选修2-1综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.命题“∃x0∈R,2x0-3>1”的否定是(　　)

A.∃x0∈R,2x0-3≤1 B.∀x∈R,2x-3>1

C.∀x∈R,2x-3≤1 D.∃x0∈R,2x0-3<1

2.已知直线l1的方向向量为a=(2,4,x),直线l2的方向向量为b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(　　)

A.-3或1  B.3或-1

C.-3或3  D.1或-1

3.命题p:若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:若函数f(x)在(-∞,0]及 (0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是(　　)

A.“p且q”是真命题 B.“p或q”是假命题

C.¬p为假命题       D.¬q为假命题

4.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为(　　)

A.    B.- 

C.8 D.-8

5.不等式x->0成立的一个充分不必要条件是(　　)

A.-1<x<0或x>1   B.x<-1或0<x<1

C.x>-1         D.x>1

6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,则直线AD1与EF所成角的余弦值是(　　)

A.   B.   C.   D.

8.在空间四边形ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则下列结论不成立的是(　　)

A.|++|=|+-|

B.|++|2=||2+||2+||2

C.(++)·=0

D.·=·=·

9.双曲线-=1(mn≠0)的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为(　　)

A. B.   C.  D.

10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O, =, =,则四面体OEBF的体积为(　　)

A. B. C. D.

11.已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上一点,则PA·PC1的取值范围是(　　)

A.    B.

C.[-1,0]  D.

12.设O为坐标原点,F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0

C.x±y=0 D.x±y=0

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 

14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 

15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为　　　　. 

16.已知双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若||,||,||成等差数列,且与同向,则双曲线的离心率e=　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知命题p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:双曲线-=1的离心率e∈,若命题p,q中有且只有一个真命题,求实数m的取值范围.

18.(12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设O为坐标原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.

19.(12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=,AB=2AD.

(1)求证:平面BDEF⊥平面ADE;

(2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.

20.(12分)已知动圆P过点F,且与直线y=-相切,圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)若A,B是曲线C上的两个点且直线AB过△OAB的外心,其中O为坐标原点,求证:直线AB过定点.

21.(12分)如图,在直角梯形BDFE中,EF∥BD,BE⊥BD,EF=2,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AB=2CD=4,且平面BDFE⊥平面ABCD.

(1)求证:AC⊥平面BDFE;

(2)若BF与平面ABCD所成的角为,求二面角B-DF-C的余弦值.

22.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形的面积为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D的坐标及该定值;若不存在,试说明理由.

答案全解全析

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一、选择题

1.C　由特称命题的否定是全称命题,知命题“∃x0∈R,2x0-3>1”的否定是“∀x∈R,2x-3≤1”,故选C.

2.A　由题意得

解得或∴x+y=1或x+y=-3.

3.B　∵当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角,∴命题p是假命题;

命题q是假命题,例如f(x)=

综上可知,“p或q”是假命题,故选B.

4.B　由y=ax2得x2=y,∴=-8,∴a=-.

5.D　由x->0,可知>0,

即或

解不等式组可知x->0的解集为{x|x>1或-1<x<0},

故不等式x->0成立的一个充分不必要条件是x>1,故选D.

6.B　由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF===1,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B.

7.C　以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D1(0,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),

所以=(-2,0,2),=(1,1,-1),

故cos<,>===-,

所以直线AD1与EF所成角的余弦值是.故选C.

8.C　A中,因为,,两两垂直,所以(+)·=0,

所以(++)2=(+)2++2(+)·=(+)2+,

(+-)2=(+)2+-2(+)·=(+)2+,

故|++|=|+-|,因此A正确;

B中,易得·=·=·=0,所以B正确;

C中,(++)·=(++)·(-)

=·-||2+||2-·+·-·

=||2-||2,

当||=||时,||2-||2=0,否则不成立,因此C不正确;

D中,·=·(-)=·-·=0,

同理可得·=0,·=0,因此D正确.

9.A　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),故双曲线方程-=1中,

m>0,n>0,且m+n=c2=1.

又双曲线的离心率e===2,

∴m=,n=,mn=.

10.D　如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则O,B(1,1,0),E,F,

∴=,=,,-,

则||==,||=,

所以cos∠BOE==-,所以sin∠BOE=,

所以S△OEB=×××=.

设平面OEB的法向量为n=(x,y,z),

则取z=1,得n=,

又=,

所以F到平面OEB的距离h===,

所以四面体OEBF的体积V=S△OEB×h=××=.

11.D　以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C1(1,1,1),不妨设P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(-x,-y,0),=(1-x,1-y,1),·=-(1-x)x-(1-y)y=x2+y2-x-y=+-.当x=y=时,·取得最小值-;当x=0或1,y=0或1时,·取得最大值0.故选D.

12.D　如图所示,∵O为F1F2的中点,∴+=2,

∴(+)2=(2)2,

即||2+||2+2||||cos 60°=4||2.

又∵|OP|=a,

∴||2+||2+||||=28a2.①

由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,

∴(|PF1|-|PF2|)2=4a2.

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2.②

由①-②得|PF1||PF2|=8a2,

∴|PF1|2+|PF2|2=20a2.

