2021-2022学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析）

这是一份2021-2022学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（　　）
A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，2，3，6 D．2，4，5，10
3．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
4．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y=﹣x2 B．y=﹣x2+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2﹣1
5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）
7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．
8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（　　）

A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
9．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若=，则=　 　．
12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式　 　．
14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为　 　m．

15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为　 　．

16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　 　．

　
三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）
17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）把这个二次函数化为顶点式；
（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；
（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集　 　．[来源:Z&xx&k.Com]

18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8， BE=2，求FC的长．

19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为　 　，点C的坐标为　 　．
（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为　 　．[来源:Z#xx#k.Com]
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：　 　．

20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．
21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）

22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD2=BD•DE．

23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．

24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求B点与顶点D的坐标；
（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S△ADM=5，求直线l的解析式；
（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是　 　．

25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．
（1）如图1，若m=，求的值；
（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；
（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．

26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），
①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是　 　；
②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；
（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．
　

2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
　
2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（　　）
A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，2，3，6 D．2，4，5，10
【解答】解：A、3：6=2：4，则a：b=c：d，即a，b，c，d成比例；
B、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；
C、1：3=2：6，则a：c=b：d．故a，c，b，d成比例；
D、2：4=5：10，即a：b=c：d，故a，b，c，d成比例．
故选：B．
　
3．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是边AB的中点，
∴AD：AB=1：2，
∴=（）2=．
故选：D．
　
4．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y=﹣x2 B．y=﹣x2+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2﹣1
【解答】解：如图，
由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，
故所得函数顶点为（0，﹣1），
则所得函数为y=﹣x2﹣1．
故选：C．

　
5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【解答】解：∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
　
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（，5） C．（3， 5） D．（3，6）
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴=，
∵A（1，2），
∴C（，5）．
故选：B．
　
7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选： C．
　
8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（　　）

A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴===，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．
故选：B．

　
9．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b﹣1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
又∵﹣＞0，a＞0
∴﹣=﹣+＞0
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，
∴A符合条件，
故选：A．
　
10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°=，
∴y=×AP×PQ=×x×=x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16﹣x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．
∴==．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
　
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若=，则=　　．
【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，
则=，
故答案为：．
　
12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
【解答】解：由抛物线y=x2﹣3x可知对称轴x=﹣=，
∵抛物线开口向上，而点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比B（3，y2）远，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
　
13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式　y=x2﹣1（答案不唯一）　．
【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．
故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．
　
14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为　6　m．

【解答】解：设树的高度为xm，
根据题意得： =，
解得：x=6．
故答案为：6．
　
15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为　2　．

【解答】解：在△BCD和△ACB中，
∵∠C=∠C（公共角），
∠DBC=∠A（已知），
∴△BCD∽△ACB，
∴=，
∵，AC=3，
∴CD=2．
　
16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　﹣3或6　．

【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），
根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y=2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1=﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18=0，
解得：n=﹣3或n=6，
故答案为：﹣3或6．
　
三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）
17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）把这个二次函数化为顶点式；
（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；
（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集　x＜1或x＞3　．

【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；
（2）图右图所示；
（3）由图象可得，
不等式y＞0的解集是x＜1或x＞3，
故答案为：x＜1或x＞3．

　
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．

【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．
又∵∠DAE=∠F，
∴∠AEB=∠F．
∴△ABE∽△ECF；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8．
∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．
∴．
∴
　
19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为　（2，8）　，点C的坐标为　（6，6）　．
（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为　（a﹣7，b）　．[来源:学#科#网]
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：　（1，4）或（﹣1，﹣4）　．

【解答】解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；

（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b）；

（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．

　
20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．
【解答】解：（1）根据题意知，△=22﹣4×1×（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；

（2）∵k＜，且k为正整数，
∴k=1或k=2，
当k=1时，函数解析式为y=x2+2x﹣2，不符合题意，舍去；
当k=2时，函数解析式为y=x2+2x，与x轴的交点为（0，0）、（﹣2，0），符合题意，
故k=2．
　
21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）

【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）．
设过点A、B、C的抛物线方程为：y=a（x+20）（x﹣20）（a＜0）．
把点C（0，10）的坐标代入，得
10=a（0+20）（0﹣20），
解得：a=﹣，
则该抛物线的解析式为：y=﹣（x+20）（x﹣20）=﹣x2+10
把y=8代入，得﹣x2+10=8，
即x2=80，x1=4，x2=﹣4．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF=|x1﹣x2|=|4﹣（﹣4）|=8（m）．
　
22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD2=BD•DE．

