2021年上海市杨浦高三一模数学试卷及答案
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数学学科试卷评分标准
一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题
5分）
1． ； 2． ； 3． ； 4. ；
5. 6； 6. ； 7. ； 8. ；
9. ； 10. ； 11. 18； 12. 3
二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）
- B； 14. C； 15. A； 16. A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：(1)证明: 点分别是棱的中点, （2分）
（4分）
四点共面. （6分）
(2)解: 作, 垂足为F （8分）
平面, 平面,
直线直线
直线且与相交于
直线平面 （10分）
即为直线与平面所成的角.（12分）
在直角中, , ,
直线与平面所成的角为. （14分）
18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
(1) 解: 由题意 （2分）
检验：
对任意都有
（5分）
是奇函数
. （6分）
(2)解: , 整理得,（8分）
A是三角形的内角 （10分）
由余弦定理, 即
整理得, 解得或 （12分）
,或. （14分）
19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）时
设： 代入得 （2分）
（3分）
时
（5分）
（6分）
（2）如图，设仰角为，俯角为
仰角最小为 （8分）
（10分）
（12分）
俯角最小为 （13分）
最小为 （14分）
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
(1)解: , （1分）
, , , 解得 （3分）
即椭圆的方程为. （4分）
(2)解: 椭圆的方程为, 由题意 （6分）
设, 由线段的中点在y轴上,
代入椭圆方程得, 即 （8分）
. （10分）
(3)证明: 由题意, 设点P的坐标为,
直线：, 与椭圆方程联立
消去得： （12分）
由韦达定理得 即;
同理 ; （14分）
当, 即 即 时,
直线的方程为; （15分）
当时, 直线：
化简得, 恒过点; （16分）
综上所述, 直线恒过点.
- （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
(1) 解: , , 公比为 （2分）
由解得,
数列的通项公式为. （4分）
(2) 证明: 反证法，设存在
则, 此时
公比 （6分）
, 考虑不等式 （8分）
当时, 即时,
有(其中表示不超过x的最大整数),
这与的值域为矛盾 （10分）
假设不成立 ，得证
(3)解: ,
由等差数列性质 （11分）
即,特别地, , （12分）
现考虑的最大值
为使取最大值, 应有,
否则在中将替换为, 且,
将得到一个更大的 （14分）
由可知, 特别地, ;
于是 （16分）
解得, 所以的最大值为8. （18分）
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