辽宁省实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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辽宁省实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试
数学（实验班）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意可知，集合U={1,2,,3,4,5}，A="{1,2,3},B=" {2,5}，那么则由补集的定义可知，
，由此可知答案为D.
考点：本试题考查了集合交集和并集的运算。
点评：解决关于集合的运算的试题，主要是能准确的表示出补集，然后利用交集的定义来求解公共的元素组成的集合，属于基础题。
2.若奇函数满足则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件式子，让x取-1，利用函数是奇函数，可得到f（1）的数值．
【详解】因为f（x+2）=f（x）+1，
令x=-1，所以f（-1+2）=f（-1）+1，即f（1）=f（-1）+1，
因为函数f（x）是奇函数，所以f（1）=f（-1）+1=-f（1）+1，
即2f（1）=1，所以f（1）=．
故选D．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，让x=-1构造f（1）与f（-1）的关系式是解决本题的关键．
3.函数的定义域是则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知函数定义域结合分式的分母不为0，联立不等式组求解即可．
【详解】∵f（x）的定义域是[2，+∞），
∴由，得x≥1且x≠2．
∴函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
4.幂函数（是有理数）的图像过点则的一个单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意设幂函数y=f（x）=xa，代入点的坐标可求得a=-2；从而写出单调区间．
【详解】设幂函数y=f（x）=xa，
则2a=，则a=-2；
则y=f（x）=x-2，
函数的单调递减区间是（0，+∞）；
故选B.
【点睛】本题考查了幂函数的基本性质，属于基础题．
5.有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝.
【点睛】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.袋中有个外形相同的球，其中个白球，个黑球，个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，得到概率．
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，
∴根据等可能事件的概率得到P=．
故选C．
【点睛】本题考查等可能事件的概率，对于一个事件是否是等可能事件，要看对概率的理解，若出现的基本事件是等可能的就可以按照等可能事件来理解和解题．
7.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
。）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
【此处有视频，请去附件查看】
8.设则的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质推导出a＜b＜0，利用指数函数的性质推导出c＞1，由此能求出结果．
【详解】∵＜＜lg1.11=0， c=1.10.9＞1.10=1，∴a＜b＜c．故选A．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题．
9.函数的零点所在区间为（ ）
A. （0，） B. （，） C. （，1） D. （1，2）
【答案】B
【解析】
试题分析：,,,所以函数的零点在，故选B.
考点：函数的零点
10.设一随机试验的结果只有和,且发生的概率为，令随机变量，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机试验的结果只有A和，P（A）=m，使得随机变量，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果．
【详解】∵由题意知一随机试验的结果只有A和，
且P（A）=m，随机变量
∴X服从两点分布，
∴EX=,
∴DX=4m（1-m）．
故选：D．
【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
11.现有5项工程由甲、乙、丙3个工程队承包，每队至少一项，但甲承包的项目不超过2个，不同的承包方案有（ ）种
A. 130 B. 150 C. 220 D. 240
【答案】A
【解析】
【分析】
第一步要将五项工程分为三组，第二步再计算承包的方法，由于五项工程分为三组的分法可能是3，1，1或2，2，1故要分为两类计数．
【详解】若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3，1，1，则不同的承包方案有种；
若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2，2，1，则不同的承包方案种．
故总的不同承包方案为40+90=130种．
【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是将问题分为两类计数，在第二类2，2，1分组中由于计数重复了一倍，故应除以2，此是本题中的易错点，疑点，解题时要注意避免重复，这是计数问题中常犯的错误．
12.已知两条直线 ： 和： (m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过设各点横坐标分别为xA、xB、xC、xD，依题意可求得xA、xB、xC、xD的值，利用a=|xA-xC|、b=|xB-xD|及基本不等式可求得当m变化时的最小值．
【详解】设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则-lg2xA=m+，lg2xB= m+;-lg2xA=，lg2xB=；
,,,
.故选A．
【点睛】本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，注意解题方法的积累，属于难题．
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．
13.满足条件的集合的个数是______________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知满足条件的集合A中必有元素5,7，元素1，3可以没有，或有1个，或有2个，由此能求出满足条件{1，3}∪A={1，3，5,7}所有集合A的个数．
【详解】∵满足条件{1，3}∪A={1，3，5,7}，
∴满足条件的集合A有：{5,7}，{1,5,7},{3,5,7},{1，3，5,7}，
∴满足条件{1，3}∪A={1，3，5,7}所有集合A的个数是4．
【点睛】本题考查满足条件的集合A的个数的求法，是基础题，注意并集性质的合理运用．
14.的展开式中的第三项的系数为____________.
【答案】60
【解析】
【分析】
由二项式性质直接得出第三项，计算出该项的系数，得出正确选项．
【详解】的展开式中第三项是,
故第三项的系数.
【点睛】本题考查二项式定理，求解本题的关键是熟练掌握理解二项式的通项的公式，利用此公式写出第三项，即可得到该项的系数
15. 某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的不能是商业广告且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有 种（用数字作答）．
【答案】36
【解析】
考点：计数原理的应用．
分析：由题意知本题是一个分步计数问题，根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，先安排最后一个播放公益广告用两种选法，再在前三个位置选一个放另一个公益广告，余下的三个广告在三个位置全排列．
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，
且两个公益广告不能连续播放，
分三步得到结果C12C13?A33=36．
故答案为：36
16.若定义域为的函数同时满足以下三条：
（ⅰ）对任意的总有（ⅱ）
（ⅲ）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有_______________
①；②③④
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.
【详解】①显然在[0，1]满足条件①≥0；也满足条件②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f (x1+x2)−[f (x1)+ f (x2)]＝(x1+x2)− (x1+ x2)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．
②显然=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；也满足条件②g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则g(x1+x2)−[g(x1)+g(x2)]＝2x1+x2−1−[(2x1−1)+(2x2−1)]=2x1+x2−2x1−2x2+1＝(2x2−1)(2x1−1)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．
③显然在[0，1]不满足条件①f（x）≥0,不为A函数．
④显然在[0，1]满足条件①f（x）≥0；也满足条件②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]＝不满足条件③，故f（x）不为A函数．
【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（1）求值：
（2）化简：
【答案】（1）3 ； （2）.
【解析】
【分析】
利用有理数指数幂的运算性质和运算法则，和对数的运算性质和运算法则，代入化简可得答案．
【详解】（1）,
（2）
【点睛】本题考查有理数指数幂和对数的运算性质和运算法则的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
18.全集为实数集，已知集合
（1）若求
（2）若求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）解得集合A,B，全集为实数集R，能求出．
（2）由集合A=，，，能求出a的取值范围．
【详解】

