人教版2022届一轮复习打地基练习 指、对数不等式的解法

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 指、对数不等式的解法，共21页。试卷主要包含了已知集合A＝{x|lg2，已知x是实数，不等式，已知函数f，对任意实数x，都有lga，已知不等式x2﹣2ax+a＞0，若lga23＜1等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|lg2（x﹣1）＜1}，则A＝（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（1，2）D．（1，3）
2．已知x是实数，不等式（12）x2−2≥（12）2x+1，则x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，3]B．[﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
3．已知函数f(x)=lg2x，x＞1x2−1，x≤1，则f（x）＜f（x+1）的解集为（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．(−12，+∞)D．(−12，1)
4．若lga34＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜34B．0＜a＜34或a＞1
C．34＜a＜1D．34＜a＜1或a＞1
5．已知函数f（x）＝x2+lg2|x|，则不等式f（x+1）﹣f（2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，1）∪（1，3）
6．对任意实数x，都有lga（ex+4）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，14）B．（1，4）C．（1，4]D．[4，+∞）
7．若f（x）=lg3(x+1)，x≥02x，x＜0，则不等式f（x）＞12的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（3−1，+∞）B．（﹣∞，1−3）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（0，3−1）D．（﹣∞，﹣1）∪（3−1，+∞）
8．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜ax2+2x−3＜1的解集是（ ）
A．（1，2）B．（−12，2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
9．不等式|2x﹣lg2x|＜2x+|lg2x|的解集为（ ）
A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）
10．若lga23＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，23）B．（0，23）∪（1，+∞）
C．（1，+∞）D．（0，1）
11．集合M＝{（x，y）|x，y∈Z，ln2+ln（4﹣x）（4+y）≥2ln（y﹣x+6），则集合M的元素个数为（ ）
A．13B．12C．11D．10
12．lga12＜1，则a的取值范围是（ ）
A．(0，12)∪(12，+∞)B．(12，+∞)
C．(12，1)D．(0，12)∪(1，+∞)
13．已知lga+lgb＝0且a＜b，则不等式lgax+lgb（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（12，+∞）D．（12，1）
14．设函数f(x)=lg13(1+x2)+11+3|x|，则使得f（x）≤f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．(−∞，12]B．[12，+∞)
C．(−∞，14]∪[12，+∞)D．[14，12]
二．填空题（共16小题）
15．不等式（12）2x2−1＞（12）4﹣3x的解集为 ．
16．不等式9x−2＞lg12x的解集是 ．
17．关于x的不等式lg（x2﹣8）＞lg2x的解集为 ．
18．当0＜a＜1时，不等式a2x﹣1＜ax+1的解集为 ．
19．若lg2（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．
20．当0＜x≤13时，8x＜lgax，则a的取值范围是 ．
21．不等式lg2x≤2的解集为 ．
22．若实数m满足lgm13＞1＞lg15m，则实数m的取值范围为 ．
23．当x∈{x|（lg2x）2﹣lg2x﹣2≤0}时，函数y＝4x﹣2x+3的最小值是 ．
24．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为 ．
25．若lga2＞1，则a的取值范围是 ．
26．不等式3x+1＜4x+5的解集为 ．
27．已知不等式lg2（5﹣x）≤1，则x的解集是 ．
28．不等式lg3x＞12(x−1)的解集为 ．
