高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试精练

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易混易错练

易错点1　对向量的有关概念理解不透致错

1.()给出下列四个命题:①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数是(深度解析)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2 C.3 D.4

2.()下列叙述中正确的个数是　　　　. 

①若a=b,则3a>2b;

②若a∥b,则a与b的方向相同或相反;

③若a∥b,c∥b,则a∥c;

④对任一向量a,是一个单位向量.

易错点2　混淆向量的平行(共线)与线线平行(点共线)致错

3.()已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)

A.λ+μ=2 B.λ-μ=1

C.λμ=-1 D.λμ=1

4.()如图,在△OBC中,A是BC的中点,D是线段OB上靠近点B的三等分点,设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量,;

(2)若=,求证:C,D,E三点共线.

易错点3　混淆向量的坐标与向量的端点坐标致错

5.()在△ABC中,点P在BC上,且=2,Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=(　　)

A.(-6,21) B.(-2,7)

C.(6,-21) D.(2,-7)

6.()已知在梯形ABCD中,AB∥DC,且A,B,D三点的坐标分别为(0,0),(2,0),(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是　　　　　　　.

7.()在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+λ,且·=1,则实数λ的值为　　　　.

8.()已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+λ(λ∈R),点P在第三象限,求λ的取值范围.

易错

易错点4　平面向量基本定理应用不当致错

9.()已知O为△ABC内一点,且2++=0,=t(t∈R),若B,O,D三点共线,则t的值为(深度解析)

A. B. C. D.

易错点5　对向量的夹角理解不准确致错

10.()在△ABC中,AB=AC=1,=,=,·=-,则∠ABC=(　　)

A. B. C. D.

11.()已知在△ABC中,||=6,||=5,∠A=30°,则·=　　　　.易错 

12.()已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时,求实数λ的取值范围.

易错

思想方法练

一、函数与方程思想在向量运算中的应用

1.()如图,在△ABC的边AB,AC上分别取点M,N,使=,=,BN与CM交于点P,若=λ,=μ(λ,μ∈R),则的值为(　　)

A. B. C. D.6

2.()如图,△ABC是边长为3的等边三角形,=2λ,=λ,连接EF,交AC于点D.

(1)当λ=时,设=a,=b,用向量a,b表示;

(2)当λ为何值时,·取得最大值?并求出最大值.

二、数形结合思想在向量问题中的应用

3.(2020江苏海门中学期末,)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,∠DAB=,点E,F分别在BC,DC边上,且=2,=,则·=(　　)

A.- B.-1 C.2 D.

4.()如图,在△ABC中,=,=2,=λ,若B、P、N三点共线,则实数λ的值为　　　　.

5.()在△ABC中,M为BC的中点,点N满足=2,点P满足=λ,=μ(λ,μ∈R).

(1)求λ,μ的值;

(2)若A,B,C三点的坐标分别为(2,-2),(5,2),(-3,0),求点P的坐标.

三、转化与化归思想在向量问题中的应用

6.()已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为　　　　.

7.()如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,点F在边CD上.

(1)若AB=BC=2,F是边CD上靠近C的三等分点,求·的值;

(2)若AB=,BC=2,当·=0时,求CF的长.

四、分类讨论思想在向量问题中的应用

8.()已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则(　　)

A.b=a3

B.b=a3+

C.(b-a3)=0

D.|b-a3|+=0

答案全解全析

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易混易错练

1.A　由向量相等的概念可知①②错误;由共线向量的概念可知③错误;若两个向量相等,则这两个向量的模一定相等,故④正确.

故选A.

方法技巧　理解向量有关概念的关键点:

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

2.答案　0

解析　向量不能比较大小,①错误;

由于零向量与任一向量共线,且零向量的方向是任意的,故②错误;

若b为零向量,则a与c可能不是共线向量,故③错误;

当a=0时,无意义,故④错误.

3.D　由A、B、C三点共线得∥,故可设=m(m∈R),则λa+b=ma+mμb,

又因为a,b不共线,所以

解得λμ=1.

反之,若λμ=1,则μ=,所以=a+b=(λa+b)=,故∥,又与有公共点A,所以A、B、C三点共线.

故选D.

4.解析　(1)∵=a,=b,

∴=+=-a-b,

=+=+=+(+)=2a+(-a+b)=a+b.

(2)证明:∵=-=(-b)-(-a-b)=a+b=,∴与平行,

又∵与有公共点C,∴C,D,E三点共线.

5.A　由题知-==(1,5)-(4,3)=(-3,2).因为Q是AC的中点,所以=,所以=+=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因为=2,所以=+=3=3(-2,7)=(-6,21).

6.答案　(1,3)∪(3,+∞)

解析　若四边形ABCD为平行四边形,则=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),所以点C的横坐标不为3,又由题意知点C的横坐标大于1,故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3,+∞).

7.答案　-或1

解析　解法一:∵=+λ,

∴-=λ,

即=λ.

又=-=(+λ)-

=+(λ-1),

∴·=λ·[+(λ-1)]

=λ·+λ(λ-1)

=λ×2×1×cos 60°+λ(λ-1)×22=1,

整理得4λ2-3λ-1=0,

解得λ=-或λ=1.

