2018-2019学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题，解答題（本大题14分等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象和性质，述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．在y轴上的截距为2
C．与x轴交于点（﹣2，0）
D．函数图象不经过第一象限
3．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4．（4分）下列命是真命题的是（ ）
A．π是单项式
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两点之间，直线最短
D．同位角相等
5．（4分）等腰三角形的底边长为4，则其腰长x的取值范国是（ ）
A．x＞4B．x＞2C．0＜x＜2D．2＜x＜4
6．（4分）已知点A（m，﹣3）和点B（n，3）都在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
7．（4分）把函数y＝3x﹣3的图象沿x轴正方向水平向右平移2个单位后的解析式是（ ）
A．y＝3x﹣9B．y＝3x﹣6C．y＝3x﹣5D．y＝3x﹣1
8．（4分）一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示．根据图象信思给出下列说法，其中错误的是（ ）
A．每分钟进水5升
B．每分钟放水1.25升
C．若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完
D．若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满
9．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝70°，那么∠FDE等于（ ）
A．40°B．45°C．55°D．35°
10．（4分）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空（本大共4小，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（5分）若点（a，3）在函数y＝2x﹣3的图象上，a的值是 ．
13．（5分）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则此等腰三角形的顶角为 ．
14．（5分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 秒时，△DEB与△BCA全等．
三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣1，4），B（1，﹣2）两点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出函数图象与两坐标轴的交点坐标．
16．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC与关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1、B1、C1的坐标；
（2）若将线段A1C1平移后得到线段A2C2，且A2（a，2），C2（﹣2，b），求a+b的值．
四、解答题（本大題共2小题，每小题8分，计16分）
17．（8分）如图，一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B，B点的横坐标是﹣1．
（1）求该一次函数的解析式：
（2）求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积．
18．（8分）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC的度数．
五、解答题（20分）
19．（10分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米．
（2）小明在书店停留了 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．
（4）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 ．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
六、解答题（本大题12分）
21．（12分）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
七、解答题（本大题12分）
22．（12分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
八、解答題（本大题14分
23．（14分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
2018-2019学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．故选B．
2．（4分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象和性质，述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．在y轴上的截距为2
C．与x轴交于点（﹣2，0）
D．函数图象不经过第一象限
【分析】根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】解：A．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象y随着x的增大而减小，即A项错误，
B．把x＝0代入y＝﹣3x﹣2得：y＝﹣2，即在y轴的截距为﹣2，即B项错误，
C．把y＝0代入y＝﹣3x﹣2的：﹣3x﹣2＝0，解得：x＝﹣，即与x轴交于点（﹣，0），即C项错误，
D．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D项正确，
故选：D．
3．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【解答】解：因为3+4+5＝12，
5÷12＝，
180°×＝75°，
所以这个三角形里最大的角是锐角，
所以另两个角也是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
4．（4分）下列命是真命题的是（ ）
A．π是单项式
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两点之间，直线最短
D．同位角相等
【分析】根据单项式、三角形外角性质、线段公理、平行线性质解答即可．
【解答】解：A、π是单项式，是真命题；
B、三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，是假命题；
C、两点之间，线段最短，是假命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选：A．
5．（4分）等腰三角形的底边长为4，则其腰长x的取值范国是（ ）
A．x＞4B．x＞2C．0＜x＜2D．2＜x＜4
【分析】根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可．
【解答】解：∵等腰三角形的底边长为4，腰长为x，
∴2x＞4，
∴x＞2．
故选：B．
6．（4分）已知点A（m，﹣3）和点B（n，3）都在直线y＝﹣2x+b上，则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
【分析】根据一次函数y＝﹣2x+b图象的增减性，结合点A和点B纵坐标的大小关系，即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b图象上的点y随着x的增大而减小，
又∵点A（m，﹣3）和点B（n，3）都在直线y＝﹣2x+b上，且﹣3＜3，
∴m＞n，
故选：A．
7．（4分）把函数y＝3x﹣3的图象沿x轴正方向水平向右平移2个单位后的解析式是（ ）
A．y＝3x﹣9B．y＝3x﹣6C．y＝3x﹣5D．y＝3x﹣1
【分析】根据平移性质可由已知的解析式写出新的解析式即可．
【解答】解：根据题意，直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，
所以得到的解析式是y＝3（x﹣2）﹣3＝3x﹣9．
故选：A．
