云南省2021-2022学年度高考数学一模试卷（理科）（II）卷

这是一份云南省2021-2022学年度高考数学一模试卷（理科）（II）卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

云南省2021-2022学年度高考数学一模试卷（理科）（II）卷
姓名: 班级: 成绩:
一、选择题：（共12题；共24分）
1. （2分〉（2020髙一下•天津期末）若复数zl对应复平面内的点匕汾，且，则复数Q的
虚部为（ ）
a .
B . B
丄
c . "T3
丄
［）.B
2. (2 分)设= {a!y>!}. 5 = {4v(x-2) < 0}, Hiun等于()
A . dv>2}
B . {^ C . {'|l<'<2}
，且 H=1，则 7)-5=(
D .
3. （2分）（2019 •河北模拟）己知向量5在向量n方向上的投影为2
4. （2分）直线1： y=kx-3k与圆C:4x=0的位置关系是（
A.1与C相交
B . 1与C相切
C.1与C相离
D .以上三个选项均有可能
5. （2分）（2020高二下•广东月考）现有5种不同颜色耍对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边
界的两块不能用同•种颜色，则不同的着色方法共有（）











[).48 种
6. （2分〉（2016高一下•滑县期末）一个多面体的直观图、三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A . 3a2

C . 2a2
7. （2分）（2020高•下•应城期中）己知函数= ⑷>0）的阁象的相邻对称轴间的
距离为f，把/（>）的图象向左平移H 个单位长度，得到的图象，关于函数g（v），下列说法正确的是 （ ）
A .函数是奇函数
B .其图象关于直线1=4对称
c .在 S.T］ 上的值域为［-2 0】
［）.在［o.f】上是增函数
8. （2分）（2019高二上•内蒙古月考）如图所给的程序运行结果为S = 4l，那么判断框中应填入的关于务


A . k>7
B . k>6
C . k>5
D . k>6
9. （2分）（2019高一下•大庆期中）已知，则;等于（）
A .


f
+2r-5>0
-2y+3>0
r<3 内的概率为（ ）
1
A .
丄 B . U
c . 士
1
D . x
11. (2分)(2015高二上•河北期末)设双曲线=1 (a>0, b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别 是Al，A2 ,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B丄A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( 〉
A . ± 3





12. (2分〉如果函数y=f (x)在区间I上是增函数，而函数y=~T•在区间I上是减函数，那么称函数y=f
(x)是区间T上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f (x) =Tt2'A + 是区间I上“缓增函数”， 则“缓增区间” 1为( )
A . [1, +°°）
B . [0，A]
C . [0，1]
D . [1，石]
二、填空题：（共4题；共4分）
13. （1分〉（2019高二上•鄂州期屮）给出下面四个命题：
① “直线/丄 平面a内所有直线”的充要条件是“ Z±平面a ”；
② “直线a//直线& ”的充要条件是“ a平行于b所在的平面”；
③ “直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；
④ “平面a 平面夕”的必要不充分条件是“ a内存在不共线三点到P的距离相等”.
其中正确命题的序号是_
14. （1分〉（2018高二下•重庆期中）重庆一中开展的“第十M校园田径运动会”中，甲、乙、丙、丁四位 同学每人参加了一个项目，且参加的项目各不相同，这个四个项目分别是：跳商、跳远、铅球、跑步.下面是关于 他们各自参加的活动的•些判断：①甲不参加跳高，也不参加跳远；②乙不参加跳远，也不参加铅球；③丙不参加 跳益，也不参加跳远；④如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.已知这些判断都是正确的，则乙参加了
15. （1分）（2019高二上•北京期中）焦点坐标为（一和（5.0）,且点5（0. 12）在楠圆上，那么这个 椭圆的标准方程 •
16. （1分〉（2020高二下•汕头月考）已知函数f （x） =x3_3x，若过点A （1, m） （m关一2）可作曲线y
=f （x）的三条切线，则实数m的取值范围为 .
三、解答题：（共7题；共60分）
17. （10分）（2017高三下•武邑期中）在数列Un｝中，设f （n） =an ,且f （n）满足f （n+1） - 2f （n）
=2n （nEN*），且 al=l.
证明数列｛bn｝为等差数列;
（2）求数列｛an｝的前n项和Sn .
18. （10分）（2015 •岳阳模拟）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平 均浓度不得超过35微克/立方米，PM2. 5的24小吋平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居
民区2016年20天PM2.5的24小吋平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：
组别
PM2. 5浓度
（微克/立方米〉
频数（天）
频率
第一组
(0, 25]
3
0. 15
第二组
(25， 50]
12
0.6
第三组
(50， 75]
3
0. 15
第四组
(75， 100]
2
0. 1




