黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知2是方程的一个根，则的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A．3B．-3C．1D．-1
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2B．1C． D．
9．已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（ ）
A．3或8B．8C．2或8D．2或3
10．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（每题3分，共27分）
11．如图，为的直径，为的弦，连接、，若，则的度数为 度．

12．如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为 °．

13．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．

14．矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
15．在如图所示的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心可能是A、B、C、D中的点 ．

16．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由80元降为54元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
17．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
18．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
19．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为；经过两次翻滚，点A对应点记为；…；经过第2023次翻滚，点A对应点坐标为 ．
三、解答题（共63分）
20．解下列方程：
(1)
(2)
21．如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点、、的坐标分别是、、．

(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
22．根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
23．如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．

(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
24．如图，在中，，，，两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点．

(1)点的速度是点速度的多少倍？
(2)设，的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)求出的最大值．
25．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．点P是直线下方抛物线上的一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成1：3两部分，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据方程的解的定义即可求出m的值．
【详解】解：已知2是方程的一个根，
把代入，得：
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的定义．
2．C
【分析】二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：满足二次函数的定义，符合题意；
D：二次项在分母位置，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．
3．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．
4．D
【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵线段是的直径，于点E，，
∴，
∴在中，可有，
∴半径是10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系求代数式值，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为，题目比较简单．
7．B
【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.
【详解】解：①当0＜x≤4时，y=x2，
②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键.
8．C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键．
9．C
【分析】分为两种情况：①当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点， ②当圆心在三角形的外部时，连接交于D点，再利用勾股定理求解即可．
【详解】分两种情况讨论：
①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点，连接，
∵，
∴，
根据垂径定理得，则，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴高；
②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接交于D点，
同理可得：，，，
三角形底边上的高．
所以边上的高是8或2，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．
10．B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以；
因为对称轴是直线，
所以，；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以，
所以；
故①错误；
因为，

所以，，
所以，即，
所以，
所以，
所以，即②正确；
所以，即③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以，
所以，
所以，
所以，④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
11．
【分析】如图所示，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三角形内角和定理求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．15
【分析】根据旋转的性质得出，，再根据平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．
【分析】解方程，得出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．
【详解】解：当时，，
解得：
∴二次函数的图象与轴的交点为，
由函数图象可得的的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
14．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】如图所示：
在直角△BCD中CD=AB=3，BC=4，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5，
故答案是：3＜r＜5．
【点睛】考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
15．B
【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，分别作出、的垂直平分线，结合图形找出两条垂直平分线的交点即可得到答案．
【详解】如图，连接、，

分别作、的垂直平分线，
结合图形可知，两条垂直平分线相交于点B，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．
16．
【分析】第一次降价后价格为：，第二次再在第一次的基础上降价，即第二次降价后的价格为，据此列方程即可作答．
【详解】根据题意可得一元二次方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．
17．或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
18．或2．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝；
如图②，
BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝，
故答案为或2．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
19．
【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：点，，，，……，
由此发现，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，
∵长方形的周长为：，
每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变，
，
∴经过第2023次翻滚，点A对应点坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
，，
∴
解得，；
（2）
即
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平移的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的对应点坐标为，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．

（3）解：的面积为．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移的性质，网格中三角形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
22．A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=240030．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40