湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题含答案

2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数 学 试 题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 角的终边经过点且，则的值为

 A． B．     C．       D．

2. 如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则

A．点必在直线上            B．点必在直线上

C．点必在平面内           D．点必在平面内

3. 下列命题中，正确的是

A.垂直于同一个平面的两个平面平行

B. 三个平面两两相交，则交线平行

C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行

D. 平行于同一条直线的两个平面平行

4. 已知则“”是“”的     条件.

A. 充分不必要      B．必要不充分      C．充要条件    D．既不充分也不必要

5. 设集合，则下列说法一定正确的是

A．若，则       B．若，则

C．若，则有4个元素     D．若，则

6. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为

A． B．       C．         D．

7. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是

甲：中位数为8，众数为7

乙：中位数为8，平均数为8.4

丙：平均数为8，方差小于2

A. 甲         B．乙         C．丙         D．无法确定

8. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足, 则点轨迹的面积为

 A． B．     C．       D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若的一个根，则=

A．0       B．1       C．2 D．3

10. 在中，，，，则

A．    B．

C．外接圆直径是  D．内切圆半径是 

11. 正方体中，分别为

的中点，则下列结论正确的是

A.

B．平面平面

C．

D．向量与向量的夹角是60°

12. 已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为,,则

A.      B.     C.       D.

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．长轴长为4且一个焦点为的椭圆的标准方程是           .

14. 某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为      　．

15. 在三棱锥中，是正三角形，平面 ，，则三棱锥的外接球的表面积为       .

16.若为的重心，，则的最小值为       .

四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）已知直线

（1） 求证：直线过定点，并求出该定点.

（2） 若直线与圆相切，求直线的方程.

18.(12分)已知是三个内角的对边，且

（1）求.

（2）若，求周长的最大值.

19．(12分)已知四棱柱的底面是边长为2

的菱形，且=

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

20．(12分) 已知，动点满足：

（1）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.

21．(12分) 如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点, 在点出发处放一颗珠子，珠子只

  能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.

(1)    求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.

(2)    求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.

22．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设,,过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．

①求证：为定值；  ②求证：直线过定点.

2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数学

参考答案

一．选择题：      

三．填空题：

四． 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.解：(1)由得………1分

   令得 ………………………………………………………………3分

故不管取任何实数，直线恒过定点（1，1） ………………………………………4分

（2）    由得

平方得： 即 ………………………………6分

所以  …………………………………………………………………8分

故所求直线的方程为：………………………………………10分

（用点斜式方程并讨论斜率同样给分.）

 18解：（1）由得  …………2分

故，……………………………………………………4分

又，故 ………………………………………………………6分

（2）由及 ……………8分

故当且仅当时等号成立      ………10分

故周长，即周长的最大值为……………12分

19.解：（1）证明：设与的交点为，连接，

因为，，，所以，

所以，……………………………………………………………………………2分

又因为是的中点，所以…………………………………………………3分

在中，在

故

在中，故

故,故

又，所以…………………5分

而，故平面 …………………………………6分

（2）（法一）连接，由（1）易知：平面，

所以为直线与平面所成的角， ………………………………8分

在中，，故…………………10分

，所以. ………………………………………12分

   （法二）由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，依题意，得，，，，，,  …………………………………………9分 

平面的法向量为  ……………………………………………………10分

所以

即直线与平面所成的角的正弦值为.  … ……………………………12分

20解： (1)设由有…………………1分

化简可得轨迹的方程为：   ………………………………3分

表示圆心为，半径为的圆  ………………………………………………5分

（2）设则，设,

………………………7分

要使为定值，则 ……9分

………………………………………11分

故存在定点使得…………………………………………………12分

21.解：（1）设掷出3的倍数为事件, 掷出不是3的倍数记为事件,

则 ……………………………………………………………1分

珠子恰好转一周回到A点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥 …3分

故所求概率为  ………………………………………5分

(2)    珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③

①A至C:此时概率为   ……………………………………………………7分

②C至B:掷出的必须是3的倍数，此时的概率为   …………………………………9分

③B至A:概率与①相同   …………………………………………………………………11分

又以上三个步骤相互独立，故所求概率为………………………12分

22.解：（1）由题意解得  

所以椭圆的标准方程为：；…………………………………………………4分

① 设MN的方程为，与联立得：，…5分

设，，则……………………………6分

……8分

②设PQ的方程为 ，与联立得，

设，则……………………………………9分

 由……………………11分

……………………………12分