数学人教版新课标A1.3二项式定理免费课时训练

这是一份数学人教版新课标A1.3二项式定理免费课时训练，共23页。试卷主要包含了10的展开式中x6y4的系数是等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33B.29C.23D.19
2.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
3.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )
A.x4 B.x4+1
C.(x-2)4 D.x4+4
4.用二项式定理展开(2x-1)4= .
5.已知n∈N*,则Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn= .
6.设a∈Z,且0≤a<13,若512 017+a能被13整除,则a= .
题组二 二项展开式的特定项,项的系数,二项式系数
7.设i为虚数单位,则(1+i)6展开式中的第3项为( )
A.-20iB.15i C.20 D.-15
8.(x-2y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A.-840 B.840
C.210 D.-210
9.(2019四川雅安中学高一上学期开学考试)x-1x7展开式的第四项等于7,则x=( )
A.-5 B.-15 C.15 D.5
10.(2019广东广州高二期末)12x-2y5的展开式中x2y3的系数是( )
A.-20 B.-5 C.5 D.20
11.设函数f(x)=x-1x4,x<0,-x,x≥0,则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )
A.4B.6C.8D.10
12.2x+1x27的展开式中倒数第三项为 .
13.已知n=0π2 (4sin x+cs x)dx,则二项式x-1xn的展开式中x的系数为 .
14.(2019黑龙江大庆第十中学高二下学期第二次月考)已知x+12xn(n∈N*)的展开式中的第二项和第三项的系数相等.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有二项式系数的和;
(3)求展开式中所有的有理项.
15.(2019广东广州高二期末)已知x+13x3n(x≠0,n∈N*,n≥2)的展开式中第三项与第四项的二项式系数之比为34.
(1)求n;
(2)请答出其展开式中第几项是有理项,并写出推演步骤.
16.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中含x项的系数是19(m,n∈N*).
(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值;
(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的展开式中含x7项的系数.
17.(2019甘肃嘉峪关酒钢三中高二下学期期中)若等差数列{an}的首项为C5n11-2n-A11-3n2n-2,公差d为52x-253x2m展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.
题组三 赋值法求系数和
18.若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=( )
A.28-1 B.28 C.38-1 D.38
19.(x-1)11的展开式中,x的奇次幂的系数之和是( )
A.2 048 B.-1 023C.-1 024 D.1 024
20.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为 .
21.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则lg2(a1+a3+…+a11)= .
22.(2019山西长治第二中学高二期中)若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:
(1)a2的值;
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值.
23.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,求下列各式的值:
(1)a0+a2+a4;
(2)a1+a2+a3+a4+a5;
(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
24.在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)各项系数之和;
(2)所有奇数项系数之和.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)在x+2xn(n∈N*)的展开式中,若常数项为60,则n=( )
A.3B.6C.9D.12
2.(2019湖北荆州中学高二下学期第四次月考,★★☆)(1+2x)3(1-3x)5的展开式中x的系数是( )
A.-4B.-2C.2D.4
3.(★★☆)(2-x3)(1+x)8的展开式中不含x4项的各项系数之和为( )
A.-26 B.230 C.254 D.282
4.(2019山东东营河口一中高二下学期模块检查,★★☆)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-1B.-2C.-3D.-4
5.(★★☆)若(1+x)(1-2x)8=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则2a1+22a2+…+29a9的值为( )
A.29B.29-1 C.39D.39-1
6.(2019四川绵阳中学高二期末,★★☆)已知x+ax8展开式中x4项的系数为112,其中a∈R,则此展开式中各项系数之和是( )
A.38B.1或38
C.28D.1或28
7.(★★☆)已知(x+2)(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0+a2+a4=( )
A.123 B.91 C.-152 D.-120
8.(2019江西南昌高二期末,★★★)设复数x=2i1-i(i是虚数单位),则C2 0191x+C2 0192x2+C2 0193x3+…+C2 0192 019x2 019=( )
A.iB.-iC.-1+iD.-1-i
9.(2019福建福州高二期末,★★☆)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除所得余数相同,则称a和b对m同余,记为a≡b(md m).若a=C300+C301·2+C302·22+…+230,a≡b(md 10),则b的值可以是( )
A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022
二、填空题
10.(★★☆)使3x+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为 .
