2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆（下）

这是一份2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆（下），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编
圆（下）
一、单选题
1．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（　　）

A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
2．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（   ）

A．PA B．PB C．PC D．PD
3．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
4．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为(　　)

A．16 B．14 C．12 D．10
5．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）

A．5步 B．6步 C．8步 D．10步
6．（2021·北京四中九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
二、填空题
7．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ___．

8．（2021·北京八中九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为____________．

9．（2021·北京八中九年级期中）⊙O的半径为3，点P 在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件____________．
10．（2021·北京五十五中九年级期中）如图，⊙O的半径为2，直线PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，若PA⊥PB，则OP的长__．

11．（2021·北京五十五中九年级期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝110°，则∠ABC的度数是______．

12．（2021·北京十五中九年级期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步.

13．（2021·北京十五中九年级期中）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为_____；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．

14．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．

三、解答题
15．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

(1)求证:AC是⊙O的切线；
(2)若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
16．（2021·北京师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．

17．（2021·北京师大附中九年级期中）规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．

在平面直角坐标系xOy中，
（1）如图1，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度： A（1，0）的距离跨度 　 　；B（﹣）的距离跨度 　 　；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 　 　；
（2）如图2，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围；
（3）如图3，射线OP：y＝x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 　 　．
18．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．
19．（2021·北京十五中九年级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90°；
（2）若CE：EF=3 : 4，BC=12，则线段CF的长为

20．（2021·北京八中九年级期中）如图，已知： 过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC=45°，（AB，AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F．
（1）证明：BE=BF；
（2）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．

21．（2021·北京四中九年级期中）对于点 C 和给定的⊙O，给出如下定义：若⊙O 上存在点 B，使点 C 绕点 B 旋转 90°的对应点 A在⊙O 上，此时△ABC 是以点 B 为直角顶点的等腰直角三角形，则称点 C 为⊙O 的等直顶点．若 O 是坐标原点，⊙O 的半径为 2
（1）在点 P（0，0），Q（2，0），R（5，0），S（，0）中， 可以作为⊙O 的等直顶点的是哪个点？
（2）若点 P 为⊙O 的"等直顶点"，且点 P 在直线 y = x 上，求点 P 的横坐标的取值范围；
（3）设⊙C 的圆心 C 在 x 轴上，半径为 2，若直线 y = x 上存在点 D，使得半径为 1 的⊙D 上存在点 P是⊙C 的等直顶点，求圆心 C 的横坐标的取值范围；
（4）直线 y = 4 x + 4 分别和两坐标轴交于 E，F 两点，若线段 EF 上的所有点均为⊙O 的等直顶点，求⊙O 的半径的最大值与最小值．

22．（2021·北京五十五中九年级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”．
（1）当⊙O的半径为1时．
①在点P1(，)，P2(0，﹣2)，P3(，0)中，⊙O的“离心点”是　　．
②点P(m，n)在直线y＝﹣x+3上，点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围．
（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点A，B．如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．
23．（2021·北京·景山学校九年级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 　 　；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 　 　；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 　 　．

24．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若，AB＝4，AD＝2，求AF的长．

25．（2021·北京四中九年级期中）如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使，

（1）求证：是半圆的切线；
（2）作弧的中点，连结交于，过作于，交于．（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：．
（3）若，，求．
26．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线相切．
作法：如图2，
①在直线上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．

根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线相切（        ）（填推理的依据）．
27．（2021·北京·景山学校九年级期中）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．

作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A （            ）（填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（           ）（填推理的依据）．
28．（2021·北京市回民学校九年级期中）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．

29．（2021·北京八十中九年级期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，
求证：∠AED=∠CEF

