2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据集合交集的定义进行运算即可.

【详解】

在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，

由图象可知， .

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2．命题“”的否定是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项.

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是，

故选D.

【点睛】

本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.

3．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由集合描述求集合，结合韦恩图知阴影部分为，分别求出、，然后求交集即可.

【详解】

，，

由图知：阴影部分为，而，，

∴或，即或，

故选：C

【点睛】

本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.

4．若，则“”是 “”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

5．设，且，则（    ）

A． B．10 C．20 D．100

【答案】A

【解析】先根据，得到，再由求解.

【详解】

因为，

所以，

所以，

，

又，

．

故选：A

【点睛】

本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.

6．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．

【答案】B

【解析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．

【详解】

把四个图象分别叫做A，B，C，D．

若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．

若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．

若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，

得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．

若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，

此时对称轴，矛盾，所以不成立．

故图象为第三个，此时a＝﹣1．

故选B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．

7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　　　）

A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算

C．两种方案一样 D．无法确定

【答案】B

【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.

【详解】

任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．

第一种方案的均价：；

第二种方案的均价：.

所以无论油价如何变化，第二种都更划算．

故选:B

【点睛】

本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.

8．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（    ）

A．49 B．48 C．47 D．46

【答案】A

【解析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【详解】

集合知：

1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，

而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；

2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：

的集合为，而B有种，

集合对(A,B)的个数为；

3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：

的集合为，而B有种，

集合对(A,B)的个数为；

4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：

的集合为，

而B有种，集合对(A,B)的个数为；

∴一共有个，

故选：A

【点睛】

本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.

二、多选题

9．设正实数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确.

对于B，由基本不等式有即，当且仅当时等号成立，

故有最大值，故B错误.

对于C，因为，故，

当且仅当时等号成立，故有最大值，故C正确.

对于D，因为，

当且仅当时等号成立，故有最小值，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.

10．下列各小题中，最大值是的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论.

【详解】

解：对于A，y没有最大值；

对于B，y2＝x2（1﹣x2）≤＝，y≥0，∴y≤，当且仅当x＝时取等号.

对于C，x＝0时，y＝0.x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号.

对于D，y＝x+2+﹣2≥2﹣2＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等号.

故选：BC.

【点评】

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题.

11．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（    ）

A．方程有一个正根一个负根的充要条件是

B．方程有两个正根的充要条件是

C．方程无实数根的必要条件是

D．当时，方程的两个实数根之和为0

【答案】ABC

【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可.

【详解】

A选项中，方程有一个正根一个负根则即；

同时时方程有一个正根一个负根；是方程有一个正根一个负根的充要条件.

B选项中，方程有两个正根则即；

同时时方程有两个正根；是方程有两个正根的充要条件.

C选项中，方程无实数根则即；

而时方程可能无实根也可能有实根；故是方程无实数根的必要条件.

D选项中，时知方程无实根；

故选：ABC

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.

12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（    ）

A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B．该单位每月最低可获利20000元

C．该单位每月不获利，也不亏损

D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损

【答案】AD

【解析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案.

【详解】

由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，

当且仅当，即时等号成立，

故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；

设该单位每月获利为S元，

则，

因为，

所以.

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，

故选：AD

【点睛】

本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.

三、填空题

13．若，则满足这一关系的集合的个数为______.

【答案】

【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.

【详解】

由题意知，符合的集合有：、、、、、、，共个.

故答案为.

【点睛】

本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

14．已知.若，，则__________．

【答案】6

【解析】根据题意，设，根据得出的范围，代入求出的值，得到与的关系式，与联立方程组，即可求出、的值．

【详解】

由题意得，设，由可得，代入，得

解得，即

又，可得

即

解得

所以．

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查对数的运算性质．

15．已知，且，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】由，整理得，设，，

再化简，再结合，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

因为，可得，

整理得，

设，则，

又由，则

所以

又由，

则

，

当且仅当，即等号成立，

所以.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

四、双空题

16．已知不等式的解集为，则实数 _________；函数的所有零点之和等于_________．

【答案】       

【解析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和.

【详解】

∵等式的解集为，

∴是方程的两个实根，

则，解得，

而两根之和，解得，

故函数的所有零点之和为，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.

五、解答题

17．已知集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）当时，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）由条件知，讨论、求的范围，取并集即可；

（2）由分类讨论、，求的范围即可；

【详解】

（1）由知：，

当时，得；

当时，解得；

综上，有：；

（2）时，知：

当时，得；

当时，或，

解得；

∴的取值范围为；

【点睛】

本题考查了集合，根据集合交、并结果判断集合间的关系求参数范围，属于基础题.

18．化简下列各式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可；

（2）利用对数的运算法则求解.

【详解】

解：（1）；

（2）.

【点睛】

本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.

19．已知关于的不等式恒成立

(1)当时成立，求实数的取值范围;

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)   （2）

【解析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于恒成立

（2）是的充分不必要条件可得p是q的真子集，再进行分类讨论即可

【详解】

（1）由题可知实数m的取值范围是

（2），设，

p是q的充分不必要条件，A是B的真子集

①    由（1）知，时，B=R，符合题意；

②    时，，符合题意

③时，，符合题意

④时，设,的对称轴为直线，由A是B的真子集得，

综上所述：

【点睛】

复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断

20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【答案】（1）4米；（2）(0，12).

【解析】（1）设甲工程队的总造价为y元，则y=900(x+)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可；

（2）由题意可得，900(x+)+7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即可a<=(x+1)++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可

【详解】

（1）设甲工程队的总造价为y元，

则y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6)，

900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.

当且仅当x=，即x=4时等号成立.

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元.

（2）由题意可得，900x++7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即，

∴a<=(x+1)++6，

又x+1++6≥2+6=12，

当且仅当x+1=，即x=2时等号成立，

∴a的取值范围为(0，12).

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

21．已知函数，区间，分别求下列两种情况下的取值范围.

（1）函数在区间A上恰有一个零点；

（2）若，使得成立.

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）分类讨论，（i）0或3是零点时；（ii）0和3都不是零点，在上有唯一零点，用零点存在定理求解；

（2）不等式变形为，求出的最小值即可得．

【详解】

记，

（1）显然，

（i）若，则或，

时，的解为，

时，的解为，

（ii）若，则，此时的另一零点是，不合题意；

（iii），，，

综上，或；

（2）即不等式在上有解，显然不是它的解，

，则，即在上有解，

设，,

所以当时，，递减，当时，，递增，

所以时，取得极小值也是最小值，所以，．

【点睛】

本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值．

22．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，

其中min{p，q}=

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；

（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．

试题解析：（Ⅰ）由于，故

当时，，

当时，．

所以，使得等式成立的的取值范围为．

（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，

则，，

所以，由的定义知，即

（ⅱ）当时，

，

当时，．

所以，．

【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．

【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．