【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBC，
∵BA•BC=BD•BE．
即，
∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，
∴∠BAD=∠BEC，∠ADB=∠BCE，
∵∠AED=∠BEC，
∴∠BAD=∠AED，
∴△ADE∽△BEC，
∴△AED∽△ABD，
∴，
即AD2=BD•DE．
　
23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．

【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴=， =，
∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，
∴=，
=，[来源:Zxxk.Com]
∴=，
解得BD=52，
∴=，
解得AB=54．
答：建筑物的高为54米．
　
24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求B点与顶点D的坐标；
（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S△ADM=5，求直线l的解析式；
（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是　t＞　．

【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，
得：a+（a+1）﹣3=0，
a=1，
∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
由对称性得：B（3，0）；

（2）设直线AD的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线AD的解析式为：y=﹣2x﹣2，
设AD交y轴于N，
∴ON=2，
∴S△ADM=MN•（﹣xA+xD）=5，
∴（2+OM）×（1+1）=5，
OM=3，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：；
直线l的解析式为：y=﹣x+3；

（3）如图2，由对折得：OC=3+2（t﹣3）+2=2t﹣1，
∴新抛物线的顶点为（2t﹣1，﹣4），
解析式为：y=（x﹣2t+1）2﹣4，
则，
（x﹣2t+1）2﹣4=﹣x+3，
x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣4t﹣6=0，
当△＜0时，图象G与直线l没有公共点，
即△=[﹣（4t﹣3）]2﹣4（4t2﹣4t﹣6）＜0，
t＞，
故答案为：．


　
25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．
（1）如图1，若m=，求的值；
（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；
（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．

【解答】解：（1）如图1，
过点F作FG⊥CD于G，FG=AD=3，
∴∠PFG+∠FPG=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠DPE+∠FPG=90°，
∴∠PFG=∠EPD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠FGP=90°，
∴△PDE∽△FGP，
∴，
∵CD=AB=6，
而点P是CD的中点，
∴DP=3，
∴=；

（2）如图2，过点F作FG⊥CD于G，
同（1）的方法得，
∴△PDE∽△FGP，
∴，
∵CD=AB=8，
而点P是CD的中点，
∴DP=4，
∴；
过点N作NQ⊥CD于Q，
同理：，
∴，
∵∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∵，
∴△MPE∽△NPF，
∴；

（3）如图3，
∵点N是点D关于PE的对称点，
∴AP⊥DN，AN=AD=3，
∵点N到直线AB的距离为1，
∴NH=1，
在Rt△AHN中，AH==2，
过点N作NI⊥AD交DA的延长线于I，
∴四边形AHNI是矩形，
∴IN=AH=2，AI=NH=1，
∴DI=AD+AI=3+1=4，
∵∠ADN+∠PDN=90°，∠APD+∠PDN=90°，
∴∠ADN=∠APD，
∵∠DIN=∠PDA=90°，
∴△ADP∽△NID，
∴，
∵点P是CD中点，
∴DP=m，
∴，
∴m=6．



　
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），
①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是　S、T　；
②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；
（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）当m=﹣1时，B（﹣1，﹣1）．
如图1所示：

∵点R到B的距离不等于AB，
∴点R不能构成点A，B的“伴随菱形”顶点．
∵点S为以AS为对角线的菱形的顶点，点为以BT为对角线的菱形的顶点，
∴能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是S、T为．
故答案为：S、T．
（2）如图2所示：当点B位于点A的右侧时，过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．

∵点A，B的“伴随菱形”为正方形，
∴∠ABC=45°．
设直线AB的解析式为y=﹣x+b，将点（1，4）代入得：﹣1+b=4，解得b=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5．
如图3所示，当点B位于点A的左侧时，过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．

同理：∠ABC=45°．
设直线AB的解析式为y=x+b，将点（1，4）代入得：1+b=4，解得b=3，
∴直线AB的解析式为y=x+3．
综上所述，直线AB的解析式为y=﹣x+5或y=x+3．
（3）y=x2﹣2nx+=（x﹣n）2+．
将y=﹣x+5代入y=x2﹣2nx+得，x2﹣2nx+=﹣x+5，整理得：x2+（1﹣2n）x﹣4+n2=0，
当△=0，即（1﹣2n）2﹣4（n2﹣4）=0，图象G上恰好存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，
解得：n=5．
将y=x+3代入y=x2﹣2nx+得，x2﹣2nx+=x+3，整理得：x2+（1+2n）x﹣2+n2=0，
当△=0，即（1+2n）2﹣4（n2﹣2）=0，图象G上恰好存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，
解得：n=﹣3．
∴当﹣3≤n≤5时，图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形．