（1）当时，则.
（2）若只需解得
【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和.
（Ⅰ）求的展开式的各项系数和；
（Ⅱ）求除以的余数.
【答案】（1）； （2）7 .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先研究的展开式的通项为，(r＝0，1，2，3，4，5)．求出的展开式中的常数项，由条件列方程可求出n，再令a=1,可得的展开式的各项系数和；
(Ⅱ)根据幂的运算性质，结合二项式定理写出其展开式 .除最后一项之外，都可以被8整除，计算最后一项的值，由余数的性质分析可得答案．
【详解】的展开式中的通项公式为
,
所以当时取得常数项, 常数项，
的展开式中的二项式系数和为
即.
（Ⅰ）令可得展开式的各项系数和为.
（Ⅱ） .
所以其除以8的余数为7.
【点睛】本题考查二项式系数，系数的性质，二项式展开式中特定项的求解，解题的关键是熟练掌握二项式的性质，及二项式的通项；求除以的余数的关键在于将转化为，再利用二项式定理分析解题.
20.若学生一天学习数学超过两个小时的概率为（每天是相互独立没有影响的），一周内至少有四天每天学习数学超过两个小时，就说该生本周数学学习是投入的.
（Ⅰ）①设学生本周一天学习数学超过两个小时的天数为求的分布列与数学期望
②求学生本周数学学习投入的概率.
（Ⅱ）为了研究学生学习数学的投入程度和本周数学周练成绩的关系，随机在年级中抽取了名学生进行调查，所得数据如下表所示：
根据上述数据能否有的把握认为“学生学习数学的投入程度和本周数学成绩两事件有关”？
附：
【答案】（1）①天 ② ； （2）有的把握说学习数学的投入程度和本周数学周练成绩有关.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）①由题可得概率的分布为二项分布，,写出分布列求即可；②依题意可得本周其一天学习数学超过两个小时的天数为天这四种情况，由古典概型计算公式求解概率即可；
（Ⅱ）根据数据求得结合临界值表，进行判断即可.
【详解】（Ⅰ）①概率的分布为,
服从二项分布所以（天）.
②依题意可得学生本周数学学习投入这一事件包含本周其一天学习数学超过两个小时的天数为天这四种情况，则所求的概率为
学生本周数学学习投入这一事件的概率为.
（Ⅱ）
有的把握说学习数学的投入程度和本周数学周练成绩有关.
【点睛】本题考查的是二项分布，古典概型以及独立性检验，解题的关键是判断概率的分布为二项分布并求其概率.
21.已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在使得在上的值域为求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明在上的单调性即可；
（2）由（1）可得在上单调递增，若存在由题可得即在区间上有两个不同的根. 列出不等式组求解即可.
【详解】（1）
、

所以在上的单调递增.
（2）因为在上的单调递增，
所以若存在使得在上的值域为则有
也就是即在区间上有两个不同的根. …….8分
令要使在区间上有两个不同的根，
只需解得则实数的取值范围为
【点睛】本题为函数单调性的证明，并利用单调性来解决问题，把方程有两实根转化为二次函数问题是解决问题的关键，属中档题．
22.已知函数()在其定义域上为奇函数，函数（）.
（1）求的值；
（2）若存在对任意的成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） ； （2）.
【解析】
【分析】
（1）函数f(x)为奇函数，利用可得b;
（2）先由f(x)的单调性求得 所以可得在时恒成立，可转化为恒成立，分离参数求最值可得a的取值范围
【详解】（1）函数()在其定义域上为奇函数，

（2）
所以在时，
所以若存在对任意的成立，
只需在时恒成立即可.
则
所以恒成立，
在的最大值为
在的最小值为
解得所以的取值范围为
【点睛】考查函数为奇函数求参数，指数函数的单调性，不等式恒成立求参数问题，关键是通过分离参数转化为求函数在闭区间上的最值问题．
X
1
2
3
4
P

成绩理想
成绩不太理想
合计
数学学习投入
20
10
30
数学学习不太投入
10
15
25
合计
30
25
55
10.828
0
1
2
3
4
5
6
7