29．不等式lg14(5+x)＜lg14(1−x)的解集为 ．
30．关于x的不等式2x2−x＞2x+3的解集为 ．
三．解答题（共9小题）
31．已知函数f（x）＝lg2（1+ax）﹣lg2（1﹣x）（a＞0）是奇函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）+f（2x﹣1）≥0．
32．求不等式lga（4﹣x）＞﹣lg1ax的解集．
33．已知函数y＝f（x）＝lga（2﹣2x）﹣lga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞0．
34．已知函数f（x）满足f（x+1）＝lg（2+x）﹣lg（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1；
（3）判断并证明f（x）的单调性．
35．已知函数f(x)=lg2(2x+1)，
（1）求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若函数g(x)=lg2(2x−1)(x＞0)，若关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]有解，求m的取值范围．
36．已知f（x）＝ln1+x1−x．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求使f（x）＞0的x的取值范围．
37．已知f（x）＝lg2（2﹣x）﹣lg2（2+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
38．已知函数f(x)=lg3(x2−2ax+a)的定义域是R．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2−4x−14＞1a2．
39．已知函数f（x）＝lga（1+3x）﹣lga（1﹣3x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域，并证明f（x）的奇偶性；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
人教版2022届一轮复习打地基练习 指、对数不等式的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知集合A＝{x|lg2（x﹣1）＜1}，则A＝（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（1，2）D．（1，3）
【分析】由对数式的真数大于0小于2列不等式求解．
【解答】解：由lg2（x﹣1）＜1＝lg22，
得0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，
∴A＝{x|lg2（x﹣1）＜1}＝（1，3）．
故选：D．
2．已知x是实数，不等式（12）x2−2≥（12）2x+1，则x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，3]B．[﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【分析】由题意利用指数函数的单调性可得，x2﹣2≤2x+1，由此求得x的范围．
【解答】解：∵x是实数，不等式（12）x2−2≥（12）2x+1，∴x2﹣2≤2x+1，
求得﹣1≤x≤3，
故选：A．
3．已知函数f(x)=lg2x，x＞1x2−1，x≤1，则f（x）＜f（x+1）的解集为（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．(−12，+∞)D．(−12，1)
【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围．
【解答】解：∵函数f(x)=lg2x，x＞1x2−1，x≤1，
∴①当x＜0时，f（x）＝x2﹣1，f（x+1）＝（x+1）2﹣1，
不等式f（x）＜f（x+1），即x2﹣1＜（x+1）2﹣1，求得−12＜x＜0．
②当x∈[0，1]时，不等式f（x）＝x2﹣1，f（x+1）＝lg2（x+1），
不等式f（x）＜f（x+1），即 x2﹣1＜lg2（x+1），即 x2＜lg2（x+1）+1．
由于x∈[0，1]，故x2∈[0，1]，lg2（x+1）＞0，故lg2（x+1）+1＞1，
故这个不等式恒成立，即 x∈[0，1]，满足不等式成立．
③当x＞1时，f（x）＝lg2x，f（x+1）＝lg2（x+1），
不等式f（x）＜f（x+1），即 lg2x＜lg2（x+1），它恒成立，故x∈（1，+∞）满足不等式．
综合①②③可得，不等式的解集为（−12，+∞），
故选：C．
4．若lga34＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜34B．0＜a＜34或a＞1
C．34＜a＜1D．34＜a＜1或a＞1
【分析】由题意利用对数的性质，求得a的范围．
【解答】解：若lga34＜1，则 a＞1 或0＜a＜10＜a＜34，
求得a＞1或0＜a＜34，
故选：B．
