2020-2021学年山东省泰安肥城市高二上学期期中考试数学试题 Word版

泰安肥城市2020-2021学年高二上学期期中考试 数 学 试 题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线的倾斜角，则其斜率

   A．            B．              C．                D．

2．如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是

   A．            

 B．              

C．     

 D．

3．圆的圆心和半径分别是

A．     B．      C．      D．

4．已知直线：，则直线经过哪几个象限

A．一、二、三象限           B．一、二、四象限              

C．二、三、四象限           D．一、三、四象限

5．若两异面直线与的方向向量分别是,则直线与的

夹角为

A．             B．              C．             D．

6．已知,若点在线段上，则的最小值为

A．              B．                C．               D．

7．如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，

，向量，

则分别是

 A．        B．

   C．      D．

8．圆 和圆交于两点，则两圆公共弦的

弦长为

A．        B．          C．          D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是

  A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 ；

B．直线的方向向量，平面的法向量是，则；

C．两个不同的平面的法向量分别是，则；

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则.

10．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，

则面积的可能取值是

A．            B．            C．            D．

11．在正方体中,点分别为棱的中点. 则下列结

论正确的是

A．                     B．

C．               D．和所成角为

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系中，

已知, 点满足, 设点的轨迹为圆, 下列结论正确的是

A．圆的方程是.

B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为.

C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为.

D．在直线上存在异于的两点, 使得.

三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。

13. 平面的一个法向量是， 点在平面内， 则点

到平面的距离为    ▲     .

14. 已知两条平行直线间的距离为，则的值

为    ▲     ．

15. 如图，已知

则线段长为    ▲   ．

16．已知点是直线上的动点，过点作圆的

切线，切点为，则当四边形的面积最小时，直线的方程

为     ▲     .

四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

求经过直线的交点,且满足下列条件的直线的方程.

（1）经过点；

（2）与直线平行.

18．（12分）

已知空间中的三点,设.

（1）若与互相垂直，求的值；

（2）求点到直线的距离.

19．（12分）

条件①：图（1）中.

条件②：图（1）中.

条件③：图（2）在三棱锥的底面中，.

从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答.

如图（1）所示，在中,，，过点作，垂足在线段上，沿将折起，使 (如图（2）)，点为棱的中点．已知_____________,在棱上取一点，使得，求锐二面角的余弦值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（12分）

    已知在平面直角坐标系中，点，直线. 圆的半径为，

圆心在直线上.

（1）若直线与圆相切，求圆的标准方程；

（2）已知动点，满足，说明的轨迹是什么? 若点同时

在圆上，求圆心的横坐标的取值范围.

21．（12分）

如图所示多面体中，平面，四边形为平行四边形，的中点，为线段上一点，

（1）若的中点，证明：∥平面；

（2）若,求直线与平面所成角的正弦值.

22．（12分）

已知点关于原点对称，点在直线上，，圆过点且与直线相切，设圆心的横坐标为.

（1） 求圆的半径；

（2） 已知点,当时,作直线与圆相交于不同的两点,已知直线

不经过点,且直线斜率之和为,求证：直线恒过定点.

高二数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

    题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。

13.             14.         15.         16.

四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

解：由解得故点.设所求直线为.…………4分

（1）当直线经过点时，可得直线的方程为 ，

化简得.   ……………………………………………………………………7分

（2）若直线平行直线，则直线的斜率为,

所以直线的方程为，即.     ……………………………10分18.（12分）

解：由题意可求得,.  …………………………2分

（1）可得  ………………………………4分

因为,所以有,    …………………………7分

整理得,解得

所以的值为      …………………………………………………………8分

（2）设直线的单位方向向量为,

则.      ………………………………………………9分

由于，所以，.      ……………………………11分

所以点到直线的距离 ………………12分

19.（12分）

解：方案一：选①

在图(1)所示的中，设，在中，

,解得，.  …………………………………2分

以点为原点，建立如图所示

的空间直角坐标系,则

∴.  ……………4分

由,可得，.  ……………………………………6分

取平面的一个法向量,

由,得，令，则.………………………9分

取平面的一个法向量,             …………………………………10分

∴, …………………………………11分

∴锐二面角的余弦值为.           …………………………………12分

方案二：选②

在图(1)所示的中，由得

因为,所以  ………………………………………2分

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则

∴. ……………………………4分

由,

可得，. ………6分

取平面的一个法向量,

由,得，令，则.………………………9分

取平面的一个法向量,             …………………………………10分

∴, …………………………………11分

∴锐二面角的余弦值为.           …………………………………12分

方案三：选③

图（2）在三棱锥的底面中,设，则,

所以,解得.

又因为,所以          ………………………………………2分

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，

∴.  …………………………4分

由,

可得，. ………6分

取平面的一个法向量,

由,得，

令，则.…………………………………………………………………9分

取平面的一个法向量,             …………………………………10分

∴, …………………………………11分

∴锐二面角的余弦值为.           …………………………………12分

20.（12分）

解：（1）因为圆心在直线上, 所以圆心可设为.

由题意可得,即.  …………………2分

由, 解得.    ………………………………………………4分

圆心的坐标为.

所以圆的标准方程为…………6分

（2）由,得,

化简得: ,即.

所以动点的轨迹是以为圆心,半径是的圆.   ……………………………8分

若点同时在圆上, 则圆与圆有公共点,

则,即.  ……………………………………10分

整理得 , 解得.

所以圆心的横坐标的取值范围为.  …………………………………………12分

21.（12分）

（解法一）证明：（1）取的中点为，连,

因为分别为的中点，所以且.  ……………………1分

又为平行四边形,且,

所以且,

即四边形是平行四边形.

即.                                 ………………………………………3分

又平面,平面,

所以平面 . …………………5分

（2）以所在直线为轴，

过点且与平面垂直的直

线为轴，所在直线为轴建

立如图所示空间直角坐标系，则

，,，

，，

∴.          …………………………………………7分

设，,

∴ 则. ………………………………………………8分

设平面的法向量为

则,即 ，取得.   ……………… 10分

∴，

∴与平面所成角的正弦值为.     ……………………………… 12分

（解法二）证明：（1） 以所在直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，,，，.……………………………………2分

因为的中点，的中点，所以.

直线的方向向量.     ………………………………………………3分

取平面的一个法向量，      …………………………………………4分

因为，即.

所以∥平面.      ………………………………………………………………5分

（2）

设，,

∴ 则.           ……………………………… 8分

设平面的法向量为

则,即 ，取得.   ……………… 10分

∴与平面所成角的正弦值为.    ……………………………… 12分

22.（12分）

解：（1）因为圆过点,所以圆心在的垂直平分线上，

由已知点在直线上，且点关于原点对称，

所以点在直线上，则点的坐标为. …………………………………1分

因为圆与直线相切，所以圆的半径为,

连接,由已知得,

又,故可得, ……………………………………………3分

整理得：，解得, 故圆的半径为 ………5分

（2）因为,所以,圆的方程为.

设点,

当直线的斜率存在时,设直线,

联立方程组,消去得

则 ………………………7分

因为

   …………………9分

又因为直线斜率之和为,所以,

得.

代入,得,

所以直线恒过定点  …………………………………………………………10分

当直线的斜率不存在时,

因为直线斜率之和为,所以,

但故不合题意,舍去. 

综上, 直线恒过定点 …………………………………………………………12分

更  正

附加题的答题卡图：原图少个字母A          

改为：