30．（2021·北京五十五中九年级期中）已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．


参考答案
1．D
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
2．B
【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答．
【详解】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，
∴直线l垂直于过点P的半径，
∵PB⊥l，
∴PB的长是圆的半径，
故选：B．
【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键．
3．B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
4．B
【分析】根据切线长定理进行求解即可.
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
5．B
【详解】勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知，
半径==3，直径是6.故选B.
6．C
【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，因6＞5，即d＜r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离.
故选C
7．
【分析】由AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，可得AC=AP，同理得BD=BP，再由BD=BP=AB-AC求得结果．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，
∴AC=AP=7，
∵AB=10，
∴BP=AB-AP=10-7=3，
∵BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，
∴BD=BP=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查切线长定理，由于两次用到切线长定理，所以应先通过观察确定要求的线段的长由哪两条线段的差构成．
8．2或4
【分析】利用切线的性质得到点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），然后分别计算点（0，-1）和（0，1）到（0，-3）的距离即可．
【详解】解：若运动后⊙A与x轴相切，
则点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），
而-1-（-3）=2，1-（-3）=4，
∴点A的运动距离为2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．d>3
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故答案为：d＞3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
10．
【分析】首先连接OA，由直线PA、PB为⊙O的切线，PA⊥PB，易得△OPA是等腰直角三角形，继而可求得OP的长．
【详解】解：连接OA，

∵直线PA、PB为⊙O的切线，PA⊥PB，
∴OA⊥PA，∠OPA=∠APB=45°，
∴△OPA是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为2，
即OA=2，
∴OP=OA=2．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
11．
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】由圆内接四边形的性质得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的性质是解题关键．
12．6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，进而可得到直径．
【详解】∵BC=8，AC=15，
∴AB==17，
∴该直角三角形内切圆半径===3
∴该内切圆的直径=2×3=6步，
故答案为：6
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=是解题的关键．
13．     7    
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP＝＝，
故答案为7,

【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
14．
【详解】∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，
∴；
因为OB、OC是⊙O的半径，
所以OB=OC，
所以=，
在中，若⊙O的半径OC为2，
OB=OC=2，
在中，BC=2=
【点睛】本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长．
15．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接OD，根据OB=OD， BD平分∠ABC，证得∠ODB=∠CBD，推出，得到∠ODA=∠C＝90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，推出四边形ODCF是矩形，得到OF=CD=8，CF=OD=10，根据勾股定理求出BF，由垂径定理得到EF=BF=6，由此求出结果．
(1)
证明：连接OD，

∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD．
∴，
∴∠ODA=∠C＝90°，
∵以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，
∴AC是⊙O的切线；
(2)
解：过点O作OF⊥BC于F，
∴∠OFC=∠ODC=∠C＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∴OF=CD=8，CF=OD=10．
在Rt△OBF中，，
∴，
∵OF⊥BC，
∴EF=BF=6，
∴CE=CF-EF=10-6=4．

【点睛】此题考查了切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确掌握各定理并熟练应用解决问题．
16．（1）见解析；（2）图见解析，．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，
∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，

在Rt△DOE中，
∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝＝＝，
∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝ FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝＝＝．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．
17．（1）2；2；4；（2）﹣≤k≤；（3）﹣1≤xE≤2．
【分析】（1）先根据距离跨度的定义求得点到圆的最小距离d和最大距离D，利用D﹣d即可得出结论；
（2）利用（1）计算过程得出规律：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上；由已知可得：直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0），利用直线y＝k（x﹣1）与该圆相切时的k值，结合图形，发现直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点时 满足条件，从而得到k的取值范围；
（3）过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，结合图形即可的结论．
【详解】解答：解：（1）如图，设圆O交x轴于点E，F，

∵A（1，0）在直径EF上，
∴d＝AF＝1，D＝AE＝3，
∴A（1，0）的距离跨度＝D﹣d＝2；
连接OB，过点B作BD⊥OE，则OD＝，BD＝．
∴BO＝．
∵⊙O的半径为2，
∴d＝1，D＝3，
∴B（，）的距离跨度＝3﹣1＝2；
连接CO并延长交⊙O于点G，H，
∴d＝CG，D＝CH，
∵⊙O的直径径为4，
∴C（﹣3，﹣2）的距离跨度＝D﹣d＝CH﹣CG＝GH＝4．
故答案为：2；2；4．
（2）对于直线y＝k（x﹣1），令y＝0，则x＝1，
∴直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0）．
由（1）知：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上，
设直线y＝k（x﹣1）与该圆相切于点M，N，如图，

连接DM，DN，则DM⊥AM，DN⊥AN，
∵DM＝1，AD＝2，
∴sin∠MAD＝，
∴∠MAD＝30°．
∴∠MDA＝60°．
过点M作MB⊥AD于点B，
在Rt△MBD中，
∵cos∠MDB＝，
∴BD＝MD×cos60°＝，
∴OB＝OD﹣BD＝．
∵sin∠MDB＝，
∴MB＝MD×sin∠MDB＝，
∴M（﹣，）．
∵点M在直线y＝k（x﹣1）上，
∴．
∴．
同理，当直线经过点N时,．
∵直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，
∴直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点，
∴观察图形可得k的取值范围为：﹣≤k≤．
（3）如图，过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，