8．（4分）一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示．根据图象信思给出下列说法，其中错误的是（ ）
A．每分钟进水5升
B．每分钟放水1.25升
C．若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完
D．若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满
【分析】根据前4分钟计算每分钟进水量，结合4到12分钟计算每分钟出水量，可逐一判断．
【解答】解：每分钟进水：20÷4＝5升，A正确；
每分钟出水：（5×12﹣30）÷8＝3.75 升；故B错误；
12分钟后只放水，不进水，放完水时间：30÷3.75＝8分钟，故C正确；
30÷（5﹣3.75）＝24分钟，故D正确，
故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝70°，那么∠FDE等于（ ）
A．40°B．45°C．55°D．35°
【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BDE+∠CDF的度数，由此可求得∠EDF的度数．
【解答】解：△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝110°；
△BED中，BE＝BD，
∴∠BDE＝（180°﹣∠B）；
同理，得：∠CDF＝（180°﹣∠C）；
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣∠FDE；
∴∠FDE＝（∠B+∠C）＝55°．
故选：C．
10．（4分）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】（1）先求出∠BPC的度数是360°﹣60°×2﹣90°＝150°，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；
（2）根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【解答】解：根据题意，∠BPC＝360°﹣60°×2﹣90°＝150°
∵BP＝PC，
∴∠PBC＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
①正确；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，
∴②AD∥BC，③PC⊥AB正确；
④也正确．
所以四个命题都正确．
故选：D．
二、填空（本大共4小，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤2且x≠﹣2 ．
【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：x≤2且x≠﹣2，
故答案为：x≤2且x≠﹣2．
12．（5分）若点（a，3）在函数y＝2x﹣3的图象上，a的值是 3 ．
【分析】把点（a，3）代入y＝2x﹣3得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把点（a，3）代入y＝2x﹣3得：
2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
13．（5分）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则此等腰三角形的顶角为 40°或140° ．
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【解答】解：当为锐角时，如图
∵∠ADE＝50°，∠AED＝90°，
∴∠A＝40°
当为钝角时，如图
∠ADE＝50°，∠DAE＝40°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
故答案为40°或140°．
14．（5分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 0，4，12，16 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．
【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；此时AE＝3t
分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，
BE＝24﹣3t＝12，
∴t＝4；
（2）当点E在点B的右侧时，
①BE＝AC时，3t＝24+12，
∴t＝12；
②BE＝AB时，
3t＝24+24，
∴t＝16．
（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；
综上所述，故答案为：0，4，12，16．
三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）已知一次函数的图象经过A（﹣1，4），B（1，﹣2）两点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出函数图象与两坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法容易求得一次函数的解析式；
（2）分别令x＝0和y＝0，可求得与两坐标轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵图象经过点（﹣1，4），（1，﹣2）两点，
∴把两点坐标代入函数解析式可得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+1；
（2）在y＝﹣3x+1中，令y＝0，可得﹣3x+1＝0，解得x＝；
令x＝0，可得y＝1，
∴一次函数与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．
16．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC与关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1、B1、C1的坐标；
（2）若将线段A1C1平移后得到线段A2C2，且A2（a，2），C2（﹣2，b），求a+b的值．
【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；
（2）由点A1、C1的坐标，根据平移与坐标变化的规律可规定出a、b的值，从而可求得a+b的值．
【解答】解：（1）如图所示：
A1（2，3）、B1（3，2）、C1（1，1）．
（2）∵A1（2，3）、C1（1，1），A2（a，2），C2（﹣2，b）．
∴将线段A1C1向下平移了1个单位，向左平移了3个单位．
∴a＝﹣1，b＝0．
∴a+b＝﹣1+0＝﹣1．
四、解答题（本大題共2小题，每小题8分，计16分）
17．（8分）如图，一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B，B点的横坐标是﹣1．
（1）求该一次函数的解析式：
（2）求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据点B在函数y＝﹣x上，点B的横坐标为﹣1，可以求得点B的坐标，再根据一次函数过点A和点B即可求得一次函数的解析式；
（2）将y＝0代入（1）求得的一次函数的解析式，求得该函数与x轴的交点，即可求得一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点B在函数y＝﹣x上，点B的横坐标为﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，1），
∵点A（0，2），点B（﹣1，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，得，
即一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2，
则一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积为：＝1．
18．（8分）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC的度数．
【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠ABC＝∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．
【解答】解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠ABC＝∠BAP＝∠CAQ＝30°．