解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B,C(2,0),故=,=(2,0).

设P(x,y),则=(x,y),=,=(x-2,y).

∵=+λ,∴(x,y)=+λ(2,0)=,

∴①

∵·=1,

∴(x-2)+y=1.②

由①②可得λ=-或λ=1.

8.解析　由题意得=(3,1),=(5,7).

设P(x,y),则=(x-2,y-3).

因为=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),

所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

即解得

因为点P在第三象限,

所以5+5λ<0且4+7λ<0,解得λ<-1.

易错警示　只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才是终点的坐标.当向量的起点不在坐标原点时,向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.

9.B　解法一:设AE是BC边上的中线,由2++=0,得O是AE的中点,

∴==(+)=+.

∵B,O,D三点共线,∴存在实数k,使得=k+(1-k)=k+(1-k)·t=+,

∴k=,(1-k)·t=,解得t=.

解法二:如图,以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF,与BC交于点E,则E为BC的中点.

∵2++=0,

∴+=-2==2,

∴点O是AE的中点.

∵B,O,D三点共线,=t,

∴D是BO与AC的交点.

过点O作OM∥BC交AC于点M,则M为AC的中点,OM=EC,

∴OM=BC,∴=,∴DM=MC,

∴AD=AM=AC,

又=t,∴t=.

方法技巧　在用平面向量基本定理时关键是选好基底,一般选已知大小和夹角的不共线向量为基底.

10.C　∵AB=AC=1,=,=,·=-,

∴·=(-)·(+)=·(+)

=||2+·-·-||2

=-cos∠BAC-=-,

可得cos∠BAC=0,则∠BAC=,

∴∠ABC=.

11.答案　-15

解析　因为||=6,||=5,∠A=30°,

向量和的夹角为∠A的补角,为150°,

所以·=||||cos 150°=6×5×=-15.

易错警示　在找向量的夹角时要把向量的起点平移到同一点,向量的夹角的范围是[0,π].

12.解析　因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,

所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1.

因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,

所以(a+λb)·(λa+b)<0,且两向量不共线.

又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,

所以λ-(λ2+1)+4λ<0,

解得λ<或λ>.

当(a+λb)∥(λa+b)时,λ=±1,

所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪.

易错警示　由夹角是钝角求出λ的值后要注意排除两向量共线的情况.

思想方法练

1.D　连接AP,由题意得=+=+=+=+,

=+=+=+=+,

根据平面向量基本定理,可得

又μ>0,∴μ=,λ=4,∴==6.

2.解析　(1)由题意可知,当λ=时,==b,==a,

故=-=b-a.

(2)由题意得||=3λ,||=6λ,

则||=3-3λ, ||=6λ-3,

所以·=(6λ-3)(3-3λ)cos 60°=-9λ2+λ-

=-9λ-2+<λ<1.

故当λ=时,·有最大值,最大值为.

3.C　因为=+=+=+,=+=+=-,

所以·=·-=-++·=-×42+×32+×4×3×=2,故选C.

4.答案　

解析　由=可得点M为BC的中点,故=(+),

由=2可得=,代入上式可得=,

故=λ=λ+λ,

由于B、P、N三点共线,所以λ+λ=1,解得λ=.

5.解析　(1)设=a,=b,

则=+=-a-3b,

=+=2a+b,

∴=λ=-λa-3λb,

=μ=2μa+μb,

故=-=(λ+2μ)a+(3λ+μ)b.

又=+=2a+3b,

∴解得

(2)∵A(2,-2),B(5,2),C(-3,0),M为BC的中点,∴M(1,1).

设P(x,y),则=(x-2,y+2),=(1-x,1-y).

又由(1)知=4,

∴(x-2,y+2)=4(1-x,1-y),

可得解得

∴点P的坐标为.

6.答案　

解析　∵a∥b,∴2m-1×(4-n)=0,

即n+2m=4.

∵m>0,n>0,

∴+=(n+2m)

=

≥=,

当且仅当n=4m=时取等号,

∴+的最小值是.

7.解析　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

(1)因为E是BC的中点,所以E(2,1).

又因为F是CD上靠近C的三等分点,

所以F,

所以=(2,1),=,

所以·=2×+1×1=-.

(2)当AB=,BC=2时,B(,0),C(,2),D(0,2),

因为E是BC的中点,所以E(,1).

设F(t,2),则=(,1),=(t-,2).

由·=0得(t-)+1×2=0,

解得t=,所以DF=,

所以CF=CD-DF=.

8.C　根据题意可得=(a,a3-b),=(0,b),=(a,a3),ab≠0.

①若⊥,则·=ba3=0,

∴a=0或b=0,与ab≠0相矛盾,故舍去;

②若⊥,则·=b(a3-b)=0,

又b≠0,∴a3-b=0,b=a3≠0;

③若⊥,则·=a2+a3(a3-b)=0,得1+a4-ab=0,即b-a3-=0,b=a3+.

综上可知,若△OAB为直角三角形,则必有(b-a3)=0.

故选C.