由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD＝2，CH＝4，CE＝1．
∵射线OP的解析式为:，
∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，
当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E距离跨度为2，
观察图形可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围为：﹣1≤xE≤2．
故答案为：﹣1≤xE≤2．
【点睛】本题主要是考查了圆与锐角三角函数的综合应用，能够根据题目所给的新定义，结合圆的性质以及锐角三角函数值求解对应边长和坐标的值，是解决此类问题的关键．
18．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD、CD、OE，通过全等三角形的性质求解即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长，利用相似三角形的性质求得的长，再用勾股定理求解即可．
【详解】（1）DE与⊙O相切，连接OD、CD、OE

∵BC为⊙O的直径
∴∠CDA＝∠CDB＝90°
∵E是AC中点
∴ED＝EC
∵OC＝OD，OE＝OE
∴ΔOCE≌ΔODE（HL）
∴∠ODE＝∠OCE＝90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6
∴AC=8，
∵E是AC中点，为的中点
∴，
由勾股定理可得：
∵DE、CE与⊙O相切
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO
又∵
∴垂直平分
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用有关性质进行求解．
19．（1）见解析；（2）CF=10
【分析】（1）连接OC，BO，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝6，结合已知条件可得OE，根据勾股定理可得OC的长，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，BO
∴∠A=∠COB

∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC＋∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠BOF=∠COB
∴∠COF＝∠A，
∴∠A＋∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠A＋∠OFC＝90°，∠ECF＋∠OFC＝90°
∴∠A=∠ECF
∵tan∠ECF=
∴tanA＝tan∠COF＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝×12＝6，
∴tan∠COF=
∴OE＝，
∴OC＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE＋∠OCE＝∠CFE＋∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴，
∴，
∴CF＝10．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）连接EF，CD，取EF中点G，连接BG，AG，根据圆周角定理可证∠CBD=90°，而由直角三角形的性质可知EG=BG=AG=GF，得B、E、A、F在⊙G上，从而∠EFB=∠EAB=45°，故而BE=BF；
（2）首先可证△EBC≌△FBD（ASA），得BC=BD，CE=DF，再由△ACB∽△APD∽△CPB，可证AC•AD=AP•AB，BC2=BP•AB，根据AC2+AD2=CD2=2BC2，可得AC+AD=AB，再进行等量代换即可．
【详解】解：（1）证明：连接EF，CD，取EF中点G，连接BG，AG，

∵∠BAC=45°，AF⊥AC，
∴∠BAD=45°，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠CBD=90°，
∴CD为⊙O的直径，
∵AF⊥AE，∠DBF=90°，
∴∠EBF=∠FAE=90°，
∵EG=AG，
∴EG=BG=AG=GF，
∴B、E、A、F在⊙G上，
∴∠EFB=∠EAB=45°，
∵∠FBE=90°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF；
（2）AE=AF+AB
由（1）知，点A、B、E、F四点共圆，CD为⊙O的直径，

∴∠BEA=∠BFA，BF=BE，∠EBC=∠DBF=∠DAE=90°，
∴△EBC≌△FBD（ASA），
∴BC=BD，CE=DF，
∵∠CAB=∠DAB=45°，∠ABC=∠ADC，∠BCD=45°，
∴△ACB∽△APD∽△CPB，
∴，
∴AC•AD=AP•AB，BC2=BP•AB，
∵CD为直径，
∴AC2+AD2=CD2=2BC2，
∴（AC+AD）2=AC2+AD2+2AC•AD
=2BC2+2AC•AD
=2BP•AB+2AP•AB
=2AB•（BP+AP）
=2AB2，
∴AC+AD=AB，
∴AE=CE+AC=DF+AC=AF+DA+AC=AF+AB，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，对等式进行恒等变形是解题的关键．
21．（1）（2）或；（3）或；（4）最大值为，最小值为．
【分析】（1）如图，点是上任意一点，将点绕点、旋转90°，得到点、,连接,,，可得，证明，得到点是在以为圆心为半径的圆上运动，进而得到当时，存在⊙O 的等直顶点，根据题意求得与原点的距离，进而即可求得答案；
（2）以为圆心，分别以为半径作圆，点 P 为⊙O 的"等直顶点"，由（1）的结论可知，在如图所示的圆环内的直线上，设，可得，根据对称性可得，进而求得P 的横坐标的取值范围；
（3）作的切线，交轴于点,与交于点，过点作，交半径为的外圆于点，交半径为的内圆于点，根据（1）的结论，当时，⊙D 上存在点 P是⊙C 的等直顶点，即，勾股定理可得，根据圆的对称性，可知，进而求得圆心 C 的横坐标的取值范围；
（4）如图，作于点,求得的长，设的半径为，点为线段上任意一点，根据（1）的结论可知等直顶点在以为圆心，半径为和的同心圆的圆环内，即可，由图可知，进而求得的最大值与最小值．
【详解】（1）如图，点是上任意一点，将点绕点、旋转90°，得到点、,连接,,

