2021届山东省青岛市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届山东省青岛市高三数学一模试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



2.假设 ， 表示两个不同的平面， 为平面 内一条直线，那么〔    〕
A. “ 〞是 的充分不必要条件

                 B. “ 〞是 的必要不充分条件


C. “ 〞是“ 〞的必要不充分条件

     D. “ 〞是“ 〞充要条件



3.双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 2



4.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离．在复平面内，复数 〔 是虚数单位， 〕是纯虚数，其对应的点为 ， 为曲线 上的动点，那么 与 之间的最小距离为〔    〕
A.                                            B. 1                                           C.                                            D. 2



5.假设 ，不等式 的解集为〔    〕
A.                                     B. 


C.                                          D. 



6.角 终边上有一点 ，那么 的值为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



7. 为奇函数， 为偶函数，假设当 时， ，那么 〔    〕
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2



8.在抛物线 第一象限内一点 处的切线与 轴交点横坐标记为 ，其中 ， ， 为 的前 项和，假设 恒成立，那么 的最小值为〔    〕
A. 16                                        B. 32                                        C. 64                                        D. 128



二、多项选择题
9.圆 ： ，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 的取值范围是


B. 假设 ，过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，方程为


C. 假设 ，圆 与圆 相交


D. 假设 ， ， ，直线 恒过圆 的圆心，那么 恒成立



10. ， ，假设 与 共线，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象


B. 函数 的最小正周期为


C. 直线 是 的一条对称轴


D. 函数 在 上单调递减



11.假设实数 ，那么以下不等关系正确的选项是〔    〕
A. 


B. 假设 ，那么


C. 假设 ，那么


D. 假设 ， ， ，那么



12.在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠〞，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长〔母线长〕和帽底宽〔底面圆直径长〕两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠〞，帽坡长20厘米，帽底宽 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的选项是〔    〕

A. 斗笠轴截面〔过顶点和底面中心的截面图形〕的顶角为


B. 过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 平方厘米


C. 假设此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，那么该球的外表积为 平方厘米


D. 此斗笠放在平面上，可以盖住的球〔保持斗笠不变形〕的最大半径为 厘米



三、填空题
13.二项式 展开式中的常数项为________。〔用数字作答〕
14.非零向量 ， 满足 ，且 ，那么 与 的夹角为________．
15.某驾驶员培训学校为比照了解“科目二〞的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关〞犯错误的概率不超过________．
附：










16.2021年是中国传统的“牛〞年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： 与抛物线 在第一象限的交点为 ，直线 ： 与抛物线 的交点为 ，直线 与圆 在第一象限的交点为 ，那么 ________； 周长的取值范围为________．
四、解答题
17.从“① ；② ， ；③ ， 是 ， 的等比中项．〞三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答．
等差数列 的前 项和为 ，公差 不等于零，______， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
18.如图，在 中， ， ，点 ， 是线段 〔含端点〕上的动点，且点 在点 的右下方，在运动的过程中，始终保持 不变，设 弧度．

〔1〕写出 的取值范围，并分别求线段 ， 关于 的函数关系式；
〔2〕求 面积 的最小值．
19.在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，点 ， 在线段 上， ， ， 为线段 上的一点．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动．今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里〞，符合条件的会员可以特价购置礼包 〔十斤肉类〕礼包 〔十斤蔬菜〕和礼包 〔十斤鸡蛋〕三类特价商品中的任意一类，并且根据购置的礼包不同可以获赠价值不等的代金券根据以往经验得知，会员购置礼包 和礼包 的概率均为 ．
〔1〕预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；
〔2〕在促销活动中，假设有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购置礼包相互独立，购置礼包 或礼包 均可以获得50元商场代金券，购置礼包 可以获得25元商场代金券，设 是三人获得代金券金额之和．求 的分布列和数学期望．
21.在平面直角坐标系中，椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，点 到直线 的距离等于1．

〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕假设直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点， 为 中点，直线 ， 分别与圆 ： 相切于点 ， ，求 的最小值．
22.青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：假设 是 的导函数， 是 的导函数，那么曲线 在点 处的曲率 ．函数 ，假设 ，那么曲线 在点 处的曲率为 ．

〔1〕求 ；
〔2〕假设函数 存在零点，求 的取值范围；
〔3〕 ， ， ，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 ，
所以 ，
又 ，
所以那么
故答案为：C

【分析】 可求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．
2.【解析】【解答】A中，假设 ，根据面面平行的判定定理不能得到 ，A不符合题意；
B中，假设 ，根据面面平行的性质可得 ，又因为 不能推出 ，B符合题意；
C中，假设 ，根据面面垂直的性质不能推出 ，C不符合题意；
D中，假设 ，根据面面垂直判定不能推出 ，D不符合题意
故答案为：B．

【分析】 根据两平行平面其中一个平面内的任意一直线平行于另一个平面，以及面面垂直的判定定理，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
3.【解析】【解答】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】 利用双曲线的渐近线的倾斜角求解斜率，得到a，b关系，然后求解离心率即可．
4.【解析】【解答】由 ，
因为复数 〔 是虚数单位， 〕是纯虚数，所以 得
所以 ，那么
由于 ，故设 且 ，
所以  
故 与 之间的最小距离为1
故答案为：B．

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a，可得z0 ， 再由几何意义求解．
5.【解析】【解答】当 时，

当 时，

综上不等式 的解集为
故答案为：A.

【分析】 利用分段讨论法，分别求出x≥0和x＜0时不等式的解集即可．
6.【解析】【解答】因为

即
所以
所以
故答案为：D.

