2020年上海市杨浦高三一模数学试卷及答案

2020年上海市杨浦高三一模数学试卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.设全集，则__________.

【答案】

2.设复数（是虚数单位），则 __________.

【解析】.

3.若关于的方程组无解，则实数__________.

【解析】由题意得，解得，经检验满足题意，

        所以.

4. 已知球的半径为，则它的体积为__________.

【解析】.

5.若直线和互相垂直，则实数__________.

【解析】因为直线和互相垂直，

        所以，所以.

6.已知，则 __________.

【解析】因为，所以.

7.已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.

【解析】由题意得，所以，

        故展开式中的常数项为.

8. 为偶函数，当时, ，则不等式的解集为__________.

【解析】由题意得为偶函数，在上单调递增，，

        则可化为，故解集为.

9.方程的解为

【解析】由得，解得或，

        其中不满足真数大于0，舍去，故.

10.平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点（其中 ）是曲线上的点，原点到直线的距离为，则__________.

【解析】法一：由题意得曲线是以，为焦点的双曲线的右支，且，

              所以，故曲线的方程为

，

              故曲线的渐近线方程为，不妨取第一象限的渐近线，

              当时，点趋向于渐近线上的，

              直线的方程为趋向于直线，

              原点到直线的距离，

              由极限思想，.

        法二：（硬算）直线的方程为，其中

              即，

              所以原点到直线的距离

，

所以.

11.如图所示矩形中，，分别将边与等分成份，并将等分点自下而上依次记作，自左到右依次记作，满足（其中）的有序数对共有__________.对.

【解析】以为原点建系，则，

由得，即，

当时，，共种，

当，共种，

故有序数对共有对.

12.已知函数在定义域上是单调函数，值域为，满足，且对任意，都有的反函数为，若将（其中常数）的反函数的图像向上平移个单位，将得到函数的图像，则实数的值为__________.

【解析】因为对任意，都有，

        不妨令，满足值域为，

        所以，解得，所以，所以，

        对函数而言，其反函数为，

        由题意得，所以，所以.

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.设，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

【答案】B

【解析】由不等式性质易得，当时，恒成立的是

14.下列函数中，值域为的是（ ）

【答案】C

【解析】的值域为；的值域为；

        的值域为；的值域为；故选C.

15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）

【答案】A

【解析】从正方体的8个顶点中选取4个，构成四面体，除去正方体的6个面和6个对角

面，一共能构成个四面体，故选A.

16.设集合（其中常数），（其中常数 ），则“”是“”的（ ）

A.充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】若，则；若，则；

        当时，若，则，满足，

                   若，则，满足；

        而当，显然满足，

        故“”是“”的充分非必要条件，故选A.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，，

，点分别是棱的中点.

（1）求证：四点共面；

（2）求直线与平面所成角的大小。

【解析】（1）证明：由已知得，

因为与确定平面

所以四点共面

(2)解:  作, 垂足为F  

平面, 平面,

直线直线

直线且与相交于

直线平面  即为直线与平面所成的角.

在直角中, , ,

直线与平面所成的角为.  

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设常数

（1）若是奇函数，求实数的值；

（2）设中，内角的对边分别为，若，求的面积

【解析】（1）解: 由题意     

检验：    

对任意都有

是奇函数

.   

(2)解: , 整理得,

A是三角形的内角     

由余弦定理, 即

整理得,  解得或     

,或.  

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某校运会上无人机飞行表演，在水平距离 （单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米），其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点

（1）求关于的函数解析式；

（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.（精确到）

【解析】解：（1）时

设：

将代入得    

时   

（2）如图，设仰角为，俯角为

 仰角最小为    

俯角最小为  

        最小为        

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点.

（1）若，求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积

（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且 分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.

【解析】(1)解: ,           

, ,

 , 解得 

即椭圆的方程为.         

(2)解: 椭圆的方程为,

由题意   

设, 由线段的中点在y轴上,  

代入椭圆方程得, 即    

.  

(3)证明: 由题意, 设点P的坐标为,

直线：, 与椭圆方程联立

消去得：          

由韦达定理得      即;   

同理 ;                              

当, 即   即  时,

直线的方程为;              

当时, 直线：  

化简得, 恒过点;           

综上所述, 直线恒过点.     

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设数列与满足：的各项均为正数，

（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式.

（2）设，求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列.

（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.

【解析】（1）解: , , 公比为   

由解得,

数列的通项公式为.               

（2）证明: 反证法，设存在

则, 此时

 公比  

, 考虑不等式  

当时, 即时,

有(其中表示不超过x的最大整数),

这与的值域为矛盾      

假设不成立 ，得证

(3)解: ,                         

由等差数列性质 

即,特别地, ,

现考虑的最大值

为使取最大值, 应有,

否则在中将替换为, 且,

将得到一个更大的      

由可知, 特别地, ;

于是   

解得, 所以的最大值为8.