11.(2019山西永济中学高二期末,★★☆)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂系数和为32,则a的值为 .
12.(★★☆)在(x2-2x-3)4的展开式中,含x6的项的系数是 .
13.(2019福建宁德高二期末,★★☆)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4+a2+a0= .
14.(2019福建晋江季延中学高二下学期期末,★★☆)(4-3x+2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项的系数和为 .
15.(★★☆)设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
三、解答题
16.(2019上海川沙中学高二期末,★★☆)x+1a4xn的展开式中,奇数项的二项式系数之和为128,且前三项系数成等差数列.
(1)求a的值;
(2)若a<3,展开式有多少个有理项?写出所有的有理项.
答案全解全析
基础过关练
B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+
b2,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.A A-B=37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×3-1=(3-1)7=27=128,故选A.
3.A S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+C43·(x-1)+C44=[(x-1)+1]4=x4,故选A.
4.答案 16x4-32x3+24x2-8x+1
解析 (2x-1)4=C40(2x)4(-1)0+C41·(2x)3(-1)1+C42(2x)2(-1)2+C43(2x)1·(-1)3+C44(2x)0(-1)4=16x4-32x3+24x2-8x+1.
5.答案 4n
解析 Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn=(1+3)n=4n,故答案为4n.
6.答案 1
解析 ∵512 017+a=(52-1)2 017+a=C2 0170·522 017-C2 0171522 016+…+C2 0172 016521-1+a能被13整除,∴-1+a能被13整除,又0≤a<13,a∈Z,∴a=1.
7.D (1+i)6展开式中的第3项为C62i2=-15.
8.B 在通项=C10kx10-k(-2y)k(k=0,1,2,…,10)中,令k=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4的系数为C104×(-2)4=840.
9.B ∵x-1x7展开式的通项为Tr+1=C7rx7-r-1xr(r=0,1,2,…,7),
∴展开式的第四项是T4=-C73x=-35x,
∵展开式的第四项等于7,∴-35x=7,
∴x=-15,故选B.
10.A 易知其展开式的通项为Tr+1=C5r·12x5-r(-2y)r(r=0,1,2,3,4,5),令r=3,则T4=C53·12x2(-2y)3=10×14×(-8)x2y3=-20x2y3.
所以12x-2y5的展开式中x2y3的系数是-20.故选A.
11.B 依据分段函数的解析式,当x>0时,得f(f(x))=f(-x)=1x-x4,其展开式的通项为Tk+1=C4k1x4-k(-x)k=C4k·(-1)kxk-2(k=0,1,2,3,4),令k-2=0,得k=2,故常数项为C42(-1)2=6,故选B.
12.答案 84x8
解析 由n=7可知展开式中共有8项,
∴倒数第三项即为第六项,∴第六项T6=C75(2x)2·1x25=C75·22·1x8= 84x8.
13.答案 10
解析 因为n=0π2 (4sin x+cs x)dx=(-4cs x+sin x) 0π2=5,所以展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r·-1xr=C5r·(-1)r·x5-2r(r=0,1,2,3,4,5),令5-2r=1,得r=2,所以展开式中x的系数为C52(-1)2=10.
14.解析 x+12xn展开式的通项为Tr+1=Cnr·xn-r·12xr=Cnr·12r·xn-3r2(r=0,1,2,…,n).
(1)由展开式中的第二项和第三项的系数相等,得Cn1·12=Cn2·122,即12n=14·n(n-1)2,解得n=5或n=0(舍去).
(2)展开式中所有二项式系数的和为C50+C51+C52+C53+C54+C55=32.
(3)展开式的通项为Tr+1=C5r·x5-r·12xr=C5r·12r·x5-3r2(r=0,1,2,…,5),当r=0,2,4时,对应项是有理项,
所以展开式中所有的有理项为T1=C50·120·x5=x5;T3=C52·122·x5-3=52x2;T5=C54·124·x5-6=516x.
15.解析 (1)由题设知Cn2Cn3=n(n-1)2×1n(n-1)(n-2)3×2×1=3n-2=34,解得n=6.