5．已知函数f（x）＝x2+lg2|x|，则不等式f（x+1）﹣f（2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，1）∪（1，3）
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：不等式f（x+1）﹣f（2）＜0等价为f（x+1）＜f（2），
∵f（x）＝x2+lg2|x|，
∴f（﹣x）＝（﹣x）2+lg2|﹣x|＝x2+lg2|x|＝f（x），
则函数f（x）是偶函数，
且当x＞0时，f（x）＝x2+lg2x为增函数，
则不等式f（x+1）＜f（2）等价为f（|x+1|）＜f（2），
∴|x+1|＜2且x+1≠0，
即﹣2＜x+1＜2且x≠﹣1，
则﹣3＜x＜1且x≠﹣1，
∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1），
故选：A．
6．对任意实数x，都有lga（ex+4）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，14）B．（1，4）C．（1，4]D．[4，+∞）
【分析】由题意可得a＞1且a≤ex+4对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．
【解答】解：对任意实数x，都有lga（ex+4）≥1，
且ex+4＞4，
所以a＞1且a≤ex+4对任意实数x都成立，
所以a的取值范围是1＜a≤4．
故选：C．
7．若f（x）=lg3(x+1)，x≥02x，x＜0，则不等式f（x）＞12的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（3−1，+∞）B．（﹣∞，1−3）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（0，3−1）D．（﹣∞，﹣1）∪（3−1，+∞）
【分析】利用分段讨论法，分别求出x≥0和x＜0时不等式f（x）＞12的解集即可．
【解答】解：因为f（x）=lg3(x+1)，x≥02x，x＜0，
当x≥0时，不等式f（x）＞12化为lg3（x+1）＞12，
所以x+1＞3，解得x＞3−1；
当x＜0时，不等式f（x）＞12化为2x＞12，
解得x＞﹣1，即﹣1＜x＜0；
综上知，不等式f（x）＞12的解集为（﹣1，0）∪（3−1，+∞）．
故选：A．
8．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜ax2+2x−3＜1的解集是（ ）
A．（1，2）B．（−12，2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
【分析】根据不等式x2﹣2ax+a＞0恒成立△＜0，求出0＜a＜1；把不等式a2x+1＜ax2+2x−3＜1化为2x+1＞x2+2x﹣3＞0，求出它的解集即可．
【解答】解：不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则△＜0，
∴4a2﹣4a＜0，
解得0＜a＜1；
∴不等式a2x+1＜ax2+2x−3＜1可化为：
2x+1＞x2+2x﹣3＞0，
即2x+1＞x2+2x−3x2+2x−3＞0，
解得−2＜x＜2x＜−3或x＞1
解得1＜x＜2，
所以不等式的解集是（1，2）．
故选：A．
9．不等式|2x﹣lg2x|＜2x+|lg2x|的解集为（ ）
A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）
【分析】依题意知，x＞0，2x•lg2x＞0，于是原不等式等价于lg2x＞0，解之即可．
【解答】解：根据对数的意义，可得x＞0，
则不等式|2x﹣lg2x|＜2x+|lg2x|等价于|2x﹣lg2x|＜|2x|+|lg2x|，
即2x•lg2x＞0，
又由x＞0，可得原不等式等价于lg2x＞0，
解可得x＞1．
∴不等式的解集为（1，+∞），
故选：C．
10．若lga23＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，23）B．（0，23）∪（1，+∞）
C．（1，+∞）D．（0，1）
【分析】讨论a＞1时和0＜a＜1时，求出不等式lga23＜1的解集即可．
【解答】解：当a＞1时，不等式lga23＜1恒成立，
当0＜a＜1时，不等式lga23＜1化为lga23＜lgaa，
即23＞a＞0，所以0＜a＜23；
综上所述，实数a的取值范围是（0，23）∪（1，+∞）．
故选：B．
11．集合M＝{（x，y）|x，y∈Z，ln2+ln（4﹣x）（4+y）≥2ln（y﹣x+6），则集合M的元素个数为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【分析】化简对数不等式，利用xy是整数，求出满足题意的集合M的元素个数即可．
【解答】解：∵ln2+ln（4﹣x）（4+y）≥2ln（y﹣x+6），
∴2（4﹣x）（4+y）≥（y﹣x+6）2，
32﹣8x+8y﹣2xy≥y2+x2+36﹣2xy+12y﹣12x，
x2+y2﹣4x+4y+4≤0，
（x﹣2）2+（y+2）2≤4，
∵x，y为整数，
