北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象本节综合与测试免费精练

第一章　三角函数

§7　正切函数

基础过关练

题组一　正切函数的定义

1.(2020江西九江一模)若390°角的终边上有一点P(a,3),则a的值是(　　)

A. B.3 C.- D.-3

2.(2020重庆巴蜀中学高一上期末)sin 2cos 3tan 4的值(　　)

A.小于0 B.大于0

C.等于0 D.不存在

3.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为　　　　. 

题组二　正切函数的诱导公式

4.已知tan(α-π)=,且α∈,,则tanα+=(　　)

A. B.- C. D.-

5.tan+tan +tan +tan 的值为　　　　. 

6.若sin(π+α)=,α∈-,0,则tan α=　　　　. 

7.(2020辽宁省实验中学高二下学期期中)化简.

题组三　正切(型)函数的图象与性质

8.(2019内蒙古呼和浩特二中期末)函数f(x)=-2·tan2x+的定义域是(　　)

A.x B.x

C.x,k∈Z D.x+,k∈Z

9.(2020河南郑州一中高二下学期期中)函数y=tanx+,x∈R且x≠+kπ,k∈Z的一个对称中心是(　　)

A.(0,0) B.,0

C.,0 D.(π,0)

10.(2019山东烟台莱州一中高一上学期期末)函数y=tanx-在一个周期内的图象是(　　)

11.下列函数中,在0,上单调递增,且以π为周期的偶函数是(　　)

A.y=tan|x| B.y=|tan x|

C.y=|sin 2x| D.y=cos 2x

12.(2020四川成都七中高二上学期期中)下列各式中正确的是(　　)

A.tan 735°>tan 800° 

B.tan 1>-tan 2

C.tan <tan  

D.tan <tan

13.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

14.(2019天津耀华中学高二上期中)函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　. 

能力提升练

题组一　正切函数的定义、诱导公式的应用

1.(2020华南师范大学附中高二上学期期中,)sin π·cos π·tan-π的值是(　　)

A.- B. C.- D.

2.(2019安徽合肥一中高一上期末,)化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.(2020天津静海一中质检,)如图,是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为5,直角三角形中较小的锐角为α,则tan α=(　　)

A. B. C. D.2

题组二　正切(型)函数的图象及其应用

4.()如图所示,函数y=cos x|tan x|0≤x<且x≠的图象是(　　)

5.(2019安徽宿州十三所重点中学高一期末联考,)函数y=|tan x|的图象与直线y=1的两个相邻交点之间的距离是(　　)

A. B. C. D.π

6.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)设函数f(x)=(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　易错　)

A.7 B.8 C.9 D.10

题组三　正切(型)函数的性质及其应用

7.(2020重庆巴蜀中学高一上期末,)函数y=tan(sin x)的值域是(　　)

A.-, B.-,

C.[-tan 1,tan 1] D.[-1,1]

8.(2019黑龙江哈尔滨三中高一上期末,)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω=(　　)

A. B. C. D.

9.(2020河南鹤壁高级中学高一月考,)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若f=1,则f=(　　)

A.1 B.-1 C.3 D.-3

10.(2019天津一中高一上期末质量调查,)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 018,则f(2)=　　　　. 

11.(2020广西柳铁一中高二期中,)若“∀x∈,tan x-1≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 

12.(2019黑龙江双鸭山一中高一上期末,)tan≥的解集为　　　　　　　. 

13.(2019浙江衢州五校高一期末,)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.

(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;

(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.

答案全解全析

§7　正切函数

基础过关练

1.B 2.A 4.B 8.D 9.C

10.A 11.B 12.D 13.A 

1.B　由题意得tan 390°=3/a,又tan 390°=tan(360°+30°)=tan 30°=√3/3,∴3/a=√3/3,

∴a=3√3.

2.A　∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2×cos 3×tan 4<0.

3.答案　10

解析　根据正切函数的定义知tan α=("-" 6)/x=-3/5,所以x=10.

4.B　由tan(α-π)=3/4得tan α=3/4,

∴tan α+π/2 =-1/tanα=-4/3.

5.答案　0

解析　原式=tan π/5+tan 2π/5+tan π-2π/5 +tan π-π/5

=tan π/5+tan 2π/5-tan 2π/5-tanπ/5=0.

6.答案　-√3/3

解析　∵sin(π+α)=-sin α=1/2,∴sin α=-1/2,又α∈ -π/2,0 ,∴α=-π/6,∴tan α=tan -π/6 =-√3/3.

7.解析　(sin"(" π"-" α")" cos"(" 2π"-" α")" tan"(-" α+π")" )/("-" tan"(-" α"-" π")" sin"(-" π"-" α")" )=(sinα"•" cosα"•(-" tanα")" )/(tan"(" α+π")[-" sin"(" π+α")]" )

=("-" sinα"•" cosα"•" tanα)/(tanα"•" sinα)=-cos α.

8.D　由2x+π/6≠π/2+kπ,k∈Z,得x≠kπ/2+π/6,k∈Z,

所以f(x)的定义域为 x|x≠kπ/2┤+π/6,k∈Z .

9.C　函数y=tan x+π/5 ,x∈R且x≠3π/10+kπ,k∈Z的对称中心是 kπ/2-π/5,0 ,k∈Z,结合选项知C正确.

10.A　易得函数y=tan 1/2x-π/3 的周期是2π,图象过点 2π/3,0 ,故选A.