（1）将这20天的测量结果按上表屮分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
① 求图4中a的值；
② 求样本平均数，并根据样木估汁总体的思想，从PM2. 5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需
耍改善？并说明理由.
（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2. 5的24小时平均浓度符合环境空气 质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期塱.
19. （10分）（2020高三上•湖州月考）如图，在四棱锥P-.iBCD中，底面为平行四边形， Z5.1D=6O*，PJ = _4D=PD = 2，侧面 丄 底面 ABCD , E , F 分別为 PC，AB 的中点.


（1） 求证：rrv平面pad ；
（2） 当时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
20. （5分〉（2020 •化州醐已知椭圆E: ? 了 =取>&>®过点（0，1）且离心率*^2^ .
（I） 求椭圆£的方程；
（II） 设动直线1与两定直线ll：x-y=0和12:x+y=0分别交于P, Q两点.若直线1总与椭圆E有且只有一个公共 点，试探究:A0PQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值;若不存在，说明理由.
21. （10 分）已知：f （x） =x3+3ax2+bx+a2 在 x= - 1 时有极值 0.
（1） 求：常数a、b的值；
（2） 求：f （x）的单调区间.
22. （10分）（2016 •河北模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为（2-3sina，3cosa -2）,其中a eR.在极坐标系（以原点0 S.
为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为p cos （0 - 4 ） =a.
（1） 判断动点A的轨迹的形状；
（2） 若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值.
23. （5分〉（2017高二下•仙桃期末）已知f （x） =2|x+l| -x的最小值为b.
（I ）求 b;
（II）已知 a 彡b，求证：h，#_b>a i
参考答案
（共12题；共24分）
一、选择题：
答案：
考点：
【解答】•由
郎:2的赖为.
故
解析：【分析】触_^=舍-吉,
答案：2-1、C
考点：交隹及＜15苜
卜1、〔
君数的基2^含:爱数?充要条件：舞数的代数表示法及其几何雳义
^-3=^ =(2l^2^)= B-l3
郎得算数 ＜ 的虔部.