∴有以下几组解：
|x﹣2|＝0，|y+2|＝0，1，2，
即x＝2，y＝﹣1，﹣2，﹣3，0，﹣4；
|x﹣2|＝1，|y+2|＝0，1，即x＝3，1，y＝﹣2，﹣1，﹣3；
|x﹣2|＝2，|y+2|＝0，即x＝0，4，y＝﹣2还必须满足（4﹣x）（4+y）＞0，y﹣x+6＞0，所以（2，﹣4）（3，﹣3）（4，﹣2）是不满足的，
即共有以上5+6+2﹣3＝10组解．即m有10个元素．
故选：D．
12．lga12＜1，则a的取值范围是（ ）
A．(0，12)∪(12，+∞)B．(12，+∞)
C．(12，1)D．(0，12)∪(1，+∞)
【分析】把不等式两边化为同底数，然后对a分类讨论得答案．
【解答】解：由lga12＜1，得lga12＜lgaa．
若a＞1，则a＞12，取交集得a＞1；
若0＜a＜1，则0＜a＜12，取交集得0＜a＜12．
∴满足lga12＜1的a的取值范围是(0，12)∪(1，+∞)．
故选：D．
13．已知lga+lgb＝0且a＜b，则不等式lgax+lgb（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（12，+∞）D．（12，1）
【分析】由题意利用对数函数的性质，解对数不等式，求得x的范围．
【解答】解：∵已知lga+lgb＝0且a＜b，∴lgab＝0，ab＝1，即 b=1a＞1，∴0＜a＜1．
则不等式lgax+lgb（2x﹣1）＝lgax+lg1a（2x﹣1）＝lgax+lga12x−1=lgax2x−1＞0，
故有0＜x2x−1＜1，即x2x−1＞0且 x−12x−1＞0，求得 x＞1，
故选：A．
14．设函数f(x)=lg13(1+x2)+11+3|x|，则使得f（x）≤f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．(−∞，12]B．[12，+∞)
C．(−∞，14]∪[12，+∞)D．[14，12]
【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，可得|x|≥|3x﹣1|，由此求得x的取值范围．
【解答】解：函数f(x)=lg13(1+x2)+11+3|x|满足f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．
在[0，+∞）上，f（x）=lg13(1+x2)+11+3x是减函数，
由f（x）≤f（3x﹣1）可得，|x|≥|3x﹣1|，求得14≤x≤12，即 不等式的解集为[14，12]，
故选：D．
二．填空题（共16小题）
15．不等式（12）2x2−1＞（12）4﹣3x的解集为 （−52，1） ．
【分析】由题意利用指数函数的单调性，解一元二次不等式，求得x的范围．
【解答】解：∵不等式（12）2x2−1＞（12）4﹣3x，y=(12)x在R上是减函数，
∴2x2﹣1＜4﹣3x，求得−52＜x＜1，可得不等式的解集为（−52，1），
故答案为：（−52，1）．
16．不等式9x−2＞lg12x的解集是 （12，+∞） ．
【分析】设f（x）＝9x﹣2−lg12x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，再根据 f（12）＝0，故求得f（x）＞0的解集．
【解答】解：设f（x）＝9x﹣2−lg12x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（12）＝3﹣2﹣1＝0，故f（x）＞0的解集为（12，+∞），
即不等式9x−2＞lg12x的解集是（12，+∞），
故答案为：（12，+∞）．
17．关于x的不等式lg（x2﹣8）＞lg2x的解集为 （4，+∞） ．
【分析】根据对数函数的定义与性质，列出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：不等式lg（x2﹣8）＞lg2x，
等价于x2−8＞02x＞0x2−8＞2x，
解得x＞4，
所以不等式的解集为（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
18．当0＜a＜1时，不等式a2x﹣1＜ax+1的解集为 {x|x＞2} ．
【分析】由题意利用对数的性质可得 2x﹣1＞x+1，由此求得x的范围．
【解答】解：当0＜a＜1时，由不等式a2x﹣1＜ax+1，可得 2x﹣1＞x+1，
求得x＞2，
故答案为：{x|x＞2}．
19．若lg2（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】由题意利用数函数的单调性和定义域，求得x的范围．
【解答】解：由lg2（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，∴x＞2，
故答案为：x＞2．
20．当0＜x≤13时，8x＜lgax，则a的取值范围是 （33，1） ．
【分析】由题意利用对数函数的单调性，解对数不等式，求得a的范围．
【解答】解：当0＜x≤13时，若8x＜lgax，则0＜a＜1．
∵8x≤813=2，∴lgax＞2=lgaa2，∴x＜a2，故13＜a2，∴a＞33．
综上，33＜a＜1，