在△F1PF2中,由余弦定理的推论得

cos 60°=

∴8a2=20a2-4c2,即c2=3a2.

又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.即=2,=.

∴双曲线的渐近线方程为x±y=0.

二、填空题

13.答案　(-∞,-7]∪[1,+∞)

解析　p:{x|x>m+3或x<m},q:{x|-4<x<1},p是q成立的必要不充分条件,

则{x|-4<x<1}⫋{x|x>m+3或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,

故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).

14.答案　y=±x

解析　由题意知==b,

抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即(c,-b),

代入双曲线方程为-=1,得=2,

所以==1,

所以渐近线方程为y=±x.

15.答案　

解析　如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,

则D(0,0,0),A1(1,0,1),E,

∴=(1,0,1),=.

设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),

则n·=0,且n·=0,

即

令x=1,得y=-,z=-1.

∴n=.

又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),

∴cos<n,>==-.

∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.

16.答案　

解析　因为||,||,||成等差数列,所以可设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,画出草图,如图,

在Rt△OAB中,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,

得d=m,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则tan∠AOF=,

tan∠AOB=tan 2∠AOF===,

由二倍角公式,得=,

解得=或=-2(舍去),

则离心率e===.

三、解答题

17.解析　若p为真,则有9-m>2m>0,

即0<m<3.

若q为真,则有m>0,且e2=1+=1+∈,

即<m<5.

∵p,q中有且只有一个真命题,

∴p,q一真一假.

①若p真,q假,

则0<m<3,且m≥5或m≤,

即0<m≤;

②若p假,q真,

则m≥3或m≤0,且<m<5,

即3≤m<5.

故所求m的取值范围为0<m≤或3≤m<5.

18.解析　(1)由题意得椭圆C的标准方程为+=1,

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.

因此a=2,c=.

故椭圆C的离心率e==.

(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.

因为OA⊥OB,所以·=0,

即tx0+2y0=0,解得t=-.

又+2=4,

所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+++4

=++4(0<≤4).

因为+≥4(0<≤4),当且仅当=4时等号成立,

所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2.

19.解析　(1)证明:在△ABD中,∠ABD=,AB=2AD,

所以△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°,

所以BD⊥AD,

因为DE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以DE⊥BD.

又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.

因为BD⊂平面BDEF,

所以平面BDEF⊥平面ADE.

(2)由(1)可得,在Rt△ABD中,∠BAD=,BD=AD,

设AD=1,则BD=ED=.

因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,

故以D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

则A(1,0,0),C(-1,,0),E(0,0,),F(0,,),

所以=(-1,0,),=(-2,,0).

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则即

令z=1,得平面AEC的一个法向量为n=(,2,1).

因为=(-1,,),

所以cos<n,>==,

所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.

20.解析　(1)设点P(x,y),则=,

整理得x2=y,

∴曲线C的方程为x2=y.

(2)证明:由题意可知直线AB的斜率一定存在,否则其与曲线C不能有两个交点.

设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程

整理得2x2-kx-m=0,

则x1+x2=,x1x2=-,Δ=k2+8m>0.

由x2=y,得y1=2,y2=2.

∴y1y2=2·2=4(x1x2)2=4×=m2.

∵直线AB过△AOB的外心,∴OA⊥OB.

∴·=x1x2+y1y2=0,

∴-+m2=0,m≠0,

解得m=.当m=时,满足Δ>0.

∴直线AB过定点.

21.解析　(1)证明:∵平面BDFE⊥平面ABCD,AC⊥BD,平面BDFE∩平面ABCD=BD,AC⊂平面ABCD,

∴AC⊥平面BDFE.

(2)设AC∩BD=O.

∵四边形ABCD为等腰梯形,∠DOC=,AB=2CD=4,

∴OD=OC=,OB=OA=2.

∵EF∥OB,且EF=2,

∴四边形BOFE为平行四边形,

∴OF∥BE.

又∵平面BDFE⊥平面ABCD,BE⊥BD,

平面BDFE∩平面ABCD=BD,BE⊂平面BDFE,

∴BE⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD,

∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角,∴∠FBO=,

∴OF=OB=2.

以O为坐标原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

则B(0,2,0),D(0,-,0),F(0,0,2),C(-,0,0),A(2,0,0),

∴=(0,,2),=(,-,0),=(-3,0,0).

由(1)知,AC⊥平面BDFE,

∴平面BDF的一个法向量为=(-3,0,0),

设平面DFC的一个法向量为n=(x,y,z),

由得

令x=2,得n=(2,2,-1).

∴cos<n,>==-,

由题图可知二面角B-DF-C为锐角,

∴二面角B-DF-C的余弦值为.

22.解析　(1)由已知可得

解得a2=2,b2=c2=1,

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,

由Δ=64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,

解得k<-或k>.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=,

设存在点D(0,m),

则kAD=,kBD=,

所以kAD+kBD=

=

=.

要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4km=2(2m-1)k的值与参数k无关,故2m-1=0,解得m=,

当m=时,kAD+kBD=0.

综上所述,存在点D,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.