2020-2021学年4.5 几种简单几何体的表面积和体积精练

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4.5几种简单几何体的表面积和体积同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是

A.  B.
C.  D.

2. 若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是

A.  B.
C.  D.

3. 公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱、正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长假设运用此体积公式求得球直径为、等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为的“玉积率”分别为、、，那么等于   

A.  B.  C.  D.

4. 公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱，正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长假设运用此体积公式求得球奖直径为，等边圆柱底面圆的直径为，正方体棱长为的“玉积率”分别为，那么   

A.  B.  C.  D.

5. 已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为、、，则   

A.  B.
C.  D.

6. 如图，是正方形的对角线，的圆心是，半径为，正方形以为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是  

A.
B.
C.
D.

7. 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆术”或“玉积率”。创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”。其中，为直径，类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱、正方体也有类似的体积公式，其中，在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长，假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为。那么等于

A.  B.  C.  D.

8. 公元前世纪，古希腊数学家欧几里德在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，此即，欧几里德未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似的，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱、正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长假设运用此体积公式求得球直径为、等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为的“玉积率”分别为，，，那么等于

A.  B.  C.  D.

9. 已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为的等比三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为

A.  B.  C.  D.

10. 世纪日本数学家们对这个数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“”中的常数称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，为直径，类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱、正方体也有类似的体积公式，其中，在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长，假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为，，

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. “牟合方盖”图是由我国古代数学家刘徽创造的，其构成是由一个正方体从纵横两侧面作内切圆柱圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方体侧面相切的公共部分组成的图，假设正方体的棱长为，则其中一个内切圆柱的表面积为          ；该正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，所以用任一平行于正方体底面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，根据祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等可得“牟合方盖”的体积为          ．

12. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，该四面体的内切球的半径是          ；若是该正四面体外接球的一条直径，则的最小值是          ．
13. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，两两垂直，，，，则该三棱锥的体积为          ，球的表面积为          ．
14. 在四面体中，，且，，，则该四面体体积的最大值为          ，该四面体外接球的表面积为          
15. 在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则该四面体外接球的表面积为          ；该四面体体积的最大值为          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16. 如图，三棱柱的所有棱长都是，，．
     

求三棱柱全面积；

若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值．






 

17. 如图所示，四边形是直角梯形单位：，求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
     

18. 如图所示，在梯形中，，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图所示．
    
    求证：；
    若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积．
    
    
    
    
    
    
     
19. 若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，设它们的表面积分别为、、，判断它们的大小关系，并证明．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在直角梯形中，，，，是中点，使得面，是的中点；
    求证：；
    求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查几何体的体积和面积，考查计算能力，属于中档题．
设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，根据体积公式得出，，的关系，进而得到其比值，
然后根据面积公式求得各几何体的面积之比，与比较大小，即得答案．
【解答】
解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，，，
，，，
 ，
 ．
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查几何体的体积和表面积，考查计算能力，属于中档题．
设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，根据体积公式得出，，的关系，进而得到其比值，
然后根据面积公式求得各几何体的表面积之比，与比较大小，即得答案．
【解答】
解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，，，
，，，
 ，
 ．
故选A．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理的能力，属于中档题．
根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理即可得出．

【解答】

解：；
；
；
故．
故选D．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理，属于基础题．
根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理即可得出．
【解答】

解：；
；
；
故．
故选D．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．

【解答】

解：正方体的棱长为，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为，
体积，，
球的半径为，体积，，
，
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥、圆柱和球的体积计算，关键是判断旋转体的形状和旋转体的旋转半径．
利用圆锥、圆柱和球的体积公式即可求解．
【解答】
解：设正方形的边长为，可得


，
故图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是 ，
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查球、等边圆柱、正方体的“玉积率”的比值的求法，考查球、等边圆柱、正方体的体积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．
利用球的体积公式求出；利用等边圆柱的体积公式求出；利用正方体的体积公式求出由此能求出：：的值．

【解答】
解：在球中，，解得；
在等边圆柱中，，解得，
在正方体中，，解得．
：：．
故选D．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．
根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理即可得出．
【解答】

解：；
；
；
故．
故选D．

9.【答案】
 

【解析】解：设球心到平面的距离为，三棱锥外接圆的表面积为，
则球的半径为，
所以，故，
由是的中点得：，
故选：．
设球心到平面的距离为，求出球的半径，通过，求解即可．
本题考查几何体的外接球以及几何体的体积的求法，等体积法的应用，是中档题．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查球、等边圆柱、正方体的“玉积率”的比值的求法，考查球、等边圆柱、正方体的体积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．
利用球的体积公式求出；利用等边圆柱的体积公式求出；利用正方体的体积公式求出由此能求出：：的值．

