2020-2021学年广东省珠海市斗门一中高二上学期10月质量监测数学试题（解析版）

珠海市斗门区第一中学2020-2021学年度10月质监测

高三数学试卷

说明：全卷共2页，考试时间为120分钟，满分150分。

注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上选涂相应选项。

1.已知命题，，则命题p的否定为（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

2.的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

3.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来这似乎只是普通的赞美之词，然而它的实际效果却很大，原来这句广告词的等价命题是（    ）

A.不拥有的人们不一定幸福  B.不拥有的人们可能幸福

C.拥有的人们不一定幸福  D.不拥有的人们不幸福

4.已知命题“非P”为真，而命题“P且Q”为假，则：（    ）

A.Q为真    B.“非P或Q”为假

C.“P或Q”为真  D.“P或Q”可真可假

5.已知、是定点，.若点M满足，则动点M的轨迹是（    ）

A.直线  B.线段  C.圆  D.椭圆

6.已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则（    ）

A.   B.   C.4   D.6

7.若m为实数，则“”是“曲线表示双曲线”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

8.直线与双曲线的交点个数是（    ）

A.1   B.2   C.1或2   D.0

9.已知椭圆的焦距为6，过右焦点F的直线l交椭圆C与A，B两点，若的中点坐标为，则C的方程为（    ）

A.   B.

C.   D.

10.已知P是双曲线上任意一点，M，N是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，，若的最小值为1，则实数m的值为（    ）

A.16   B.2   C.1或16   D.2或8

11.已知命题p：椭圆与双曲线有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12.已知点P是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，M为的内心，若成立，则的值为（    ）

A.   B.   C.   D.2

二、填空题：术大题共8小题，每小题5分，麻烦40分，请将正确的答案写在答题卡上.

13.命题：若“且，则”是______（选填“真”或“假”）命题.

14.关于x的方程有两个异号根的充要条件是______.

15.已知命题，，命题，，若为假命题，则实数m的取值范围为______.

16.将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程为______.

17.已知、是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为______.

18.双曲线的离心率为2，过其左支上一点M作平行于x轴的直线交渐近线于P、Q两点，若，则该双曲线的焦距为______.

19.P为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______.

20.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值为______.

三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

21.（本题满分10分）

命题p：方程有实数解，命题q：方程+表示焦点在x轴上的椭圆.

（1）若命题p为真，求m的取值范围；

（2）若命题为真，求m的取值范围.

22.（本题满分10分）

已知，，.

（1）判断p是q的什么条件；

（2）如果q是r的充要条件，求a的值.

23.（本题满分10分）

已知椭圆过点，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.

24.（本题满分10分）

椭圆离心率为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆方程；

（2），是椭圆的左右焦点，过焦点的弦的中点为，求线段长.

25.（本题满分10分）

已知圆（且），点，P是圆M上的动点，线段的垂直平分线交直线于点Q，点Q的轨迹为曲线C.

（1）讨论曲线C的形状，并求其方程；

（2）若，且面积的最大值为，直线l过点N且不垂直于坐标轴，l与曲线C交于A，B，点B关于x轴的对称点为D.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

珠海市斗门区第一中学2020-2021学年度10月质量监测

高三数学试题（答案）1.

1.【解答】解：命题p是全称命题，则命题p的否定是特称命题，

即命题p的否定是：，，故选：C.

2.【解答】解：∵的解集为，选项中：，

∴“”的一个充分不必要条件为：，故选：C.

3.【解答】解：“幸福的人们都拥有”

我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品

它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的

即“不拥有的人们不幸福”

故选：D.

4.【解答】解：“非P”为真，∴P一定为假，

∵命题“P且Q”为假，

∴两个命题中至少有一个为假，

∴“P或Q”不一定为真，

故选：D.

5. 【解答】解：对于在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点M的轨迹是以、为端点的线段.故选：B.

6. 【解答】解：椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，椭圆的离心率：；

所以双曲线的离心率：，解得.