五、解答题（20分）
19．（10分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 1500 米．
（2）小明在书店停留了 4 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 2700 米．一共用了 14 分钟．
（4）在整个上学的途中 12分钟至14分钟 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分．
【分析】（1）因为y轴表示路程，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；（2）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可．
（3）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2．（4）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可．
【解答】解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校，
∴小明家到学校的路程是1500米．
（2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟．
（3）1500+600×2＝2700（米）
即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟．
（4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分）
折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分），
从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分）
经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快
即：在整个上学的途中 从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分
20．（10分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ∠AEB＝∠CDB ．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 △ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA ．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．
【解答】解：添加条件例举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；
证明例举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）：
∵∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，
∴△BEA≌△BDC．
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
故填∠AEB＝∠CDB；△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
六、解答题（本大题12分）
21．（12分）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出∠APF＝∠BCA＝60°，AP＝PF＝AF＝CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD＝CD，证出AE+CD＝DE＝AC，即可得出结果．
【解答】（1）证明：如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F；
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，
∴∠APF＝∠BCA＝60°，AP＝PF＝AF＝CQ，
∴∠FDP＝∠DCQ，∠FDP＝∠CDQ，
在△PDF和△QDC中，
，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD＝DQ；
（2）解：如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝6，
∴DE＝3．
七、解答题（本大题12分）
22．（12分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）根据总费用＝两种奖品的费用之和表示出W与m的关系式，并有条件建立不等式组求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，得
，
解得：．
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500
∴，
解得：70≤m≤75．
∵m是整数，
∴m＝70，71，72，73，74，75．
∵W＝﹣5m+1500，
∴k＝﹣5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m＝75时，W最小＝1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
八、解答題（本大题14分
23．（14分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点
（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；
（2）若∠APO＝∠BPO，
①求此时P点的坐标；
②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．
（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．
②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．
【解答】解：（1）∵两点之间线段最短
∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
∵A（2，2），B（4，﹣3）
∴ 解得：
∴直线AB：y＝﹣x+7
当﹣x+7＝0时，得：x＝
∴P点坐标为（，0）
（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）
根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO
∵∠APO＝∠BPO
∴∠A'PO＝∠BPO
∴P、A'、B在同一直线上（如图2）
设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'
解得：
∴直线A'B：y＝﹣x﹣1
当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2
∴点P坐标为（﹣2，0）
②存在满足条件的点Q
法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）
∴PC＝4，BD＝2
∴S△PAB＝S△PAA'+S△BAA'＝
设BQ与直线AA'（即直线x＝2）的交点为E（如图4）
∵S△QAB＝S△PAB
则S△QAB＝＝2AE＝12
∴AE＝6
∴E的坐标为（2，8）或（2，﹣4）
设直线BQ解析式为：y＝ax+q
或
解得： 或
∴直线BQ：y＝ 或y＝
∴Q点坐标为（0，19）或（0，﹣5）
法二：∵S△QAB＝S△PAB
∴△QAB与△PAB以AB为底时，高相等
即点Q到直线AB的距离＝点P到直线AB的距离
i）若点Q在直线AB下方，则PQ∥AB
设直线PQ：y＝x+c，把点P（﹣2，0）代入
解得c＝﹣5，y＝﹣x﹣5
即Q（0，﹣5）
ii）若点Q在直线AB上方，
∵直线y＝﹣x﹣5向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+7
∴把直线AB：y＝﹣x+7再向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+19
∴Q（0，19）
综上所述，y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/6/6 10:09:35；用户：初数；邮箱：kh02@xyh.cm；学号：22313616