【解答】
解：在球中，，解得；
在等边圆柱中，，解得，
在正方体中，，解得．
：：．
故选：．  

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查球的体积公式，圆柱的表面积公式，属于中档题．
由题意分析结合球的体积公式和圆柱的表面积公式求出答案．
【解答】
解：由题可知圆柱的底面半径为，高为，所以表面积为；
截得的正方形与内切圆的面积的比为，
由于“牟合方盖”与内切球等高，
所以由祖配原理可得“牟合方盖”的体积与内切球的体积比为，
而内切球的体积为，所以“牟合方盖”的体积为．
故答案为．  

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查空间向量数量积的计算，以及正四面体内切球和外接球半径的计算，属于中档题．
计算正四面体的体积，设内切球的半径为，利用计算出内切球的半径；设外接球的半径为，利用当、、三点共线时，取得最小值，可知当为该正四面体的内切球与面的切点时取最小值，即可求出．
【解答】
解：如图示：

设正四面体的内切球球心为点，连接并延长交底面于点，
则为正三角形的中心，且平面，
连接并延长交于点，则为的中点，且，
，，
平面，平面，
，，
，
正四面体的体积，
设球的半径为，
则，
．
正四面体的内切球与外接球的球心重合，则外接球的半径，
因为 
，
所以当最小，即为该正四面体的内切球与各面的切点时取等号，取最小值，
此时，，
即的最小值为．
故答案为；．  

13.【答案】  

【解析】解：由，，两两垂直，是长方体的一个角，三棱锥的体积为：，
三棱锥扩展为长方体，
长方体外接球直径为其体对角线长，
可得球直径为：，
，
故答案为：；．
利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．
此题考查了三棱锥外接球问题，外接球的表面积，三棱锥的体积的求法，难度不大．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查四面体的体积，球的表面积，属基础题，难度较易．
根据已知条件，画出图形，可知的中点即为外接球的球心，得到球的半径，由球的表面积公式计算；当时，三棱锥的高为，取得最大值，此时该四面体的体积取得最大值，利用体积公式计算即得．
【解答】
解：，，，
又，，
，
为直角三角形．
如图所示，取的中点，连接，，

由直角三角形的性质可得，
可知的中点即为外接球的球心，
得到外接球的半径，
由球的表面积公式；
当时，
此时，，，，
平面，
三棱锥的高为，高取得最大值，
此时该四面体的体积取得最大值
．
故答案为；．  

15.【答案】；

【解析】

【分析】
本题考查四面体外接球的表面积、四面体体积的最大值是基础题。
利用长方体模型，该四面体外接球半径，解出，
球与棱柱、棱锥的内切、外接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点一般为接、切点或线作截面，把空间同题转化为平面问题，确定球心的位置找到球的半径直径与该儿何体已知量的关系，最后求解相关同题。其中为点到平面的距离，当最长时，体积最大．
【解答】
利用长方体模型，该四面体外接球半径
，
设为四面体最大棱长，，
，，，
，
 ，
；

，
△ABC=，
，
，
 ，
，
该四面体体积的最大值是．  

16.【答案】解：连接，
由题设得，为正三角形．
，
，
．
．
连接，在正三棱柱中，所有棱长都为，
，，
又在下底面的正投影为下底面的中心，
，
而，
 

【解析】本题考查棱柱的体积和表面积的运算，属于一般题．
根据多面积表面积公式求多面体表面积．
根据三棱柱的体积为，列出关系式，求出即可
 

17.【答案】解：由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积一半球面面积．
又，
，
，
所以该几何体的表面积为
又，

所以该几何体的体积为
 

【解析】本题考查几何体的表面积和体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的体积的求法和应用．
由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积半球面面积，该几何体的体积为，由此能求出结果．
 

18.【答案】证明：在图中，，即，且，
，，
则在图中，，，
又，
，平面
平面．
平面，
F.
又，，
，平面，
平面，
又平面，
；
解：由已知，且，得，分别为，的中点，
在中，，则，，
则梯形的面积，
四棱锥的体积为，即，
在中，，即是的中点，
，
，平面，
平面，平面，则，得，
在等腰中，底边上的高为，
四棱锥的表面积为：

．
 

【解析】由已知可得，，得到平面，则F.结合已知，可得平面，则；
由已知结合四棱锥的体积为，求得，然后求解三角形可得四棱锥的表面积．
本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系及其判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体表面积的求法，是中档题．
 

19.【答案】解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，
则，，
， ，，
，，
故．
即 
 

【解析】本题考查几何体的结构特征以及表面积、体积，属于基础题．
根据体积相等得到它们的底面半径、球半径以及正方体的棱长的关系，进一步求表面积．
 

20.【答案】证明：平面，
平面平面，
，平面平面，
平面，
；
解：点是的中点，
三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
即三棱锥的体积，
三棱锥的体积．
 

【解析】本题主要考查折叠问题、线面、面面垂直的性质、空间几何体的体积，考查了等积法、空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题．
由已知证明平面面，再利用面面垂直的性质证明面，可得结论；
由点是的中点，可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即三棱锥的体积，再由棱锥体积公式求解．