故选：B.

7.【解答】解：曲线表示双曲线，则，解得.

∴“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件.

故选：A.

8.【解答】解：双曲线的渐近线方程为：.

因为直线与双曲线的一条渐近线平行，

在y轴上的截距为3，所以直线双曲线的交点个数是：1.

故选：A.

9.【解答】解：设，，

代入椭圆方程得

①-②得：，

∴.

∵，，.

∴，

化为，又，解得，.

∴椭圆C的方程为.

故选：B.

10. 解答】解：设，，则，

则有，,

两式相减得，，

则有,

而，，

∴.

∴.

得.

故选：A.

11. 【解答】解：p中：椭圆为，双曲线为，

焦点坐标分别为和，故p为假命题；

q中：，

设，则在区间上单调递增，

故，故q为真命题。所以为真命题，

故选：B.

12.【解答】解：设的内切圆的半径为r，

∵M为的内心，，

∴，

∴，

∴，

∵点P是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，

∴

∴.

故选：D.

13.【解答】解：命题“且，则”的逆否命题是：

若，则若或，其是真命题，

故原命题是真，

故答案为：真.

14. 【解答】解：设方程的两个根为，，

因为方程有两个异号根

所以

解得.

所以关于x的方程有两个异号根的充要条件是.

15. 【解答】解：若为假命题，则p，q均为假命题.

命题，，则当时，p为假命题.①

命题，，若q为真命题，

则，，

∴当q为假命题时，或.②

由①②可得m的取值范围为

故答案为：

16.【解答】解：由题意纵坐标变为原来的一半可得：，

整理可得：

故答案为：.

17. 【解答】解：连接，由为等边三角形可知在中，

，，，

所以，

故曲线C的离心率.

故答案为：.

18. 【解答】解：设，则有：

双曲线的渐近线方程为：

当时，，即，

∴，，

∴.

又，即

所以，即，则离心率，所以，焦距为8.

故答案为8.

19.解：设，，

则

，

令，，

，

∴当时，取最小值，最小值为，

故答案为：.

20.【解答】解：根据题意，设，

易得，，

故

又，故，

故，

当时，取到最小值-2；

故答案为：-2.

21. 【解答】解：（1）若有实数解，

∴，解得，

所以若命题p为真，m的取值范围是：

（2）若椭圆焦点在x轴上，所以，解得，

所以若命题q为真，m的取值范围是

若命题为真，

则p，q都为真，∴且，

∴. .

∴m的取值范围是.

22. 【解答】解：（1） ，解不等式得：；

因为

所以p是q的充分不必要条件.

（2）因为q是r的充要条件，

所以不等式的解集是

所以，是方程的两根

由韦达定理得：，解得

23.【解答】解：（1）由题意得，

结合，解得

所以，椭圆的方程为.

（2）由得

即，经验证.

设，.

所以，,

故

因为点M到直线的距离，

所以.

24.【解答】解：（1）由题意可得,解得，，

故椭圆C的方程为；

（2）由题意知直线的斜率存在

设，，，

联立椭圆与直线方程：

消去y得：，

故

，解得：.

将代入得，故，

∴

25. 【解答】解：（1）当，即N点在圆M外时，轨迹是双曲线，如图：

因为，则，

所以点Q的轨迹是以M，N为焦点，以为实轴长的双曲线，

则Q点轨迹方程：；

当，即N点圆M内时，轨迹是椭圆，如图：

因为，则，

所以点Q的轨迹是以M，N为焦点，以为长轴长的椭圆，

则Q点轨迹方程为；

（2）因为的面积有最大值，故此时Q点轨迹是椭圆，

即Q点所在方程为.

且当Q点为短轴顶点时的面积最大，即有，解得，

所以Q点方程为，，

设直线，，，

联立，整理得.

则，，①

因为，

所以直线的方程为，

令，得

将①代入得，则直线必过点（4，0），证毕.