故答案为：（33，1）．
21．不等式lg2x≤2的解集为 （0，4] ．
【分析】由题意利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围．
【解答】解：由不等式lg2x≤2＝lg24 可得，0＜x≤4，
故答案为：（0 4]．
22．若实数m满足lgm13＞1＞lg15m，则实数m的取值范围为 13＜m＜1 ．
【分析】由题意利用查对数函数的性质求得m得取值范围．
【解答】解：实数m满足lgm13＞1＞lg15m，∴0＜m＜1m＞13m＞15，求得 13＜m＜1，
故答案为：13＜m＜1．
23．当x∈{x|（lg2x）2﹣lg2x﹣2≤0}时，函数y＝4x﹣2x+3的最小值是 5−2 ．
【分析】化简集合{x|（lg2x）2﹣lg2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，
再求函数y的最小值即可．
【解答】解：因为{x|（lg2x）2﹣lg2x﹣2≤0}＝{x|（lg2x+1）（lg2x﹣2）≤0}
＝{x|﹣1≤lg2x≤2}
＝{x|12≤x≤4}，
且函数y＝4x﹣2x+3＝22x﹣2x+3=(2x−12)2+114，
所以，当x=12时，函数y取得最小值是
(2−12)2+114=5−2．
故答案为：5−2．
24．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为 [1，2] ．
【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f（0），求出x的范围．
【解答】解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，
∴a＝1，f（x）=(12)|x−1|∈（0，1]，
则由f（2x﹣2）≥f（0）=12，
结合图象可得 0≤2x﹣2≤2，求得 1≤x≤2，
故答案为：[1，2]．
25．若lga2＞1，则a的取值范围是 （1，2） ．
【分析】把不等式两边化为同底数，然后对a分类求解得答案．
【解答】解：由lga2＞1，得lga2＞lgaa，
若0＜a＜1，可得a＞2，此时a∈∅；
若a＞1，可得0＜a＜2，则1＜a＜2．
∴a的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
26．不等式3x+1＜4x+5的解集为 （﹣1，1） ．
【分析】在同一个坐标系中作出y＝3x+1和 y＝4x+5的图象，这两个图象的交点为（﹣1，1）、（1，9），数形结合可得结论．
【解答】解：如图，在同一个坐标系中作出y＝3x+1和 y＝4x+5的图象，
这两个图象的交点为（﹣1，1）、（1，9），
数形结合可得不等式3x+1＜4x+5的解集为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
27．已知不等式lg2（5﹣x）≤1，则x的解集是 [3，5） ．
【分析】将不等式不等号两边化为同底的对数，然后利用对数的单调性和定义域，列出不等式求解即可．
【解答】解：因为lg2（5﹣x）≤1，则lg2（5﹣x）≤lg22，
所以0＜5﹣x≤2，
解得3≤x＜5，
则不等式lg2（5﹣x）≤1，则x的解集是[3，5）．
故答案为：[3，5）．
28．不等式lg3x＞12(x−1)的解集为 （1，3） ．
【分析】在同一个坐标系中，画出函数y＝lg3x（红色曲线）和函数y=12（x﹣1）（蓝色直线）的图象，数形结合可得不等式的解集
【解答】解：由不等式lg3x＞12(x−1) 可得，
当x＝1时，lg3x=12（x﹣1）＝0，
当x＝3时，lg3x=12（x﹣1）＝1，
在同一个坐标系中，画出函数y＝lg3x（红色曲线）
和函数y=12（x﹣1）（蓝色直线）的图象，
数形结合可得不等式的解集为（1，3），
故答案为：（1，3）．
29．不等式lg14(5+x)＜lg14(1−x)的解集为 （﹣2，1） ．
【分析】由题意利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围．
【解答】解：不等式lg14(5+x)＜lg14(1−x)，即5+x＞1﹣x＞0，求得﹣2＜x＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
30．关于x的不等式2x2−x＞2x+3的解集为 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ．
【分析】由题意利用指数函数的单调性，求得不等式的解集．
【解答】解：由关于x的不等式2x2−x＞2x+3，可得 x2﹣x＞x+3，
求得x＜﹣1 或 x＞3，
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
三．解答题（共9小题）
31．已知函数f（x）＝lg2（1+ax）﹣lg2（1﹣x）（a＞0）是奇函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）+f（2x﹣1）≥0．
【分析】（1）根据奇函数的定义，列方程求出a的值，写出f（x）的解析式，再求它的定义域．