【分析】 直接利用任意角的三角函数的定义求解即可．
7.【解析】【解答】 为奇函数， 且 关于原点对称①
∵ 时 ，∴ ，∴
∴ 时 ，
∵ 为偶函数关于 轴对称．
那么 关于 对称②
由①②可知
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴ 周期为4， ，
故答案为：C．

【分析】 根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析可得f〔x+2〕=-f〔x〕，进而有f〔x+4〕=-f〔x+2〕=f〔x〕，即函数是周期为4的周期函数，由此可得f〔2021〕=f〔1+505×4〕=f〔1〕，又由函数的解析式和奇函数的定义可得a的值，即可得f〔1〕的值，分析可得答案．
8.【解析】【解答】因为 ， ， ，所以切线：
令 ， ，∴ ， ，那么 ，有 ．
∴ 是以 为公比的等比数列, ，而 ， ．∴ 恒成立 ,即 的最小值为128.
故答案为：D．

【分析】 把抛物线方程变形，求〔x＞0〕的导函数，得到函数在点  处的切线方程，求解横坐标，可得，得到 是首项为， 公比q=的等比数列，求其前n项和，结合恒成立，即可求得m的最小值．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，方程表示圆可得 ，
解得 ，A符合题意；
对于B，假设 ，可得圆方程： ，
过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，
那么圆心 到直线的距离为 ，当直线的斜率不存在时， ，满足条件，B不正确；
对于C， ，圆心 ，半径 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
两圆心的距离为 ，两圆相交，C符合题意；
对于D，直线 恒过圆 的圆心，
可得 .
，
当且仅当 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】 将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．
10.【解析】【解答】因为 与 共线，那么 ，
所以
.
对于A，将 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，A不符合题意；
对于B， ，B符合题意；
对于C，当 时，那么 ，
由余弦函数的对称轴为 ，C符合题意；
对于D， ，那么 ，
由余弦函数的单调递增区间为 ，
当 时，余弦函数的单调递增区间为 ，
所以函数 在 上单调递增.
故答案为：BC

【分析】 根据向量共线建立方程关系，利用三角函数关系进行化简求出函数 的解析式，分别进行判断即可.
11.【解析】【解答】解：对A， 在 上单调递减，
又 ，
，
，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递减；
故无法判断 与 大小，A不符合题意；
对B，当 时， ，
，
，B符合题意；
对C，当 时， ，
，C符合题意；
对D，要证 ，
即证 ，
即证 ，
，
即证 ，
， ，
令 ，

 
 
，
又 ，
，
即 ，
即原式得证，D符合题意.
故答案为：BCD．

【分析】 直接利用函数的单调性，不等式的性质和作差法的应用判断A,B,C,D 的结论.
12.【解析】【解答】对于A： ，
所以 ，
所以 ，A符合题意．
对于B：设 ，截面三角形面积和 ，B不符合题意；

对于C：设外接球球心为 ，半径为 ，∴
在 中，由勾股定理可得： ，解得：
所以该球的外表积 ， C符合题意；

对于D：设球心为 ，截面主视图如以下列图，设内切圆半径为 ，
各边长分别为 , ，
所以 ，解得： ，
D符合题意．

故答案为：ACD

【分析】 利用勾股定理求出PO，在△BPO中，利用边角关系求出∠BPO，即可判断选项A，设∠APB=θ，用θ表示出截面三角形的面积结合正弦函数的有界性，即可判断选项B，设外接球球心为M，半径为R，在在△AOM中，求出R，由球的外表积公式求解即可判断选项C，设球心为O'，设内切圆半径为r，利用等面积法求出r，即可判断选项D．
三、填空题
13.【解析】【解答】在二项式 中，
通项公式得 ，由12﹣3r＝0，得r＝4，
∴常数项为 .
故答案为：240．
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数.
14.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
即 .
∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为： ．

【分析】 由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角大小．
15.【解析】【解答】
 
集中培训
分散培训
合计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
合计
55
50
105
，
故答案为：0.025．

【分析】 根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2 ， 对照题目中的表格，得出统计结论．
16.【解析】【解答】如下列图：

由 ，解得 ，
∴
由 ，解得 ，
所以
由 ，解得 ，
所以 ，
由抛物线的定义得：
∴ ，
∴ 周长 ，
，
.
，

故答案为：2，〔4,6〕．

【分析】 利用题中的条件，解出点P的坐标，即可求出m的值；利用题中的条件表示出三角形△FAB的周长，即可求出其范围．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕分别选①②③，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
〔2〕由   ，可得bn ， 再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
 
 
18.【解析】【分析】〔1〕分别在三角形ABF和三角形ABF中利用正弦定理，即可解出；
〔2〕利用〔1〕中的结论，结合三角形面积公式和三角恒等变换，即可解出。
19.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面垂直的判定定理证明；〔2〕用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程确定Q点位置，再用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕计算出买礼包C的概率，然后计算即可；
〔2〕Y的所有可能取值为150，125，100，75，分别求出对应的概率，从而可得分布列及期望．
 
 
21.【解析】【分析】 〔1〕由题意知离心率 ， 再由点P〔a，b〕到直线   的距离等于1，可联立解得a，b的值；
〔2〕联立方程组，利用韦达定理进行计算．
22.【解析】【分析】 〔1〕求出f′〔x〕，f″〔x〕，由可得 ；

〔2〕函数f〔x〕存在零点，可得  在〔0，+∞〕上有解， 令  ，求导得 ， 令  ， 再利用放缩法可得   从而可得 ，即可求得a的取值范围；
〔3〕由〔2〕可得   ，根据数据合理放缩，即可证明结论．