2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习18《正弦定理和余弦定理及其应用》(含详解)

2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习18

《正弦定理和余弦定理及其应用》

一、选择题

1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2=ab=，则△ABC的面积为(　　)

A.          B.             C.           D.

2.已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10 海里     B.10 海里    C.20 海里      D.20 海里

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，则△ABC的形状为(　 　)

A.直角三角形          B.等腰非等边三角形

C.等边三角形           D.钝角三角形

5.地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　 　)

A.50 m,100 m      B.40 m,90 m       C.40 m,50 m       D.30 m,40 m

6.如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，则∠DEF的余弦值为(　 　)

A.         B.          C.         D.

7.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　 　)

A.北偏东10°  B.北偏西10°    C.南偏东80°  D.南偏西80°

8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＜cos A，则△ABC为(　　)

A.钝角三角形   B.直角三角形   C.锐角三角形    D.等边三角形

9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　 　)

A.2        B.3          C.       D.

10.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)

A.      B.     C.      D.

11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA=c，

则tan(A－B)的最大值为(　 　)

A.       B.        C.          D.

12.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A=bsin A，

则sin A＋sin C的最大值为(　　)

A.        B.       C.1        D.

二、填空题

13.在△ABC中，设角A，B，C对边分别是a，b，c，且C=60°，c=，则=______.

14.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足(a＋b)sin=12，(a－b)cos=5，

则c=       .

15.已知△ABC中，交BC于D，则AD的长为          .

16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA=2ctanB，且a=5，

△ABC的面积为2，则b＋c的值为       .

17.如图所示，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，则cosA=      .

18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=5，B=，△ABC的面积为，则cos 2A=________.

0.答案解析

1.答案为：B；

解析：依题意得cos C==，C=60°，

因此△ABC的面积等于absin C=××=.

2.答案为：C.

解析：在锐角△ABC中，根据正弦定理=，知sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，

而正切函数y=tanx在(0，)上单调递增，所以A>B⇔tanA>tanB.故选C.

3.答案为：A；

解析：画出示意图如图所示，

易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，∠ACB=45°，

根据正弦定理得=，解得BC=10(海里).

4.答案为：C；

解析：∵=，∴=，∴b=C.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，∴b2＋c2－a2=bc，∴cosA===.

∵A∈(0，π)，∴A=，∴△ABC是等边三角形.

5.答案为：B；

解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.

则tanα=，tan=，根据三角函数的倍角公式有=.①

因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，

所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，

由tanβ=，tan=，得=.②

联立①②解得H=90，h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.

6.答案为：A；

解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

则DF===10(m)，DE===130(m)，

EF===150(m).

在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF===.

7.答案为：D.

解析：由条件及题图可知，∠A=∠B=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，

所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

8.答案为：A

解析：根据正弦定理得=＜cos A，

即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C=π，

∴sin C=sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.

又在三角形中sin A＞0，

∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.

9.答案为：A.

解析：由a=bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA=sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)

=sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB=sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB=1.

因为B∈(0，π)，所以B=.由S△ABC=acsinB=1＋，得ac=2＋4.

又b2=a2＋c2－2accosB≥2ac－ac=(2－)(4＋2)=4，

当且仅当a=c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.

10.答案为：C；

解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，

即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A=≥=，又0＜A＜π，

所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.

11.答案为：A；

解析：由acosB－bcosA=c及正弦定理可得，

sinA·cosB－sinBcosA=sinC=sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB=sinBcosA，得tanA=5tanB，从而可得tanA＞0，tanB＞0，

∴tan(A－B)===≤=，

当且仅当=5tanB，即tanB=时取得等号，

∴tan(A－B)的最大值为，故选A.

12.答案为：B；

解析：∵acos A=bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A=sin Bsin A，

∵sin A≠0，∴cos A=sin B，又B为钝角，∴B=A＋，

sin A＋sin C=sin A＋sin(A＋B)=sin A＋cos 2A=sin A＋1－2sin2A

=－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.

13.答案为：4.

解析：由正弦定理知==2，所以a=2sin A，

则====4.

14.答案为：13.

解析：∵(a＋b)sin=12，(a－b)cos=5，∴(a＋b)2sin2=144　①，

(a－b)2cos2=25　②，①＋②得，a2＋b2－2ab(cos2－sin2)=169，

∴a2＋b2－2abcosC=c2=169，∴c=13.

15.答案为： ;

16.答案为：7.

解析：由正弦定理及btanB＋btanA=2ctanB，得sinB·＋sinB·=2sinC·，

即cosAsinB＋sinAcosB=2sinCcosA，亦即sin(A＋B)=2sinCcosA，故sinC=2sinCcosA.

因为sinC≠0，所以cosA=，所以A=.由面积公式，知S△ABC=bcsinA=2，

所以bc=8.由余弦定理，知a2=b2＋c2－2bccosA=(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c=7.

17.答案为：.

解析：∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A.

设AD=BD=x，∴在△BCD中，=，可得=.①

在△AED中，=，可得=.②

∴联立①②可得=，解得cosA=.

18.答案为：.

解析：由三角形的面积公式，

得S△ABC=acsin B=×a×5×sin=××5a=，解得a=3.

由b2=a2＋c2－2accos B=32＋52－2×3×5×(- )=49，得b=7.

由=⇒sin A=sin B=sin =，

∴cos 2A=1－2sin2A=1－2×=.