2020-2021学年江苏省宝应中学高二上学期第七次周测数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江苏省宝应中学高二上学期第七次周测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“R，”的否定是（ ）
A. R，B. R，
C. R，D. R，
2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
3.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（ ）
A. 2B. 6C. ﹣2D. ﹣6
4.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7.已知在四面体中，点是棱上的点，且，
点是棱的中点，若其中为实数，
则的值是（ ）
B. C. －2 D. 2
8.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题
9.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件， q是s的必要条件，则（ ）
A. p是q的既不充分也不必要条件B. p是s的充分条件
C. r是q的必要不充分条件D. s是q的充要条件
10.已知等比数列中，满足，公比q＝﹣2，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列D. 数列是递减数列
11.设P是椭圆C：上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2 C. 1≤PF1·PF2≤2 D. 0≤≤1
已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意
一点，O为坐标原点．给出的下面四个命题中，真命题为（ ）
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上； B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； D．△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．
三.填空题
13.若双曲线的离心率为，则实数__________．
14.设为椭圆:的两个焦点,为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为____
15.已知四棱柱的底面是矩形，
，，，，则____
16.曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称; ③若点在曲线上,则,的面积不大于，其中，所有正确结论的序号是_____
四、解答题
17.已知p：方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线；q：a≤m≤a＋2．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
18.设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求的公比；
（2）求数列的前项和．
条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
20.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，
拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一
条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）根据如图所示的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）
21.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，Sn是数列{bn}的前n项和，若对任意正整数n，不等式2Sn＋(－1)n＋1·a＞0恒成立，求实数a的取值范围．
22.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
答案：
江苏省宝应中学高二数学周测试卷7
一、选择题
1.命题“R，”的否定是（ ）
A. R，B. R，
C. R，D. R，
【答案】A
【详解】命题“R，”的否定是R，。故选：A.
2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】C
【详解】表示焦点在轴上的椭圆 ，解得：
故选：
3.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（ ）
A. 2B. 6C. ﹣2D. ﹣6
【答案】C
【详解】因为∥，所以，解得。故选：C.
4.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．
故选C．
5.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
6.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A．
7.已知在四面体中，点是棱上的点，且，
点是棱的中点，若其中为实数，
则的值是（ ）
A. B. C. －2 D. 2
【答案】B
【详解】
故
故选：
8.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意，焦点在x轴上，设左焦点(-c，0)，故P坐标可求为(-c，±)=2c，所以=即有=,
同时除以a²，,求得
二．多选题
9.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件， q是s的必要条件，则（ ）
A. p是q的既不充分也不必要条件B. p是s的充分条件
C. r是q的必要不充分条件D. s是q的充要条件
【答案】BD
【解析】
【详解】因为，，，故，，故选:BD。
10.已知等比数列中，满足，公比q＝﹣2，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列D. 数列是递减数列
【答案】BC
【详解】因为是等比数列，所以，，故A错；，，于是，故是等比数列，故B正确；，故C正确；，是递增数列，故D错。故选:BC.
11.设P是椭圆C：上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2 C. 1≤PF1·PF2≤2 D. 0≤≤1
【答案】ACD
【详解】椭圆长轴长为，根据椭圆定义，故选A； 设P是椭圆C的任意一点，则，所以，B错误；
,而，所以，C正确；,又根据椭圆性质有，所以，D正确。故选:ACD.
12．已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．给出的下面四个命题中，真命题为________．
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
D．△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．
解：AD
三.填空题
13.若双曲线的离心率为，则实数__________．
【答案】2
【解析】
，.渐近线方程是.
14.设为椭圆:的两个焦点,为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
15.已知四棱柱的底面是矩形，
，，，，则____
【答案】
【详解】
故
，故
故答案为：
16.曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称; ③若点在曲线上,则,的面积不大于，其中，所有正确结论的序号是_____
【答案】②③
【解析】
【详解】设曲线上点的坐标为，则
①将代入曲线方程知： 曲线不过坐标原点，①错误；
②若在曲线上，将代入曲线方程，可知方程成立，则曲线关于坐标原点对称，②正确；
③，③正确.
故答案为：②③
四、解答题
17.已知p：方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线；q：a≤m≤a＋2．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） （2）
解：（1）因为方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
所以解得，所以命题为真时实数的取值范围为．
（2）因为是的必要条件，所以，所以，故．
综上，实数的取值范围为．
18.设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求的公比；
（2）求数列的前项和．
条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）
【解析】选① （1）因为为的等差中项，所以，
所以 ， 因为，所以，所以，（舍），
选② （1）因为，所以，
因为，所以，所以 .
（2）由题得等比数列的首项，所以，
设数列的前项和为，
因为数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
19.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）直线l不存在．详见解析
【解析】（1）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点，可得，
所求双曲线方程为：．
（2）假设直线l存在．设是弦MN的中点，
且，，则，．
，N在双曲线上，，，
，，
直线l的方程为，即，
联立方程组，得
，直线l与双曲线无交点，直线l不存在．
20.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一
条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）根据如图所示的直角坐标系，的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）
【答案】（1）直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是 （2）0.6m
【详解】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，
以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，
建立平面直角坐标系，则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是．
（2）因，故当时，，
故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低，
因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．
答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．
21.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，Sn是数列{bn}的前n项和，若对任意正整数n，不等式2Sn＋(－1)n＋1·a＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,a1＋d2＝a1a1＋4d，))解得a1＝1，d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)因为bn＝eq \f(1,a\\al(2,n)＋4n－2)＝eq \f(1,2n－12＋4n－2)＝eq \f(1,4n2－1)
＝eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(1,2)1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)eq \f(1,3)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,2)eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(1,2)1－eq \f(1,2n＋1)，
依题意，对任意正整数n，不等式1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0，
当n为奇数时，1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0
即a＞－1＋eq \f(1,2n＋1)，所以a＞－eq \f(2,3)；
当n为偶数时，1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0
即a＜1－eq \f(1,2n＋1)，所以a＜eq \f(4,5).
所以实数a的取值范围是（－eq \f(2,3)，eq \f(4,5)）.
22.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
解：(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．