【姗】5 = ^\x(x-2) < 0! = |x|0< x<2｝，.• -4fl! = !沛 <-v< 2)-«»C 解析:
答案：3-1、D 考点：冋鐘57爭扣的忑苕
【解答】？^ = 2 •又（2|=1 ...n S = 2
82ffS^：D
解析：【分析】利用数量积的几何想A结合番量《K＞式.用求出向 答案:4-1、«
考点： 解析: 【|*S] SC : x： *y： 4x=0 r 即（x-2>: *.i: =4，20为（2,1）） f =»<^2. ™艸3_^・d=騎古1 • 所以，I与C相交•选A.
【分析】面安题.研究置茂与2的（^3^莱.利用“tt政法-.司通q现定万程泪解%导解.利用"几何法‘ .qjiia研 究2心到霣鄉3拒槊与的大小孰S.
答案：5-1、B
考点：拼列泪台及荣曳汁数问裝
【解番】先对中问两块涂色 W共有,r昧鲍方S .再棚余两块涉色.则共有Cp C卜9祌： 故滿足题穿的所有涂色方£有.^xc| • cj= 180^
故答S为：B.
解析：【分析】先对中间的_8»»^€ .再》_»两块进行涂色，刻网番傅解.
答案：6-1、C
考点：田三没图卞面枳.
解析：
【解荅】解:田三现a阿知.链6几词体.甶俯视团可得上.下底面的S积分别为2* 4 . r/. 5 = «£ . a< 舆调面是6个全 等的等媵三角形.其面积为6x 4 =3a2，
..龄面細麵贴琴.
故选：C.
【分折】由三视田可知.由俩现朗可搏上.下庇面的面积分别为2・=4 .a2 .苒和面是於全等的等腰三角形. • •名
积为6* l 答案：7-1、C 弋点：；總；雜:®Ry=A$in（⑽呷） 解析:
S3
【解答】y( 1)= silkyi * ^3coswv = 2su^wi 因为/⑴的图象的相领咁碍3间的鉅离为,
故/■(、)的最小正周期为T = x • 紛乂ey = =2 •
^/(,v) = 2sin(2r-y| • ^^g(x)=2sui[Xx-»-p)-^l =2coj2x r
益g(v)为®函数.并在卜.上为滅函数.所以A . D不?5台g承:
^) = 0 .坧以B不符台還惠：
因災夸.
场以 f <2^<^7 2coei€[-2,q .
WHUC 符 e，JP.
【分析】利用三角.田脆惠求得0)利用函数图ft平移求得g⑴.再田V = JS1D(W.I +9»型函数伝 対四个选项得出正场餌
答案：8-1、0
考点:為湖掩:朗，过
解析：
【粘】相面下： 繼介=10,5=1，
傳到 5=1+10= 11-Ar= 10- 1 = 9- 判断条件成SZ得到s = H么9=20,倉=9_1 = 8: ^J»r«^®VL«5,Js = 20+8=28^ = S- 1 = 7: 夢®« 件成立傅到 5 = 28^-7=35^ = 7-! = 6 列断条件成5L薄到S* = 35+6 = 41 •灸=6 - 1 = 5: 利断条件不成立^出s = 41 .ifita番坏.卽k>6荇台番意• 故答起力:B.
【分析】捏序运行结旲为S = 41 •执行捏浮I当*• = 6时.利断奈件成51当介=5时.利断李件不成2龙出5 = 41，即可S出答蓉
答案:
9-1、°
考点:
二倍角的正弦公式：同角三角曲数间的星不关系
【解荅】解:



两边平方可梅：sin'a-cos^z -2sinacosa= • 1 + 2smrtcosa =七 ... 2xinacosa = - ^ 即 5in2a = 2sinacosa =-
故签2力:D.
解析:
【分析】杵己知等式两10平方，利用同角三角函数甚杰关系5C及二倍角公式即可计覉律解.
答案：10-1、C
考点：二次不粧（®＞与平而区域：几何晒
解析：
fr+2y-5>0
【解答】怍出不等式組褒示的平面区城.得到如下ffi的-ABC及算内部.奥中A (1,2) . B(3. 3) .C(3,
1); -ABC位于因(x-2)^(y 2 ) :=4内的部分.’.在囲(x-2):+0 一2):=4内任取—总.則该点恰好在区城
SKSib :丄.叛.

答案：11-1、C 考点：以莊:初^洽茔1质
解析：
U9S】解：由助，Ai( ar0) ,A2(a#0) ,B(c, £ ) rC(c. £ ), a a
•/AiB 丄A?C .
• • •
•••a=b,
..双細m渐辦的料寒为u.
麵：c.
【撕】浓 SAi( - a.O) # A2 ( a , 0 ) ,B a a
双曲咖茄職的鉍英.
答案：12-1、°
考点：泌S.7苧却5的断与记明
【解答】f(X)4T2•卜在区间［1, ♦«｝上是函数， y=/^)=lx l+-i .


