【2022版】专题25含参数的“一元二次不等式”解法-高三数学万能解题模板【2022】（原卷+解析版）

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专题25 含参数的“一元二次不等式”解法

【高考地位】
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.
类型一 根据二次项系数的符号分类
万能模板
内 容
使用场景
参数在一元二次不等式的最高次项
解题模板
第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；
第二步 分别求出其对应的不等式的解集；
第三步 得出结论.
例1 已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求的值．
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤ 当时，原不等式解集为

（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：
不等式为，即
第二步，分别求出其对应的不等式的解集：
当时，原不等式的解集为；
当时，方程的根为；
所以当时，；
②当时，，
③当时，，
④当时，，学*科网
第三步，得出结论：
综上所述，原不等式解集为①当时，或；②当时，
③当时，；④当时，；⑤当时，原不等式解集为.
考点：一元二次不等式的解法.
【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网
【变式演练1】【湖北省黄冈市麻城市2020-2021学年模拟】已知二次函数 ．
（1）若 时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）解关于的不等式 （其中 ）．
【答案】（1）a＜；（2）①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．
【分析】
（1）不等式转化为，利用参数分离法得，即，再利用基本不等式求函数的最小值即可.
（2）不等式 ，即，对进行分类讨论，由二次不等式的解法，即可得到所求解集.
【详解】
(1)不等式即为：，
当 时，可变形为：，即.
又，当且仅当，即时，等号成立，，即
实数的取值范围是：
（2） 不等式 ，即 ，
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，
②当时，可得，解不等式 得： 或 ；
③当时，因为，解不等式 得：；
④当时，因为，不等式 的解集为 ；
⑤当时，因为，解不等式 得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．
类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
万能模板
内 容
使用场景
一元二次不等式可因式分解类型
解题模板
第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；
第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；
第三步 得出结论.
例2 解关于的不等式（为常数且）.[来源:Z§xx§k.Com]
【答案】时不等式的解集为； 时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.
若，，不等式的解集为学*科网
试题分析：,先讨论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，，分别写出不等式的解集即可.
【解析】第一步，将所给的一元二次不等式进行因式分解：
原不等式可化为
第二步，比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论：
（1）时，不等式的解集为；
（2）时，若，，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；学*科网
若，，不等式的解集为；
第三步，得出结论：
时不等式的解集为； 时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.
若，，不等式的解集为
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练2】【北京市第八中学 2019-2020学年高三下学期期末】设，不等式的解集记为集合.
（1）若，求的值；
（2）当时，求集合.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；
（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.
【详解】
（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，
所以，，由韦达定理可得，解得；
（2）当时，由可得，
解方程，可得或.
①当时，即当时，或；
②当时，即当时，原不等式为，则；
③当时，即当时，或.
综上所述，当时，或；
当时，则；
当时，或.
类型三 根据判别式的符号分类
万能模板
内 容
使用场景
一般一元二次不等式类型
解题模板
第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；
第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；
第三步 得出结论.
例3 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．
【答案】
【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：
B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，
(1)当k=0时，.
(2)当k＞0时，△＜0，x.
(3)当k＜0时，.
第二步，讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集：
故：当时，由B=R，显然有A，
当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.
，比较
因为
(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.
(2)当k=1时，x.
(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.
第三步，得出结论：
综上所述，k的取值范围是：
【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.
【变式演练3】在区间上,不等式有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：一元二次不等式定区间定轴问题.
【变式演练4】【2020湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（文）试卷】若存在x∈[-2,3]，使不等式2x-x2≥a成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． (-∞,1] B． (-∞,-8] C． [1,+∞) D． [-8,+∞)
【答案】A
【解析】
试题分析：设f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1，因为存在，使不等式2x-x2≥a成立，可知，所以，故选A．

【高考再现】
1.【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.
【答案】[来源:学科网ZXXK]
【解析】由题意得：，解集为
【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式
【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程的解集，先研究，按照，，三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.
2.【2012年福建卷】已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】（0,8）
【解析】试题分析：因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8
故答案为：（0，8）
考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
3.【2015高考广东，文11】【2008年高考广东卷理科数学试题】已知若关于的方程有实根，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实根，那么即，而，从而，解得。
4.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B[来源:学科网ZXXK]
【考点定位】同解不等式的判断.
【名师点睛】求解本题的关键是判断出. 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.
【反馈练习】
1．【浙江省嘉兴市2020届高三模拟】已知函数f(x)=x2+ax+b，集合A={x|f(x)≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A． [5,5] B． [-1,5] C． [5,3] D． [-1,3]
【答案】A
【解析】设B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，(m,n为f(x)=54的两根)，因为A=B≠∅，所以n=0且m≤fmin(x)，Δ=a2-4b≥0，于是f(n)=f(0)=54，b=54，Δ=a2-5≥0 ⇔ a≤-5或a≥5，令t=f(x)，f(f(x))≤54⇒f(t)≤54⇒t2+at+54≤54⇒-a≤t≤0，即B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}={x|-a≤f(x)≤0}⇒m=-a，所以-a≤fmin(x)，即-a≤f(-a2)⇒a∈[-1,5]，即a∈[5,5]，故选A.
点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合A=B≠∅，得出b和m=-a，即可求出实数a的取值范围.
2．【湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考】设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
分类讨论求出集合，结合充分性、必要性的定义进行求解即可
【详解】
本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.
，
当时，；
当时，；
当，，
，
因为Ü，所以的充分不必要条件.
故选：A
3．【河南省2020届高三6月联考全国1卷阶段性测试】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时Ü；
当时，不等式的解集为，
Ü，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得Ü，此时.
综上所述，.
故选：D.
4．【吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测】若关于x的方程(lnx-ax)lnx=x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是
A． (-∞,1e2-1e) B． (1e2-1e,0) C． (-∞,1e-e) D． (1e-e,0)
【答案】C
【解析】原方程可化为(lnxx)2-alnxx-1=0，
令t=lnxx，则t2-at-1=0．
设y=lnxx，则y'=1-lnxx2得，
当0