2019年浙江温州鹿城区高考数学一模试题（含答案）

这是一份2019年浙江温州鹿城区高考数学一模试题（含答案），共10页。

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
已知函数 fx=lg2x,x>03x,x≤0，则 ff14 的值是
A． 9 B． 19 C． −9 D． −19
函数 y=fx 旳图象向右平移 π6 单位后与函数 y=sin2x 旳图象重合，则 y=fx 旳解析式是
A． fx=cs2x−π3 B． fx=cs2x−π6
C． fx=cs2x+π6 D． fx=cs2x+π3
在 △ABC 中，M 为 BC 的中点，AM=1，点 P 在 AM 上，AP=2PM，则 PA⋅PB+PC=
A． 43 B． 49 C． −43 D． −49
已知四棱锥 P−ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P−ABCD 的四个侧面中面积最大的是
A． 3 B． 25 C． 6 D． 8
函数 fx=lnx−x2+2x,x>02x+1,x≤0 的零点个数为
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
在二项式 x12+12x14n 的展开式中，若前 3 项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
在 R 上定义运算 ⊗：x⊗y=x1−y．若对任意 x>2，不等式 x−a⊗x≤a+2 都成立，则实数 a 的取值范围是
A． −1,7 B． −∞,3
C． −∞,7 D． −∞,−1∪7,+∞
如果一个 n 位十进制数 a1a2a3⋯an 的数位上旳数字满足“小大小大 ⋯ 小大”的顺序，即满足：a1a3a5A． 215 B． 415 C． 25 D． 815
ABCD−A1B1C1D1 是正方体，点 O 为正方体对角线的交点，过点 O 的任一平面 α，正方体的八个顶点到平面 α 旳距离作为集合 A 旳元素，则集合 A 中的元素个数最多为
A． 3 个B． 4 个C． 5 个D． 6 个
若直线 y=2x+m 是曲线 y=xlnx 的切线，则实数 m 的值为 ．
圆 x2+y2+2x+4y−15=0 上到直线 x−2y=0 的距离为 5 的点的个数是 ．
如图是一个算法旳流程图，则输出 S 旳值是 ．
设变量 x，y 满足约束条件：y≥x,x+3y≤4,x≥−2, 则 z=∣x−3y∣ 的最大值为
已知等差数列 an 中，a1=1，d=2，且 1a12，1a42，1am2 成等比数列，则整数 m= ．
设 x>0，y>0，x+y−x2y2=4，则 1x+1y 的最小值为 ．
已知 A，B 分别是双曲线 C：x2−y2=4 的左、右顶点，点 P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则 ∠PBA−∠PAB= ．
在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 A=π4，bsinπ4+C−csinπ4+B=a．
(1) 求证：B−C=π2．
(2) 若 a=2，求 △ABC 的面积．
桌面上有三颗均匀的骰子（6 个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6）．重复下面的操作，直到桌面上没有骰子：将骰子全部抛掷，然后去掉哪些朝上点数为奇数的骰子．记操作三次之内（含三次）去掉的骰子的颗数为 X．
(1) 求 PX=1；
(2) 求 X 的分布列及期望 EX．
如图，在空间几何体 AB−CDEF 中，底面 CDEF 为矩形，DE=1，CD=2，AD⊥底面CDEF，AD=1，平面BEF⊥底面CDEF，且 BE=BF=2．
(1) 求平面 ABE 与平面 ABF 所成的锐二面角旳余弦值；
(2) 已知点 M，N 分别在线段 DF，BC 上，且 DM=λDF，CN=μCB．若 MN⊥平面BCF，求 λ，μ 的值．
已知抛物线 x2=y，O 为坐标原点．
(1) 过点 O 作两相互垂直的弦 OM，ON，设 M 的横坐标为 m，用 m 表示 △OMN 的面积，并求 △OMN 面积的最小值；
(2) 过抛物线上一点 A3,9 引圆 x2+y−22=1 的两切线 AB，AC，分别交抛物线于点 B，C，连接 BC，求直线 BC 的斜率．
已知函数 fx 满足 fx=fʹ1ex−1−f0x+12x2．
(1) 求 fx 旳解析式及单调区间；
(2) 若 fx≥12x2+ax+b，求 a+1b 的最大值．
答案
1. 【答案】A
【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算
2. 【答案】B
【知识点】分段函数
3. 【答案】B
【知识点】三角函数的图象变换
4. 【答案】D
【知识点】平面向量的数量积与垂直
5. 【答案】C
【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体
6. 【答案】D
【知识点】函数的零点分布
7. 【答案】C
【知识点】二项式定理的通项
8. 【答案】C
【知识点】恒成立问题
9. 【答案】A
【解析】显然 b，d 中必有一个数字为 5，由对称性，不妨先设 b=5，则 d≥3．
若 d=4，则 a，c，e 是 1，2，3 的任意排列都满足，即 A33=6 种；
若 d=3，则 c，e 是 1，2 的任意排列，且 a=4，即 2 种；
则满足条件的概率是：2A33+A22A55=215．
【知识点】古典概型
10. 【答案】B
【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）
11. 【答案】−e
【知识点】利用导数求函数的切线方程
12. 【答案】 4
【知识点】直线与圆的位置关系
13. 【答案】 3018
【知识点】程序框图
14. 【答案】 8
【知识点】线性规划
15. 【答案】 25
【知识点】等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质
16. 【答案】 4
【知识点】均值不等式的应用
17. 【答案】 90°
【知识点】双曲线的简单几何性质
18. 【答案】
(1) 由 bsinπ4+C−csinπ4+B=a 及正弦定理得：sinBsinπ4+C−sinCsinπ4+B=sinA，
即 sinB22sinC+22sinC−sinC22sinB+22sinB=22，
整理得：sinBcsC−csBsinC=1，
所以 sinB−C=1，
又 0所以 B−C=π2．
(2) 由（1）及 B+C=3π4 可得 B=5π8，C=π8，
又 A=π4，a=2，
所以 b=asinBsinA=2sin5π8，c=asinCsinA=2sinπ8，
所以三角形 ABC 的面积 =12bcsinA=2sin5π8sinπ8=2sinπ8csπ8=22sinπ4=12．
【知识点】正弦定理
19. 【答案】
(1) PX=1=C31123122122+123C31123122+123123C31123=21521.