11.B　函数y=tan|x|不是周期函数;y=|sin 2x|的周期为π/2;y=cos 2x在 0,π/2 上单调递减;对于函数y=|tan x|满足f(-x)=f(x),且以π为周期,在 0,π/2 上单调递增,故选B.

12.D　tan 735°=tan(720°+15°)=tan 15°,tan 800°=tan(720°+80°)=tan 80°,∵tan 15°<tan 80°,∴tan 735°<tan 800°,故A错;∵-tan 2=tan(π-2),0<1<π-2<π/2,∴tan 1<-tan 2,故B错;∵π/2<4π/7<5π/7<π,∴tan 5π/7>tan 4π/7,故C错;tan 9π/8=tan π+π/8 =tan π/8< tan π/7,故D正确,故选D.

13.A　∵图象的相邻两支截直线y=π/4所得线段长为π/4,∴T=π/4,则ω=4,∴f(x)=tan 4x,∴f π/4 =tan π=0,故选A.

14.答案　 kπ+π/4,kπ+π/2 (k∈Z)

解析　由tan x-1≥0,得tan x≥1,所以kπ+π/4≤x<kπ+π/2(k∈Z).

能力提升练

1.A 2.B 3.B 4.C 5.C

6.A 7.C 8.A 9.C 

1.A　原式=sin π+π/3 cos π-π/6 •tan -π-π/3

= -sin π/3  -cos π/6  -tan π/3

= -√3/2 × -√3/2 ×(-√3)=-(3√3)/4.

2.B　原式=tan[90°-(63°+α)]•tan(49°-β)•tan(63°+α)•tan(90°+49°-β)

=1/(tan"(" 63"°" +α")" )•tan(63°+α)•tan(49°-β)• -1/(tan"(" 49"°-" β")" )

=-1.

3.B　∵小正方形的面积为1,大正方形的面积为5,∴小正方形的边长为1,大正方形的边长为√5,设直角三角形中较小的直角边长为x,则较大的直角边长为x+1,由勾股定理知,x2+(x+1)2=5,即(x+2)(x-1)=0,解得x=1或x=-2(舍去),所以tan α=x/(x+1)=1/(1+1)=1/2.

4.C　当0≤x<π/2时,y=cos xtan x=sin x≥0,排除B,D;当π/2<x<π时,y=-cos xtan x=-sin x<0,排除A.

故选C.

5.C　因为函数y=|tan x|的最小正周期为π,且由|tan x|=1可得x=kπ±π/4(k∈Z),

所以函数y=|tan x|的图象与直线y=1的两个相邻交点之间的距离为函数y=|tan x|的半个周期,即π/2.

6. A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图形知:f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.

易错警示

作图时要注意到当0<x<π/2时,sin x<tan x,此时正弦曲线与正切曲线没有交点,解题时要避免因作图不准导致解题错误.

7.C　易得sin x∈[-1,1],因为-π/2<-1<1<π/2,且y=tan x在 -π/2,π/2 上是增函数,所以ymin=tan(-1)=-tan 1,ymax=tan 1.

8.A　因为x∈[0","  2π/3],且0<ω<1,

所以0≤ωx≤2ωπ/3<2π/3,

所以f(x)max=tan2ωπ/3=√3=tanπ/3,

所以2ωπ/3=π/3,解得ω=1/2.

9.C　∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), f(π/3)=1,∴f(π/3)=mtanπ/3-ksinπ/3+2=√3m-√3/2k+2=1,

∴√3m-√3/2k=-1,

∴f("-"  π/3)=mtan("-"  π/3)-ksin("-"  π/3)+2=-√3m+√3/2k+2=3.

10.答案　-2 020

解析　根据题意,函数f(x)=asin x+btan x-1,设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x,

则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),

则函数g(x)为奇函数,

则g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,

又由f(-2)=2 018,得f(2)=-2 020.

故答案为-2 020.

11.答案　0

解析　由x∈[0","  π/4],可得tan x-1≤0,所以由“∀x∈[0","  π/4],tan x-1≤m”是真命题可得m≥0,即m的最小值为0.

12.答案　{x|kπ/2≤x<kπ/2+π/12 "," k"∈" Z}

解析　由题可得kπ+π/3≤2x+π/3<kπ+π/2,k∈Z,

所以kπ≤2x<kπ+π/6,k∈Z,

所以kπ/2≤x<kπ/2+π/12,k∈Z.

所以不等式的解集为 x kπ/2≤x<kπ/2+π/12,k∈Z .

13.解析　(1)当θ=-π/6时, f(x)=x2-(2√3)/3x-1=(x"-"  √3/3)^2-4/3.

∵x∈[-1,√3],且f(x)的图象开口向上,

∴当x=√3/3时, f(x)min=-4/3;

当x=-1时,f(x)max=(2√3)/3.

(2)由题可知g(x)=x-1/x+2tan θ,

∵g(x)为奇函数,

∴0=g(-x)+g(x)=-x+1/x+2tan θ+x-1/x+2tan θ=4tan θ,

∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.

(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.

∵f(x)在区间[-1,√3]上是单调函数,

∴-tan θ≥√3或-tan θ≤-1,即tan θ≤-√3或tan θ≥1,

∴-π/2+kπ<θ≤-π/3+kπ或π/4+kπ≤θ<π/2+kπ,k∈Z,

故θ的取值范围是 -π/2+kπ,-π/3+kπ ∪ π/4+kπ,π/2+kπ ,k∈Z.