重庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

这是一份重庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  www.ks5u.com 重庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ）A. 1    B. 2    C. 3    D. 4【答案】B【解析】【分析】由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．【详解】∵幂函数y＝f（x）＝xa的图象经过点（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴y＝x2，∴＝2＝2．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．2.函数的图像经过定点（    ）A. (3, 1)    B. (2, 0)    C. (2, 2)    D. (3, 0)【答案】A【解析】【分析】由对数函数的性质可知，当真数为1时，对数式的值为0，故令真数x-2＝1可求y,可得定点【详解】由对数函数的性质可知，当x-2＝1时，y＝1即函数恒过定点（3，1）故选：A．【点睛】本题考查了对数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令真数为1解得定点的坐标．属于基础题．3.已知集合，则集合（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据补集的定义计算即可．【详解】集合＝{y|0<y<2}＝（0，2），则∁RA＝（﹣∞，0]，故选D.【点睛】本题考查了补集的运算与指数函数的值域问题，属于基础题．4.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】【分析】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围；【详解】∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x，∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x，解得k≥40；∴k∈ [40，+∞），故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，属于基础题．5.命题“，使”的否定是（    ）A. ，使    B. ，使C. ，使    D. ，使【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.6.在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子： 12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现。 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（    ）A. 134217728    B. 268435356    C. 536870912    D. 513765802【答案】C【解析】【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故选C.【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.7.已知函数，则函数有（    ）A. 最小值 ，无最大值    B. 最大值 ，无最小值C. 最小值1，无最大值    D. 最大值1，无最小值【答案】D【解析】【分析】利用换元法，设t，将函数f（x）转化为二次函数g（t）在t上的值域，利用配方法求值域即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）tt2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，转化化归的思想方法，属于中档题.8.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．【详解】由题意，，化简得,解得,故选：D．【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．9.若函数在R上既是奇函数又是减函数，则的图象是（    ）A.     B. C.     D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点处有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，得出底数的范围，得到结果．【详解】∵函数f（x）＝（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）＝0∴k＝2，又∵f（x）＝ax﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）＝loga（x+2），定义域为，且递减，故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．10.已知，则的充分不必要条件是（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】【分析】结合对数式比大小及充分条件，对四个选项一一判断，即可得结论.【详解】对于A、C选项，因为m、n与1的大小不定，所以不能判断a、b的正负，排除A、C选项；又B中，当时，,,所以成立，反之，当时，不一定有，还可以m、n都大于1，所以是的充分不必要条件，所以B可以，则D不成立，故选B.【点睛】本题考查了对数式比大小及充分条件的判断，考查了对数函数的值域问题，属于中档题.11.已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式    的解集为（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】【分析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．【详解】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f（2x+1）＜1=f（3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，即|2x|＜2⇔|x|＜1，解得-1所以所求不等式的解集为：.故选：A．【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．12.已知函数，方程有四个不相等的实数根，且满足： ，则的取值范围是（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象得出4个零点的关系及范围，利用换元法求出新函数的值域即可．【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：由图象知 x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，1＜b≤2，解不等式1x≤2得：x3，∴，令t＝，则x3，令g（t）＝-4t-，则g（t）为在[，）上单调递增，在[，）上单调递减，∴g（）≤g（t）≤g（），即-3≤g（t）≤．故选：B．【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13.的定义域是    ．【答案】（0,2）【解析】试题分析：，得．故定义域为．考点：函数的定义域．【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．14.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时，=______________．【答案】【解析】【分析】令x>0，所以﹣x<0，代入 f（x）中，由奇函数的定义可得f（x）＝.【详解】令x>0，所以﹣x<0，所以f（﹣x）＝（﹣x﹣1）=（﹣x﹣1）＝﹣f（x），所以f（x）＝,故答案为.【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质的应用，属于基础题.15.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是_____________．【答案】 【解析】【分析】令t＝﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）＜0，可得0＜a＜1，只需求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】令t＝﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．根据f（0）＝loga3＜0，可得0＜a＜1，f（x）＝g（t）＝logat，需要求函数t在定义域内的减区间，又t＝﹣x2﹣2x+3，开口向下，对称轴为x=-1,所以函数t在定义域内的减区间为(﹣1，1），故答案为．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查．16.已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，分当a＝0时，当a＞0时和当a＜0时，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合可得答案．【详解】当a＝0时，函数f（x）＝2x-1，f[f（x）]＝4x-3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，当a<0时，f（x）1,且f（x）的对称轴为x=,f[f（x）]f（-1）＝a（-1）2+2（-1）-1＝a1，解a10得：或 a，又a<0故，当a>0时，f（x）1，不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，综上可得：,所以a的最大值为故答案为：【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知集合．（1）若，求；（2）若,求a的取值范围．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）a＝1时，，．由此能求出AB．（2）由A⊆B，直接列出不等关系，能求出a的取值范围．【详解】（1），又,且x+1，,,又a=-1时，，AB=，即 （2） ，得 ，得【点睛】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，注意交集、子集性质的合理运用，属于基础题．18.化简求值（1）； （2）．【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）把0指数幂化为1，利用根式的运算性质化简，其余直接利用有理指数幂的运算进行化简求值；（2）利用对数的性质及运算法则直接求解．【详解】（1）=-+1-3+=-2=.（2）（lg5）2+lg2（1+lg5）＝（lg5）2+lg2+lg2lg5-2＝lg5（lg5+lg2）+lg2-2＝lg5+lg2-2＝-1．【点睛】本题考查有理指数幂及根式的化简与求值，考查了对数式化简求值，是基础题，解题时注意对数的性质及运算法则的合理运用，属于基础题．19.已知二次函数对任意，有，函数的最小值为，且．（1）求函数的解析式；（2）若方程在区间上有两个不相等实数根，求k的取值范围．【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）设，由 得 ，得到的解析式.（2）由题意知 可得【详解】（1）由知，f（x）的对称轴为x=1,设，由 得 ，所以 .（2）由得方程在区间上有两个不相等实数根.由 ，解得，可得【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，考查了由二次方程根的分布情况求参数范围的问题，要结合二次函数的图象来解决问题，属于中档题．20.已知函数．（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围．【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）先求得的范围，再根据对数函数的单调性求得值域.（2）设 ，由复合函数单调性可知满足，解得a的范围即可.【详解】（1）时，由 得  可知,值域为.（2）设 ，由复合函数单调性可知，在区间单调递增且恒大于0，则 ，可得 .【点睛】本题考查的知识点是函数的值域及复合函数的单调性，运用了对数函数的图象和性质，属于中档题．21.已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】(1)由 f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,又，则=-，=-，b=1， （2） =1-，所以在上单调递增；由 可得在有解   分参得，设, ，所以,则的最小值为．【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.22.对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.【详解】（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即, 代入得 ，所求实数对为．（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在的值域为，只需使当时，恒成立即可，,即，而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，则可将不等式转化为，因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，令 在上单调递增，∴，故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用,属于难题．