(2) X0123P351221512147512341512EX=0×3512+1×21251+2×147512+3×341512=669256．
【知识点】事件的相互独立性、离散型随机变量的数字特征、离散型随机变量的分布列
20. 【答案】
(1) 如图，分别以 DE，DC，DA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
则有 A0,0,1，D0,0,0，E1,0,0，F1,2,0，C0,2,0．
又 平面BEF⊥底面CDEF，则点 B 的横坐标为 1，
由 BE=BF=2，EF=2，得点 B 的纵坐标和竖坐标都为 1，即 B1,1,1．
设平面 ABE 的法向量为 n=x,y,z，
又 EA=−1,0,1，EB=0,1,1，
得 −x+z=0,y+z=0, 取 z=1，得 n=1,−1,1．
设平面 ABF 的法向量为 m=x,y,z，
又 AB=1,1,0，FB=0,−1,1，
得 x+y=0,−y+z=0, 取 y=−1，得 m=1,−1,−1．
由 csn,m=n⋅mn×m=13．
(2) 由 DM=λDF，得 Mλ,2λ,0，
同理由 CN=μCB，得 Nμ,2−μ,μ．
则 NM=λ−μ,2λ+μ−2,−μ，
由 NM⋅CF=0,NM⋅CB=0, 得 λ=μ=12．
【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系
21. 【答案】
(1) 设 MxM,xM2，NxN,xN2．
由 OM⊥ON 得 xMxN=−1．
因为 xM=m，所以 xN=−1m．
所以 ∣OM∣=xM2+xM4=m2+m4，∣ON∣=xN2+xN4=−1m2+−1m4=m2+1m4．
所以
S△OMN=12∣OM∣∣ON∣=12m2+m4m2+1m4=122+m2+1m2≥122+2m2⋅1m2=122+2=1.
(2) 设 Bx1,x12，Cx2,x22，直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2，则直线 AB 的方程为 y−9=k1x−3，即 k1x−y−3k1+9=0，同理，直线 AC 的方程为 k2x−y−3k2+9=0．
由于圆心 0,2 到直线 AB 和 BC 的距离均为 1，
所以 ∣3k1−7∣1+k12=1，∣3k2−7∣1+k22=1，
所以 4k12−21k1+24=0 且 4k22−21k2+24=0，
所以 k1，k2 为方程 4k2−21k+24=0 的两根，
所以 k1+k2=214．
由方程组 y=x2,y−9=k1x−3 得 x2−k1x+3k1−9=0，
因为直线 AB 与抛物线 x2=y 交于 A，B 两点，
所以 x1+3=k1，同理 x2+3=k2．
所以 kBC=x22−x12x2−x1=x1+x2=k1+k2−6=−34．
故直线 BC 的斜率为 −34．
【知识点】抛物线中的弦长与面积、抛物线中的动态参数问题、直线与圆的综合问题
22. 【答案】
(1) fx=fʹ1ex−1−f0x+12x2⇒fʹx=fʹ1ex−1−f0+x，
令 x=1 得：f0=1，
fx=fʹ1ex−1−x+12x2⇒f0=fʹ1e−1=1⇔fʹ1=e，
得：fx=ex−x+12x2⇒gx=fʹx=ex−1+x，
gʹx=ex+1>0⇒y=gx 在 x∈R 上单调递增，
fʹx>0=fʹ0⇔x>0，fʹx<0=fʹ0⇔x<0，
得：fx 的解析式为 fx=ex−x+12x2，且单调递增区间为 0,+∞，单调递减区间为 −∞,0．
(2) fx≥12x2+ax+b⇔hx=ex−a+1x−b≥0 得 hʹx=ex−a+1．
①当 a+1<0 时，hʹx>0⇒y=hx 在 x∈R 上单调递增，
x→−∞ 时，hx→−∞ 与 hx≥0 矛盾．
②当 a+1=0 时，b≤ex⇒b≤0．
③当 a+1>0 时，hʹx>0⇔x>lna+1，hʹx<0⇔x得：当 x=lna+1 时，hxmin=a+1−a+1lna+1−b≥0，
a+1b≤a+12−a+12lna+1a+1>0，
令 Fx=x2−x2lnxx>0，则 Fʹx=x1−2lnx，
Fʹx>0⇔0e，
当 x=e 时，Fxmax=e2，
当 a=e−1，b=e 时，a+1b 的最大值为 e2．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值