（2）根据f（x）的奇偶性和单调性，把不等式化为关于x的不等式，求出解集即可．
【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，
所以f(−x)+f(x)=lg21−ax1+x+lg21+ax1−x=lg21−a2x21−x2=0，
即1−a2x21−x2=1，所以（a2﹣1）x2＝0，
又因为a＞0，所以a＝1；
所以f（x）＝lg2（1+x）﹣lg2（1﹣x）．
令1+x＞01−x＞0，解得﹣1＜x＜1，
所以f（x）的定义域为（﹣1，1）．
（2）因为f（x）是奇函数，
所以f（x）+f（2x﹣1）≥0，
等价于f（2x﹣1）≥﹣f（x）＝f（﹣x），
又因为f(x)=lg21+x1−x=lg2(21−x−1)，
所以u=21−x−1在（﹣1，1）内单调递增，且y＝lg2u在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）在（﹣1，1）内单调递增，
所以f（2x﹣1）≥f（﹣x），等价于−1＜2x−1＜1−1＜−x＜12x−1≥−x，
解得13≤x＜1；
所以原不等式的解集为[13，1)．
32．求不等式lga（4﹣x）＞﹣lg1ax的解集．
【分析】分类讨论a的范围，利用对数函数的性质，求得x的范围．
【解答】解：不等式lga（4﹣x）＞﹣lg1ax，即不等式lga（4﹣x）＞lgax，
当a＞1时，4﹣x＞x＞0，求得0＜x＜2；
当a＜1时，0＜4﹣x＜x，求得2＜x＜4．
综上，不等式的解集为当a＞1时，解集为（0，2 ）；
当a＜1时，解集为（2，4）．
33．已知函数y＝f（x）＝lga（2﹣2x）﹣lga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞0．
【分析】（1）根据函数的解析式可得2﹣2x＞0，且 x+4＞0，由此求得函数的定义域．
（2）不等式即即lga（2﹣2x）＞lga（x+4），再利用对数函数的定义域和单调性，求得它的解集．
【解答】解：（1）∵函数y＝f（x）＝lga（2﹣2x）﹣lga（x+4），其中a＞1，
∴2﹣2x＞0，且 x+4＞0，求得﹣4＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣4，1）．
（2）不等式f（x）＞0，即lga（2﹣2x）＞lga（x+4），
即 2﹣2x＞x+4＞0，求得﹣4＜x＜−23，
故不等式的解集为 (−4，−23)．
34．已知函数f（x）满足f（x+1）＝lg（2+x）﹣lg（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1；
（3）判断并证明f（x）的单调性．
【分析】（1）可令t＝x+1，则x＝t﹣1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；
（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；
（3）f（x）在（﹣1，1）上为增函数．由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．
【解答】解：（1）f（x+1）＝lg（2+x）﹣lg（﹣x），
可令t＝x+1，则x＝t﹣1，可得f（t）＝lg（1+t）﹣lg（1﹣t），
即有f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x），
由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，
则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，
即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），
可得0＜1+x＜10（1﹣x），
解得﹣1＜x＜911，
则不等式的解集为（﹣1，911）；
（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]
＝lg1+m1−m−lg1+n1−n=lg1+m1−m•1−n1+n=lg1+m1+n•1−n1−m，
由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，
可得0＜1+m1+n＜1，0＜1−n1−m＜1，
则0＜1+m1+n•1−n1−m＜1，
即有lg1+m1+n•1−n1−m＜0，
则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
35．已知函数f(x)=lg2(2x+1)，
（1）求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若函数g(x)=lg2(2x−1)(x＞0)，若关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]有解，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对数函数的单调性进行求解即可．
