2020-2021年山东省泰安市肥城市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年山东省泰安市肥城市高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数，则的虚部为
A. B. C. D.
2. 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是
A. 一个六棱柱中挖去一个棱柱 B. 一个六棱柱中挖去一个棱锥
C. 一个六棱柱中挖去一个圆柱 D. 一个六棱柱中挖去一个圆台
3. 下列命题正确的是
A. 铺的很平的一张纸是一个平面 B. 四边形一定是平面图形
C. 三点确定一个平面 D. 梯形可以确定一个平面
4. 用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是
A. 正方形的直观图为平行四边形 B. 菱形的直观图是菱形
C. 梯形的直观图可能不是梯形 D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形
5. 如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为
A． B． C．D．
6. 已知为复数，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则为实数
C．若，则为纯虚数 D．若，则
7. 已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线， 在平面内一定存在一条直线，使得直线与直线
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
B
C
N
M
F
8. 如图，在等腰中，已知分别是边的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是
E
A
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是
A.
B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
C. 已知复数且，则
D. 若复数 QUOTE 是纯虚数，则 QUOTE 或 QUOTE
10. 已知向量，记向量，的夹角为，则
A．时，为锐角B．时，为钝角
C．时，为直角 D．时，为平角
11. 设分别为的内角的对边，下列条件中可以判定一定为等腰三角形的有
A． B．
C． D．
12. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为. 则下列关于该多面体的说法中正确的是
A．多面体有个顶点，个面
B．多面体的体积为
C．多面体的表面积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。
13. 已知向量为单位向量，当向量，的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是 .
14. 如图，正方体的棱长为，过顶点截下一个三棱锥．则剩余部分的体积是 .
15. 在中，已知，若该三角形有两解，则的取值范围是 ．
16. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠. 球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高， 球冠表面积，其中为球的半径，为球冠的高. 设球冠底的半径为，周长为，球冠的表面积为，则的值为 .（结果用、表示）

四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
从①与复数相等,②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：若复数， .
求方程的根.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知直线，平面，且，，. 判断直线的位置关系，并说明理由.
19．（12分）
·
2a
2a
a
·
P
Q
一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点在直观图中所示位置，为所
在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表
面上，从点到点的最短路径长.
20．（12分）
（1）叙述并证明余弦定理；
（2）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处航行到处时看灯塔在北偏东，求灯塔与处之间的距离．
21．（12分）
在中，内角的对边分别为. 已知，向量，
，且.
（1）求外接圆的直径；
（2）若，求的面积．
22．（12分）
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型， 并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥. 某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交于点，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥. 在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，请在图中的棱上作出点，并说明作法及理由.
F
A
B
C
D
P
E
·
·
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的
得3分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解:
………………………………………………3分
（1）选择条件①
根据复数相等的充要条件，得………………………………………6分
解得，…………………………………………………………………………………7分
方程的根为………………………………………………………10分
（2）选择条件②
根据共轭复数的定义，得……………………………………………6分
解得， …………………………………………………………………………………7分
方程的根为……………………………………………………10分
（3）选择条件③
根据题意，得……………………………………………………6分
解得， …………………………………………………………………………………7分
方程的根为 ……………………………………………………10分
18.（12分）
解：直线的位置关系是平行直线或异面直线 ……………………………………3分
理由如下：由，直线分别在平面，内，
可知直线没有公共点. ……………………………………………………7分
因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，
这与是平面，平行矛盾. ……………………………………………………11分
因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线. ………………………………12分
19.（12分）
解：（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.
， ………………………………………………2分
， ……………………………………………………4分
， …………………………………………………………………………5分
所以. ………6分
A
Q
B
C
P
（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图.
则…………………………………9分

. ………………………………………11分
所以、两点间在侧面上的最短路径长为. ……………………………12分
20.（12分）
解：（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍.
或在中，三个角所对的边分别是，有
………………………………………………………………3分
（1）证明：在中，
即
同理可证
………………………………………………………………6分
（2）解：由题意，画出示意图．
在中，由已知得，
由正弦定理得，………………………………………………9分
在中，由余弦定理得
，
所以（海里)．
即，之间的距离为．………………………………………………………………12分
21.（12分）
解：（1）因为，
所以.……………………………………………………………………2分
由正弦定理得：. …………………………………………4分
因为，所以.
因为，所以，， ………………………………………5分
所以外接圆的直径. ………………………………………6分
（2）由（1）及正弦定理得：. …………………………7分
因为，
所以. ………………………………………8分
由余弦定理得：，即. ……………………………9分
结合，可得，
所以， ………………………………………………………11分
所以的面积为. ………………………………………12分
22．（12分）
解：作法：连接并延长，与的延长线相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，与相交于一点，则该点即为点. ………………6分
F
A
B
C
D
P
E
·
·
G
H
M
·
理由如下：
因为与是两条相交直线，
所以与确定一个平面，
所以，，
所以.
因为，，
所以. ………………………………………………………………………9分
又因为，
所以，
所以. ……………………………………………………………11分
所以四点共面. ……………………………………………………………12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
A
B
D
C
题号
9
10
11
12
答案
AC
ACD
BCD
ABD