故y=/^4x .l+A在I f .戶上是触R.
故’番S区间•丨为|1 . :
_0 -
解析 【姗】fflEr <) =4、2_、• 间，®^y=Z^2=jx• 1*4的数.从而求趫mg®.
二、填空题：(共4题；共4分)
答案:13-1、【策1空】?© 考点：空爾中■技与平面之间的位算关系:平面与平面之间的6想逢
解析：
【解番】解:对子①畺技与平面垂星的定义是1註5与平面闪的所有匿线垂直,故①正_ ;
对子«，fl平行子办W在的平面•迮必或a与异面，故⑦4S:
对于® •齡Ea. 6不相交®篇践a • b异面或平行.故T越：
对子® •平面a平面p^o内存在不共线三虎到p的招离<0^ :
a内存在不共残三免到戶的拒两相等•平面a平面夕或柜交 故®正磉
挪勤：®®
【分折】利用3线与百浅、平面与平面闹的位累关系及性筋利_后两个条件的费出关系.利用充要条件的定义得结论.
答案：14-1、【妄1空】瞞
考点：进行面茔扪台痏痕泞
解析：
【解番】如栗甲夢加ft步，则乙黌过1J5!周.丙黌5G铅球.丁參如親远：抝報申不鬌00跑步.則田费邡铅球.丙黌加ft岁 乙參 加現應，丁費加跳S ,与.$矛居.故乙H加了協ra •
【分析】田参邡恥坏 也r梦加跳远，乐以珥只«梦加曲步或m,当困箩邡沿球bi不成立，田此可推出®m 利乙 腿.
答案：15-1、Tu = 1
考点:赚芝的标;8J5程 梅囝K笼S筏罔
【解答】赃賴可得^ = 5 . 6=12 •
^a： = d;*r- = 144*25= 169 ・解傳a=13
困的蜘番旅为葢+盖叶
畜 + W = 1
解析：【分析】摘_nn出a b, C的方程■解方程求番a. d的偟，即可求出_9的麻灌方程.
答案：16-1、【策1空】'U
考点：wroonBiw—tiawwrn :
解析：
【解S】设切点为(，.户-30 . /(.!)= 3iC-3 •则切线方程为}, = |女2-3)(1_，>+4 — Af ,s理渭：
v =(3r-3h-2/5 •把Jk m I代入费理薄:十3 = 0①，因为可怍三条切往•新以①時三个解•记 g(r)=2p-3r^w + 3 • Wg(/) = 6r-6r = 6Hr- 1> •当，:>1 或r<0时，^tO>O.f(0 ，当o<，< i时.
gW<0,5W奉调递减.
恥乂当/ = o&l.极大僵g = w• 2報使gOl有三个琴点.只篇m* 3>0百 m+2<0，析以一3 【分析】没切庙为(r V).再利用求马的方法求出函数在切点处的教茶.思利用点斜式求出曲数在切点程.再
利用过(1. m) (• 2 )可作曲线y = f (x)的三条切线.链台孚导的方法列断函数的®两性.从而求出函数_僵. 再利用分突讨论的方法.从而求出实数m的取僵蒗围.
三、解答题：(共7题；共60分)
证明:由已知傳= 2aw-r2"
* «i»
.bn+l - bn=l , 又ai=l. . .bi=l，
答案：17-1、
.‘.{bn)g酋項为1,公番力1的等独列
解：田（1）知,dw=^zr = n * •
•*Sn= i+2-2^3.23+ <»-t-n-2^s •
两缺以2 .薄 25冒=1.?十2.2s十…• 两式招*得-么=卜?*?2十一十：T1- n. ? =2" • 1 • n-2n= （1 • n） r • 1 • 答案：17-2、-SB = （n- H-2^1
考点：K列的求和：数列透尼？：
解析：
【分析】（1）利用递推关系可爆bn,i b,、=l •即可证明.（2）利用•播位柜减法•与筹tt激列的求和公式即可傅出.
答案:18-1、
解:®a=0.004 . ®201teijdS民区PM25的庄平均浓度=12.5*0.15*37.5«0玉*625><0.15+87.5。0.1=42.5 （箱兒位方 . 42.5>35 . /201旌ifi居民区PM2.5的年平均浓度不轴空气热置贴.故该居民取的UJ瞬要改迸
答案：18-2、
解:田驅穿可得:PM2.5M24/J^平均浓度巧合坏境空气商量标/勧粗牽ih0.9 • X的可能取通为0 1 . 2 , 3 . P ( X=k )=
0*(0.1)^(0.9)* .可得P ( Xs° ) =0001 • P (X=1) =0.027 ,P(X=2) =0.243 .
P(X=3 ) =0.729 .
XSW布顺：
E
0
* |2
3