则和是等腰直角三角形，








点是在以为圆心为半径的圆上运动，
当与有交点时，存在点为⊙O 的等直顶点
⊙O 的半径为 2
的半径为
根据两圆的位置关系，当与内切时，取得最小值，如图

是等腰直角三角形，

当与外切时，取得最大值，如图，

此时
当时，存在⊙O 的等直顶点
O 是坐标原点，P（0，0），Q（2，0），R（5，0），S（，0）


可以作为⊙O 的等直顶点
（2）如图，以为圆心，分别以为半径作圆，

点 P 为⊙O 的"等直顶点"，由（1）的结论可知，在如图所示的圆环内的直线上，
依题意，设
如图，当时，，当时，

根据对称性可知，当位于第三象限时，
综上所述，若点 P 为⊙O 的"等直顶点"，且点 P 在直线 y = x 上，点 P 的横坐标的取值范围为或；
（3）如图，作的切线，交轴于点,与交于点，过点作，交半径为的外圆于点，交半径为的内圆于点，
的半径为1

根据（1）的结论，当时，⊙D 上存在点 P是⊙C 的等直顶点，
当重合时，最大，重合时最小，

即

与轴的夹角为，

即
根据圆的对称性，可知
综上所述，或
（4）直线 y = 4 x + 4 分别和两坐标轴交于 E，F 两点，
如图，作于点,

由，令，，令，，
，
，
，
，
设的半径为，点为线段上任意一点，根据（1）的结论可知等直顶点在以为圆心，半径为和的同心圆的圆环内，即可，
由图可知
时，最大，此时
时，最小，此时
若线段 EF 上的所有点均为⊙O 的等直顶点，⊙O 的半径的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查了新定义问题，旋转相似，同心圆问题，点、线、圆与圆的位置关系，不等式组的应用，勾股定理，理解题意找到半径的范围是解题的关键．
22．（1）①P2、P3；②1≤m≤2；（2）⊙C的纵坐标yc满足3＜yc≤4或1-2≤yc＜1-时，线段AB上的所有的点都是“离心点”．
【分析】（1）①根据⊙C的“离心点”的定义即可判断；
②根据⊙C的“离心点”的定义，构建方程即可解决问题；
（2）分两种情形①如图2中，当点C在y轴的正半轴上时，经过点B（0，1）时，C（2，0），当AC=2，点A是“离心点”，此时C（0，4），观察图象可知当⊙C的纵坐标yc满足3＜yc≤4时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；
②如图3中，当点C在y轴的负半轴上时，BC=2时，点B是“离心点”，此时C（0.1-2）．如图4中，当⊙C与直线y=-x+1相切时，设切点为N．求出点C的坐标，即可判断．
【详解】解：（1）①∵P1（，），P2（0，-2），P3（，0），
∴OP1=1，OP2=2，OP3=，
∴点P1在⊙O上，不符合题意，
∵过P2的切线长=，＜2，
∴P2是⊙O的“离心点”，
∵过P3的切线长==2，2=2，
∴P3是⊙O的“离心点”，
故答案为：P2、P3；
②如图1中，设P（m，-m+3）．

