2021北京海淀初三（上）期中数学 试卷

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2021北京海淀初三（上）期中数    学（有答案）                   2021.11学校_____________姓名_____________准考证号_____________注意事项1．本试卷共8页，满分100分，时间120分钟。  2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3．答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。4. 在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。第一部分  选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（A）1，， 　（B）1，6，1  （C）0，，1  （D）0，6，2．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是       （A）           （B）              （C）             （D）3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是 （A） （B）   （C） （D）4．用配方法解方程，下列变形正确的是（A）   （B）  （C） （D）5．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．
若，则的度数为（A）   　（B）（C）     （D）6．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（A）点A  （B）点B   （C）点C  （D）点D 7．已知抛物线，其中，．下列说法正确的是（A）该抛物线经过原点（B）该抛物线的对称轴在轴左侧（C）该抛物线的顶点可能在第一象限（D）该抛物线与轴必有公共点8．如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（A）正比例函数关系，一次函数关系  （B）正比例函数关系，二次函数关系（C）一次函数关系，正比例函数关系  （D）一次函数关系，二次函数关系第二部分  非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若点与点关于原点对称，则点的坐标为          ． 10．若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是：    （填“”，“”或“”）．11．如图，矩形中，，．以点为中心，
将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，此时的长为          ．　　 第12题图                 第13题图                  第15题图12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为          ．13．如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为          ．14．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”
译文：“矩形面积是平方步，宽比长少12步，求长、宽分别是多少步？”设矩形的长为步，可列方程为          ．15．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．16．已知，为抛物线 () 上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是          ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：．    18．如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边△．连接，．求证：．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数 () 的图象也经过点，，结合图象，直接写出不等式的解集．20．如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：．21．已知：，是直线上的两点．求作：，使得点在直线上方，且．作法：① 分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；② 以点为圆心，长为半径画圆； ③ 在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．∵，∴是等边三角形．∴．∵，，在⊙上，∴（_____________）（填推理的依据）．∴．∵ 四边形内接于⊙，∴（_____________）（填推理的依据）．∴．  22．已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．   23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1 m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10 m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 
24．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成() 的形式．现列表探究的变形： 变形mnp50431t6227       回答下列问题：（1）表格中的值为_______；（2）观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________；（3）记的两个变形为和()，则的值为                ． 25．如图，为⊙的直径，弦与交于点，，．（1）求的度数；（2）若，求的长．  26．在平面直角坐标系中，抛物线 () 经过点，与轴交于点．（1）直接写出点的坐标；（2）点是抛物线上一点，当点在抛物线上运动时，存在最大值．① 若，求抛物线的表达式；② 若，结合函数图象，直接写出的取值范围．  
27．如图，已知()，是的平分线，，分别在，上，且∥．以点为中心，将线段旋转到处，使点的对应点恰好在射线上，在射线上取一点，使得．（1）① 依题意补全图；② 求证：=+；（2）连接，若，求的度数，并直接写出的值．   
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为-关联点． （1）在点，中，与为45°-关联点的是________；（2）如图2，，， .若线段上存在点，使点与点为45°-关联点，结合图象，求的取值范围；（3）已知点，.若线段上至少存在一对30°-关联点，直接写出的取值范围．                         图2                                备用图 
2021北京海淀初三（上）期中数学参考答案第一部分  选择题一、选择题 （本题共16分，每小题2分）题号12345678答案ABADDBCD第二部分  非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（，）        10．<11．1          12．，13．         14．15．                                      16． 或  三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：                        …………………………………………3分，．                   …………………………………………5分18．（本题满分5分）证明：∵ △ABC，△CDE均为等边三角形，∴ AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°． …………………………………………3分∴ △BCD ≌ △ACE．           …………………………………………4分∴ BD=AE．                     …………………………………………5分19．（本题满分5分）解：（1）∵ 二次函数的图象经过点，，∴                        …………………………1分解得 ∴ 二次函数的解析式为．      …………………………3分（2）．                                …………………………5分20．（本题满分5分） 证明：连接OC．∵ 是的中点，∴ ．          ………………………1分∴ ∠AOC=∠BOC．     ………………………2分∵ OA=OB，OC=OC，∴ △AOC ≌ △BOC．                     …………………………4分∴ ∠A=∠B．　　　　　　　　　　　　　　　…………………………5分21．（本题满分5分）（1）如下图即为所求．     ………………………3分（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；  ………………………4分圆内接四边形对角互补．                        ………………………5分22．（本题满分6分）（1）证明：依题意，得== 4．  ………………1分∵ ，∴ 该方程总有两个不相等的实数根．　　　 　………………………2分（2）解：解方程，得，．               ………………………4分∵ 方程的两个根均为负数，∴ 解得．                               ………………………6分23．（本题满分6分）（1）如图所示．………………………1分（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）.设该抛物线的表达式为.            ………………………2分由抛物线过点A，有.解得．                                 ………………………3分∴ 该抛物线的表达式为．       ………………………4分（3）解：令，得.解得，（C在x正半轴，故舍去）.∴ 点C的坐标为（，0）．                ………………………5分∴ ．由，可得.∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．                ………………………6分24．（本题满分5分）（1）3；                                          …………………………1分（2）；                                   …………………………3分（3）．                                        …………………………5分25．（本题满分6分）（1）解：∵ A，D在⊙O上，∠D=45°，∴ ∠A=∠D=45°．    …………………………1分∵ ∠C=75°，∴ 在△ACE中，．     …………………………2分（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H．∵ OA=OC，∠A=45°，∴ ∠ACO=∠A=45°．∴ ∠AOC=90°．                   ………………3分∵ Rt△AOC中，，AC=12，∴ ．                 ……………4分∵ ∠ACD=75°，∴ ．∴ ．∴ Rt△OCH中，．        …………………………5分∵ OH⊥CD于H，∴ ．                             …………………………6分26．（本题满分6分）（1）（0，2）.　                                    …………………………1分（2）① 依题意，当时，该抛物线的顶点为（0，2）.  …………………………3分设抛物线的解析式为.由抛物线过A（1，），得，解得∴ 抛物线的表达式为．           …………………………4分② ．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………6分       27．（本题满分7分）（1）① 补全图形，如图.……………………………………………1分②证明：∵OP平分∠MON，∠MON=，∴∠AOC=∠AON==．∵AB∥ON，∴∠BAO=∠AON．∴∠BAO=∠AOC．∴AB=BO．…………………………………………………………2分∵由旋转，AO=AC，∴∠AOC=∠ACO=．∴∠ACO=∠AON,∠OAC=．∵,∴∠OAC=∠BAD．∴∠BAC=∠DAO．∴△ABC≌△ADO．…………………………………………………………3分∴AB=AD，CB=OD．∴BO=AD．∵OC=CB+BO，∴OC=OD+AD．…………………………………………………………4分（2）如图所示，∵AB∥ON，∴∠BAD+∠ADO=180°.∵,∴∠ADO=.∵AC=AO，CD=OD，AD=AD，∴△ADC≌△ADO．∴∠DCA=∠DOA=,∠CDA=∠ODA=.∵在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC=180°，∴．∴．……………………………………………6分此时，的值为．       ……………………………………………7分28．（本题满分7分）（1）；                          ……………………………………………2分（2）解：如图所示，对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点. 若当点Q在线段MN上时，，则有.由，得，解得．……………………………………………5分（3）.                       ……………………………………………7分