(2)∵n=6,∴其展开式的通项为Tr+1=C6r·(x)6-r·13x3r=C6r13rx3-7r2(r=0,1,2,…,6),
∵0≤r≤6且r∈N,∴只有当r=0,2,4,6时,Tr+1为有理项,∴有理项是展开式中的第1,3,5,7项.
16.解析 (1)由题意知,m+n=19,所以m=19-n,
f(x)的展开式中含x2项的系数为Cm2+Cn2=C19-n2+Cn2=(19-n)(18-n)2+n(n-1)2=n2-19n+171=n-1922+3234.因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,f(x)的展开式中含x2项的系数最小,最小值为122+3234=81.
(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值,此时x7项的系数为C107+C97=C103+C92=156.
17.解析 由已知得,11-2n≤5n,2n-2≤11-3n,
∵n∈N*,∴n=2,
∴C5n11-2n-A11-3n2n-2=C107-A52=C103-A52=100,故等差数列的首项a1=100.
7777-15=(76+1)77-15=7677+C771·7676+…+C7776·76+1-15,所以7777-15除以19的余数是5,即m=5.
又52x-25 3x25的展开式的通项为Tr+1=C5r·52x5-r-25 3x2r=(-1)rC5r·525-2rx5r3-5(r=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则5r3-5=0,∴r=3,代入上式,
∴T4=-4=d.从而等差数列的通项公式是an=104-4n,设其前k(k∈N*)项之和最大,则104-4k≥0,104-4(k+1)≤0,解得k=25或k=26,故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,为100+104-4×252×25=1 300.
18.C ∵(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
∴令x=0,得a0=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-a0=38-1,故选C.
19.D (x-1)11=a0x11+a1x10+a2x9+…+a11,
令x=-1,则-a0+a1-a2+…+a11=-211,①
令x=1,则a0+a1+a2+…+a11=0,②
②-①2=a0+a2+a4+…+a10=210=1 024.
20.答案 -15
解析 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①
又通项Tk+1=C4k(-3)4-k(2x)k,
故当k=4时,x4的系数a4=16.②
由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.
21.答案 7
解析 令x=-1,
得28=a0+a1+a2+…+a11+a12.
令x=-3,得0=a0-a1+a2-…-a11+a12,
∴28=2(a1+a3+…+a11),
∴a1+a3+…+a11=27,
∴lg2(a1+a3+…+a11)=lg227=7.
22.解析 (1)因为a2x2=C42(2x)2(3)2,所以a2=C42×22×(3)2=72.
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4),
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4×(3-2)4=(3-4)4=1.
23.解析 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1,①
令x=-1,得-a0+a1-a2+…+a5=-35.②
由①-②2得a0+a2+a4=1+352=122.
(2)∵a0是(2x-1)5展开式中含x5项的系数,∴a0=25=32,
又a0+a1+a2+…+a5=1,
∴a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(3)∵(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,
∴两边同时求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4,
令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
24.解析 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(2)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加,化简可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12,
即所有奇数项系数之和为59-12.
能力提升练
一、选择题
1.B 展开式的通项为Tk+1=Cnk(x)n-k2xk=2kCnkxn-3k2(k=0,1,2,…,n),令n-3k2=0,得n=3k.根据题意有2kC3kk=60,验证知k=2,故n=6.
2.C (1+2x)3(1- 3x)5=(1+6x+12x+8x32)×(1-3x)5,故(1+2x)3(1-3x)5的展开式中含x的项为1×C53×(-3x)3+12x×C50=-10x+12x=2x,所以x的系数为2,故选C.
3.D 在(2-x3)(1+x)8的展开式中,令x=1,得展开式的各项系数和为28.而(1+x)8的展开式的通项为Tr+1=C8rxr2,则(2-x3)·(1+x)8展开式中含x4项的系数为2·C88-C82=-26,故(2-x3)(1+x)8的展开式中不含x4项的各项系数之和为28-(-26)=282.故选D.
4.A 因为(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,所以C52+aC51=5,即10+5a=5,解得a=-1,故选A.
5.D 令x=0,得a0=1,令x=2,得a0+2a1+22a2+…+29a9=39,
∴2a1+22a2+…+29a9=39-1,故选D.