当过点P的切线长为2时，OP=，
∴m2+（-m+3）2=5，
解得m=1或2．
观察图象可知1≤m≤2；
（2）①如图2中，当点C在y轴的正半轴上时，经过点B（0，1）时，A（2，0），
当AC=2，点A是“离心点”，此时C（0，4），
观察图象可知当⊙C的纵坐标yc满足3＜yc≤4时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；

②如图3中，当点C在y轴的负半轴上时，BC=2时，点B是“离心点”，此时C（0，1-2）．

如图4中，当⊙C与直线y=-x+1相切时，设切点为N．

由△CNB∽△AOB可得：，
∴，
∴CB=，
∴C（0，1-），
观察图象可知当⊙C的纵坐标yc满足1-2≤yc＜1-时，线段AB上的所有的点都是“离心点”；
综上所述，⊙C的纵坐标yc满足3＜yc≤4或1-2≤yc＜1-时，线段AB上的所有的点都是“离心点”．
【点睛】本题考查一次函数、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、切线的性质、勾股定理、⊙C的“离心点”的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1）①1；②；（2）点的坐标为或；（3）
【分析】（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；
②点到轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以；
（2）根据点的“引力值”为2，可得或，代入可得结果；
（3）在点处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出的值．
【详解】解：（1）①点到轴的距离为4，到轴的距离为1，
，
点的“引力值”为1．
②点的“引力值”为2，
；
（2）设点的坐标，
点的“引力值”为2，
或，
当时，，此时点的“引力值”为0，不符合题意，舍去，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，，此时点的“引力值”为1，不符合题意，舍去，
当时，，，此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）如图，过分别作、轴的垂线，分别交于和，交轴于，

，
，
点的“引力值”最小为1，
设，过作于，
当时，点的“引力值”最大，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，或，，
点的“引力值”的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数综合题、“引力值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
24．（1）相切，理由解析；（2）
【分析】（1）先根据圆周角定理证明是的直径，得，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得，可得是的切线；
（2）先根据平行线的性质得：．由垂径定理得，，由垂直平分线的性质得，．证明，列比例式得，设，则，根据勾股定理列方程可解答．
【详解】解：（1）相切．
理由是：连接，如图1．

四边形内接于，，
是的直径，即点在上．
．
．
．
又，
，即．
于点．
是的切线．
（2）如图2，与交于点，

，
．
．
．
，．
，，
．
．
．
设，则．
在中，，
．
解得：，（舍．
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是求出．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作的垂直平分线交于点，利用基本作图作，利用圆周角定理得到，然后证明得到；
（3）连接交于，如图，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．
【详解】解：（1）证明：为直径，
，
，
，
，
即，
，
是半圆的切线，
（2）证明：如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接交于，如图，
点为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
26．（1）见解析；（2）AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）按照题目要求作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质和切线的判定填写即可．
【详解】（1）如图所示，
；
（2）证明：连接AP，AQ，BP，BQ．

∵AP＝AQ，BP＝BQ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，圆的性质，切线的判定，掌握知识点并且灵活运用是解题关键．
27．（1）答案见解析；（2）三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】(1)根据直线的定义，线段的定义，圆的定义作图即可；
(2) 连接PE和PF，根据OE=MN，OA=OM=MN，得到点A是OE的中点，利用PO=PE，证得PA⊥OA于点A，同理PB⊥OB于点B，即可得到结论．
【详解】（1）补全图形如图：

（2）证明：连接PE和PF，
∵OE=MN，OA=OM=MN，
∴点A是OE的中点，
∵PO=PE，
∴PA⊥OA于点A （ 三线合一 ）．
同理PB⊥OB于点B，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（ 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切   线 ）．
故答案为：三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
．
【点睛】此题考查尺规作图--圆，根据语句描述画射线，等腰三角形的三线合一的性质，圆的切线的判定定理，正确理解语句作出图形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【详解】（1）证明：连接OF．
∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF=AE=．
∴AD=2．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半径是3．

【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.
29．见解析
【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．
【详解】证明：连结AD，如图，

∵CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠CEF=∠ADC，
∴∠AED=∠CEF．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．
30．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD//AC，根据平行线的性质可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分线；
（2）连接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，过O作OG⊥AF于G，由垂径定理可得GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．
【详解】解：（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）解：连接DF，
∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，
∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，
∴CD=CF=，
∴AC=CD=3，∴AF=2，
过O作OG⊥AF于G，

∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD=，
∴OC==．