ACB＝∠DAC，加上公共边AC，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DAC，AC＝CA，
∴当添加AB∥CD时，∠BAC＝∠DCA，则可根据“ASA”判断△BAC≌△DCA；
当添加∠B＝∠D时，则可根据“AAS”判断△BAC≌△DCA；
当添加AD＝BC时，则可根据“SAS”判断△BAC≌△DCA．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
8．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（　　）
A．17cm B．15cm C．13cm D．13cm或17cm
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．（4分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝n°，则∠A的度数是（　　）

A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．180°﹣n°
【分析】根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，结合∠DBA+∠DCA＝n°可求解∠A的度数．
【解答】解：∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，
∵∠DBA+∠DCA＝n°，
∴∠A＝90°﹣n°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．
10．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是　三角形的稳定性　．

【分析】钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
【解答】解：这样做根据的数学知识是：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．（4分）若（x+3）0＝1，则x的取值范围是　x≠﹣3　．
【分析】根据任何非0数的0次幂等于1，可得答案．
【解答】解：由（x+3）0＝1，得
x+3≠0，
解得x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　　．

【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
15．（4分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　90　°．

【分析】首先证明△COD≌△AOB，利用全等三角形的性质可得∠1＝∠BAO，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO，
在△COD和△AOB中，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴∠1＝∠BAO，
∵∠2+∠BAO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．

【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，则3∠ADB﹣∠CAD＝　180°　．

【分析】由条件可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠BAD，再利用三角形内角和定理和外角的性质可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠DAB，
∴2∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣∠C，
又∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠C＝∠ADB﹣∠CAD，
∴2∠ADB＝180°﹣（∠ADB﹣∠CAD），
∴3∠ADB﹣∠CAD＝180°，
故答案为：180°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理、外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2；
（2）（x+y）（y﹣x）﹣y（y﹣2x）．
【分析】（1）根据多项式除以单项式的计算方法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的方法将式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2
＝（4a2b3﹣8a3b2）÷4a2b2
＝4a2b3÷4a2b2﹣8a3b2÷4a2b2
＝b﹣2a；
（2）（x+y）（y﹣x）﹣y（y﹣2x）
＝y2﹣x2﹣y2+2xy
＝﹣x2+2xy．
【点评】本题考查整式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法和平方差公式的应用．
18．（8分）如图，已知：AB＝DC，AE＝BF，CE＝DF，求证：△AEC≌△BFD．

【分析】先证明AC＝BD，然后根据“SSS”可判断△AEC≌△BFD．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝BD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
19．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；并写出点B1与点C1的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使BP+CP的值最小．（保留画图痕迹）

【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）连接BC1与y轴交点即为所求P点．
【解答】解：（1）如图所示：

B1（﹣3，﹣1），C1（﹣2，2）．
（2）如图所示，根据两点之间线段最短，所以BP+CP的最小值为BC1．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了最短路径问题．
20．（8分）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．即：如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）尺规作图：在AC上求作一点D，使得AD＝BD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BD，请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

【分析】（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即可；
（2）由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，则∠DBC＝36°，再证∠BDC＝∠C，得BD＝BC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．

【点评】本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．

【分析】证明△ADE≌△ADF即可，然后可得DF＝DE．
【解答】证明：如图，

∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠ADB＝45°，∠ADF＝∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（ASA），
∴DF＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，比较基础．对于全等三角形的证明，差什么条件就去寻找什么条件，如果条件不是明显的，则先通过推导得出所需要的条件．
22．（10分）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，根据此图：
（1）写出大正方形、中间小正方形与长方形的面积之间的等量关系式（用含a、b的等式表示），并运用乘法公式验证你写出的等量关系式；
（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．

【分析】（1）根据图形面积的表示，可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可得，2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝13﹣（）2＝13﹣5＝8，则由（1）题结论得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（）2+2×8＝5+16＝21．
【解答】解：（1）∵大正方形的边长是a+b，
∴它的面积为：（a+b）2，
又∵大正方形是4块小长方形和1个小正方形拼成，
∴它的面积还可以表示成：（a﹣b）2+4ab，
∴可得等式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
乘法公式验证：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）根据完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可得，
2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝13﹣（）2＝13﹣5＝8，
由（1）题结论得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（）2+2×8＝5+16＝21．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能结合完全平方公式的灵活变形解决相关问题．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F．
（1）求∠APB的度数；
（2）求证：PA＝PF．

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义解决问题即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解决问题．
【解答】（1）解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°；

（2）证明：∵∠APB＝135°，
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴PA＝PF．

【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（12分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，并且AE＝CD，AD与BE相交于点F，连接FC，BF＝2AF．
求证：（1）∠CAD＝∠ABE；
（2）CF⊥BE．

【分析】（1）证明△ABE≌△CAD（SAS），可得结论；
（2）由△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1＝∠6，BE＝AD，∠AEB＝∠ADC，然后取BF中点M，得到AF＝BM，从而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性质，等腰三角形的性质，得到∠8与∠1+∠2的关系以及∠BAE与∠1+∠2的关系，利用∠BAE＝60°，可得∠8的度数以及∠3的读数，从而得到∠BFC的读数，最后可得CF⊥BE．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
在△ABE和△CAD中
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD；

（2）∵△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1＝∠6，BE＝AD，∠AEB＝∠ADC，
∵AF＝BF，BM＝BF，
∴AF＝BM．
∵FD＝AD﹣AF，ME＝BE﹣BM，
∴FD＝ME．
在△AME与△CFD中，
，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7＝∠MAE＝∠5+∠6，∠3＝∠4，
∵AF＝MF，
∴∠8＝∠3+∠5＝2（∠1+∠2），
而∠BAE＝∠2+∠5+∠6＝∠2+∠3+∠6＝∠2+（∠1+∠2）+∠1＝2（∠1+∠2），
∴∠8＝∠9＝60°，∠3＝∠1+∠2＝∠BAE＝30°，
又∵∠9＝∠8＝60°，∠4＝∠3＝30°，
∴∠BFC＝∠9+∠4＝90°，
∴CF⊥BE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质．
25．（14分）如图，等边△ADE的顶点D恰好在等边△ABC的边BC上，AC、ED相交于点G，连接CE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）F是ED延长线上的点，且∠FCD＝∠CAD，判断CF和GF数量关系，并证明．

【分析】（1）证明△EAC≌△DAB（SAS），可得结论；
（2）结论：FC＝FG．只要证明∠FCG＝∠FGC即可．
【解答】解：（1）∵△AED，△ABC都是等边三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AE＝AD，AC＝AB，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝120°；

（2）结论：FC＝FG．
理由：∵∠FCG＝∠ACB+∠FCD＝60°+∠FCD，∠FGC＝∠ADG+∠CAD＝60°+∠CAD，
又∵∠FCD＝∠CAD，
∴∠FCG＝∠FGC，
∴FC＝FG．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

2021/11/29 13:54:16；