0.001
0.027 |0.243
D.729
E (X) =0x0.001^1-0.027*2x0.243*3x0.729=2.7 , ffiE (X ) =3*0.9=27

考点：和和V味ft及莫分布列：《取魁抓变量的期9与方发
解析:
【分析】（1）①a=0.004 . ®2016^3iJS民区PM2.5的年平均浓度=12.5*0.15*37.S*0.6+62.5*0.15*87.Sx0.1 .与35比较 即可利断出结论.（2）田触可傅:PM2.5的24J刪平均浓度符台坏場空气廉霣标浪的赃力0,9 , X的可蛇取值为0 .1.2,
3.P（X=k）=咖.门。.〆.
证明：取尸£>的中点.1/ .U/ ME


W ME DC，且 A/£= 4 DC，
又.仏 £>C •百.^F=4dC - .IF ME • AF;M£ • 乐以四边彤^EM是平行四边佑.
研以£F .£U •又£尸2平面P.1D，.U/C平面/UD . 答案：19-1、^EF ^P.iD
答案：19-2、
解：取JD的中点0 . 5结尸0
PJ = JD=PD = 2 • POA..1D •
又曲面 P.W丄 .IBCD •麵尸.42）A 庇面 ABCD^.ID . POC 平面 P.4D •
• - PO 丄平面.<5CZ），
BDC 栩 ABCD •尸O 丄 5D •
又.4P丄肪• .4PAPO = P •百.iP POC 平面尸.ID • BD 丄 ^P.iD •
ADC平面.访CD・-BD丄.W
又 Z5.W=60' « J5 = ZW=4-
过点D作平面abcD的香往DH 以D为坐标想点.分别以耵浅D.i, D3 DH为i抽、玷 :琺 建立如胁時的 空 縣，
w ZXO 0.0） » J z 0. 0） • 5（o. 2^3.0）• C（-12^3.0）•小 0.川•
則CP =（3. -jJT. J?） •又平面P.ID的一^去向量为开=（0.1.0）'
iSJS线PC与平面尸JD所成角为0
解以星线PC与平面p.w新成角的正弦值力 每.
考点：蜃越与平面平行的_:置注与平面垂置的卜示:弔空间向量求璽线与平面
解析：
【分析】（1）取尸£>的中点J/ . ®3 ,£U，ME，证明四_ 是平行四边限傳出£FA.£V •子是£F平面
P.iD^
（2）取J2）的中点0 •座括尸a •珂得POA..1D •由側面PAD丄 麵.1BCD •可证明尸0丄平# .{BCD •从而 可傳尸01.BD .IP丄5£>可证明5Z）丄平面尸.4£> •則
BDiAD .泣虎£>作平面J5CD的垂线ZW •以D为坐话原点.分別以91 注Z）乂 Z>5 为、铀，V 53. z轴.途 立如图所示的空间蘧角坐杨系，求出,及平面尸.仍 的法问量tj .利用空间问星法可求出直线尸c与平面PAD 賊免的 正贫儇.
答案：20-1、
解：（I ）由已知得b=l. £ =卷，a2=W.解溥a =石.b=c=l.所以鵾図的E方程为冷十⑴）当助y的私至不存在时, =-石.破有:S-OPQ =4 - 2石、石=2.当直注I的斜萆存在时.设畺现y=kxTn^±L田
.⑽十川可爆
x-y=0
直田加t =及Sox