（2）关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]有解，转化为函数有解问题，再求函数的值域即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＞1⇔lg2（2x+1）＞1，
∴2x+1＞2，即2x＞1，∴x＞0，
所以不等式的解集为{x|x＞0}．
（2）由g（x）＝m+f（x），∴m=g(x)−f(x)=lg2(1−22x+1)，
当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，
∴m∈[lg213，lg235]．
36．已知f（x）＝ln1+x1−x．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求使f（x）＞0的x的取值范围．
【分析】（1）由对数式的真数大于0求解分式不等式得答案；
（2）利用对数函数的单调性化对数不等式为分式不等式求解．
【解答】解：（1）要使函数有意义，应满足1+x1−x＞0，
∴（1+x）（1﹣x）＞0，解得﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）由f（x）＝ln1+x1−x＞0，得1+x1−x＞1，
∴1+x1−x−1＞0，得2x1−x＞0，
∴x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，
∴使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）．
37．已知f（x）＝lg2（2﹣x）﹣lg2（2+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．
【分析】（1）根据对数函数的定义，列出关于自变量x的不等式组，求出f（x）的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，判定f（x）在定义域上的奇偶性；
（3）化简f（x），根据对数函数的单调性以及定义域，求出不等式f（x）＞1的解集．
【解答】解：（1）∵f（x）＝lg2（2﹣x）﹣lg2（2+x），
∴2−x＞02+x＞0，解得﹣2＜x＜2；
∴f（x）的定义域是（﹣2，2）；
（2）∵f（﹣x）＝lg2（2+x）﹣lg2（2﹣x）
＝﹣[lg2（2﹣x）﹣lg2（2+x）]
＝﹣f（x），
∴f（x）是定义域（﹣2，2）上的奇函数；
（3）∵f（x）＝lg2（2﹣x）﹣lg2（2+x）
＝lg22−x2+x＞1，
∴−2＜x＜22−x2+x＞2，
解得﹣2＜x＜−23；
∴不等式f（x）＞1的解集是（﹣2，−23）．
38．已知函数f(x)=lg3(x2−2ax+a)的定义域是R．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2−4x−14＞1a2．
【分析】（1）由题意利用对数函数、二次函数的性质可得x2﹣2ax+a＞0恒成立，故△＝（﹣2a）2﹣4a＜0，由此求得a的范围．
（2）由题意解指数不等式、对数不等式，求得x的范围．
【解答】解：（1）由函数f(x)=lg3(x2−2ax+a)的定义域是R．
可知x2﹣2ax+a＞0恒成立．
∴△＝（﹣2a）2﹣4a＜0，∴0＜a＜1
∴a的取值范围是（0，1）．
（2）不等式即为：ax2−4x−14＞a−2，
∵a∈（0，1），∴x2﹣4x﹣14＜﹣2．
即：x2﹣4x﹣12＜0，解得﹣2＜x＜6，
∴不等式解集为（﹣2，6）．
39．已知函数f（x）＝lga（1+3x）﹣lga（1﹣3x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域，并证明f（x）的奇偶性；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
【分析】（1）由题意利用对数函数的性质，求出f（x）的定义域，并利用奇偶函数的定义判断f（x）的奇偶性．
（2）原不等式即即lga（1+3x）＞lga（1﹣3x），讨论a的范围，利用对数函数的性质以及对数函数的单调性，求得它的解集．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝lga（1+3x）﹣lga（1﹣3x）＝lga（1﹣9x2），
则有 1+3x＞01−3x＞0，解得−13＜x＜13，故函数f（x）的定义域为(−13，13)．
首先，定义域关于原点对称，又f（﹣x）＝lga（1﹣3x）﹣lga（1+3x）＝﹣[lga（1+3x）﹣lga（1﹣3x）]＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数．
（2）根据题意，lga（1+3x）﹣lga（1﹣3x）＞0，即lga（1+3x）＞lga（1﹣3x），
当a＞1时，有1+3x＞01−3x＞01+3x＞1−3x，解可得0＜x＜13，此时解集为(0，13)．
当0＜a＜1时，有1+3x＞01−3x＞01+3x＜1−3x，解可得−13＜x＜0，此时解集为(−13，0)；
故当a＞1时，不等式的解集为(0，13)；当0＜a＜1时，不等式的解集为(−13，0)．