6.B 由题意得x+ax8的展开式通项为Tk+1=C8k·x8-k·axk=C8k·ak·x8-2k(k=0,1,2,…,8),
令8-2k=4,得k=2,所以该式展开式中x4项的系数为C82·a2=28a2=112,解得a=±2.
当a=2时,该式为x+2x8,其展开式各项系数和为(1+2)8=38;
当a=-2时,该式为x-2x8,其展开式各项系数和为(1-2)8=1.故选B.
7.C 在(x+2)(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中,
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=-243,
∴2(a0+a2+a4+a6)=-240,即a0+a2+a4+a6=-120,又a6=C50×25=32,
∴a0+a2+a4=-152.故选C.
8.D 由题意得x=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i,C2 0191x+C2 0192x2+C2 0193x3+…+C2 0192 019x2 019=C2 0190+C2 0191x+C2 0192x2+C2 0193x3+…+C2 0192 019x2 019-1=(1+x)2 019-1=i2 019-1=i3-1=-1-i,故选D.
9.A ∵a=C300×130×20+C301×129×21+C302×128×22+…+C3030×10×230=(1+2)30=330=915=(10-1)15=1015-C151×1014+C152×1013-…+C1514×10-1,
而1015-C151×1014+C152×1013-…+C1514×10能被10整除,所以a除以10的余数为-1+10=9,
结合选项可知,2 019除以10的余数为9,故选A.
二、填空题
10.答案 5
解析 展开式的通项为Tk+1=Cnk·(3x)n-k·1xxk=3n-kCnkxn-5k2,k=0,1,2,…,n.
令n-52k=0,得n=52k,故最小的正整数n=5.
11.答案 3
解析 易得(a+x)(1+x)4=a(1+x)4+x(1+x)4,(1+x)4的展开式中x的偶数次幂和奇数次幂系数和均为23,a(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的系数和为23×a,x(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的系数和等于(1+x)4的展开式中x的偶数次幂的系数和,则有23×a+23=32,解得a=3,故答案为3.
12.答案 12
解析 由题意可知,展开式中含有x6的项为C43(x2)3×(-2x)0×(-3)1+C42(x2)2×(-2x)2×(-3)0=12x6,则含x6的项的系数是12.
13.答案 41
解析 令x=0,可得a0=1;令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,
则a1+a2+a3+a4=0①;令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=81,
则-a1+a2-a3+a4=80②,将①和②相加可得,2(a2+a4)=80,所以a2+a4=40,
所以a0+a2+a4=41.故答案为41.
14.答案 1
解析 要求(4-3x+2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项,只需令y=0,(4-3x+2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项的系数和即为(4-3x)n展开式的各项系数和,令x=1,得(4-3x)n展开式的各项系数和为(4-3)n=1.
15.答案 3
解析 由题图知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.
因为1+xan的展开式的通项为Tk+1=Cnkxak(k=0,1,2,…,n),
所以Cn1a=3,Cn2a2=4,解得a=3(a=0舍去).
三、解答题
16.解析 (1)因为奇数项的二项式系数之和为128,所以2n-1=128,解得n=8,
所以该式为x+1a4x8,其展开式的第一项:T1=C80(x)81a4x0=x4,系数为1;
第二项:T2=C81(x)71a4x1=8ax134,系数为8a;
第三项:T3=C82(x)61a4x2=28a2x52,系数为28a2.
由前三项系数成等差数列,得2×8a=1+28a2,解得a=2或a=14.
(2)若a<3,由(1)得该式为x+124x8,其展开式的通项为
Tr+1=C8r(x)8-r124xr=C8r2rx16-3r4,其中r=0,1,2,…,8,
所以16-3r4的取值可以为4,3,2,1,0,-1,-2.
令16-3r4=4,得r=0,此时T1=C80x4=x4;
令16-3r4=3,得r=43,不符合题意;
令16-3r4=2,得r=83,不符合题意;
令16-3r4=1,得r=4,此时T5=C8424x=358x;
令16-3r4=0,得r=163,不符合题意;
令16-3r4=-1,得r=203,不符合题意;
令16-3r4=-2,得r=8,此时T9=C8828x-2=1256x-2.
综上,该式的展开式中有3个有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.