f、， J駐y,可播• 2=0, .-.-= • 8m2*8*16k2.田超可知，二=0,有m2=2k2*l 又
氏十y2=l
.pf ）:罔理可薄Q（ •昔•昔）.由亂空O到里技PQ的鉅菊为d = ffi|PQ|=2|m|. 戸 •可«S.OPQ = 4
d|PQl=| 為 1, ..SaOpq =
k2>0却 l ，当1 k2<0,即 k>l«k< 1B1.S.OPQ =^T[
.因为0<1 k2 3, WUSiOPQ = =-2 >
> 2.当1 •
点.:棚苗的苗Ffi注<6; W与
解析：
【分析】（I）田朗可得办=1 .腿華心英及a, fee间的关系即可求解（n）当置线的斜藥不存茌时 易知又艸=2当里 浅扔教雀存在01设置线Z产奴+爪杉Tl ■根据点到鼉甜5拒离公式和三角彤面恥>式.借助函数的性质即可孚出
解:-.T(x) =3x2*6ax*b. (a>l) •
函数f ( x) =x3+3ax2*bx+a2在只=-1处有极值0 . ...f( i)=o,r( -1)=0,
/. • l*3a • b+a2=0,3 • 6a+b=0.
答案：2卜 1、《^=2，b=9
解：f (x) =x3*6x2*9x*4.
.•.f(x)=3xM2x+9.
.■.田r (x)=3x^12x十9>O4Wxe( -oo. -3)®( -1. *«). 由f (x〉=3x2* 12x*9 . 答案：21-2..函数f(x )的史调項区间为：(-3) . ( -l.*w) •减区间为：(-3. -1)
考点：:
解析：
【分折】(1 >己知函数f (x) =x3 • 3ax2 * bx ♦ a2€EX=僵0，即f ( 1) =0. f ( 1) =0 .通S求导函数.再代入列方 程绝.即可解爆a. b的值；(2)分别解不等扣(x) >0W (x) <0•即可傳函数f (x)的里郵8区间与®剧flME间.
解:设功虎A的里角坐标为(x , y).则,v = ；^ 利用同角三角函数的基本关系膊去參数a可得.
0 =3cosa -2
答案：22-1、<*-2)\(/+2)2=9.郎\的轨溢为半朗子3的飜.
解:方®bpcos (0 | ) =a化为坐 石、* 石、.=2a .
田酵可得畺注C与国相切，故有2乒也：〜=3 .解爆a=3 ®a= • 3 .
答案：22-2、 码
考点：面苗曲注的极坐标方番： 解析：
【分忻】(1 >设动点A的番角坐标为(x,y) ,8!ln=；' ,利用间角三角函数的S不笑系消去MSa可得里角坐砍行
b=3cosa-2
程，从而傅到萌AfiMWS . (2)把鱼线C方程为扈角坐标方程.田题，可得星线C与囷泪切,故有囲k>到星线的距离等于壬径, 田此解傅a的僵.
解：(I ) = • -b=f(*>min=U -1)=1.
(II ｝证明：由(I > 知b=l,设a=l+m (m>0).
答案：23-1、則扣-b *\ja--b = yjla- 1 十= ^211-rm)- 1 卞 十nil. - 1 =心十2m -小2川 >\-ni =(i
考点：觀E角跑
【分析】(I )化®函数的解析式 利用車调11不渭函数的最小僅 再根据最小值为b .不増b&｝通.(a) 解析：d=l+m(miO).挪.