人教版2022届一轮复习打地基练习 不等关系与不等式

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 不等关系与不等式，共15页。试卷主要包含了下列四个命题，已知bg糖水中含有ag糖，下列结论正确的是，下列不等式中恒成立的个数有等内容，欢迎下载使用。
1．已知a，b∈R，a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＞b2B．a12＞b12C．a﹣3＜b﹣3D．a13＞b13
2．下列四个命题：
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞0，c＜0，则ca＞cb
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＜b2B．ab＜b2C．ba＜abD．ac2＞bc2
4．若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．1a＜1bB．ac＜bcC．a+c＜b+cD．ac2＜bc2
5．已知bg糖水中含有ag糖（b＞a＞0），若再添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．ab＜a+mb+m
B．a+mb+m＜a+2mb+2m
C．（a+2m）（b+m）＜（a+m）（b+2m）
D．23b−1＜13a−1
6．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则1a＜1b
7．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+cD．若a＜b，则a＜b
8．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞c﹣dB．a+c＞b+dC．a﹣c＞b﹣cD．a﹣c＜a﹣d
9．已知a＝3.20.1，b＝lg25，c＝lg32，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．a＞b＞c
10．下列不等式中恒成立的个数有（ ）
①x+1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a+mb+m＞ab(a，b，m＞0，a＜b)；④|a+b|+|b﹣a|≥2a．
A．4B．3C．2D．1
11．若b＜a＜0，给出下列不等式：①1a+b＜1ab：②|a|+b＞0．③a−1a＞b−1b；④lna2＞lnb2．其中正确的不等式是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
12．已知a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是（ ）
A．|a﹣b|＜|a﹣c|+|c﹣b|B．a2+1a2≤a+1a
C．|a﹣b|+1a−b≥2D．a+3−a+1≤a+2−a
13．已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．a2＞b2B．|a|＞|b|C．sina＞sinbD．2a＞2b
二．多选题（共6小题）
14．已知a＞b＞1，下列不等式中正确的是（ ）
A．ab＜a2B．﹣b2＜﹣abC．ca＜cbD．1a−1＜1b−1
15．若实数a＜b，则下列不等关系正确的是（ ）
A．（25）b＜（25）a＜（35）a
B．若a＞1，则lgaab＞2
C．若a＞0，则b21+a＞a21+b
D．若m＞53，a，b∈（1，3），则13（a3﹣b3）﹣m（a2﹣b2）+a﹣b＞0
16．若0＜b＜a＜π2，则（ ）
A．ea+1eb−b＞eb+1ea−a
B．aeb+a＞bea+b
C．blna+a＞alnb+b
D．asinb+a＞bsina+b
17．若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．x＝yB．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0
18．已知实数a，b，c满足a＞1＞b＞c＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．aa＞bbB．lgca＜lgba
C．lgca＜acD．b12＜c12
19．已知两个不为零的实数x，y满足x＜y，则下列说法中正确的有（ ）
A．3|x﹣y|＞1B．xy＜y2C．x|x|＜y|y|D．1x＞1y
三．填空题（共7小题）
20．已知a，b为实数，则2a2+14b2+1 ab+2a．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
21．已知a＝23+lg23，b＝32+lg32，则a，b的大小关系是 ．
22．用不等号或等号填空：
（1）5+8 6+7；
（2）若a＞b＞0，则1a 1b；
（3）若a＜b＜0，则a2b ab2；
（4）设a，b∈R，则a4+b4 a3b+ab3．
23．下列两个数：a＝0.33，b＝lg30.3的大小关系是 ．
24．设a=3+22，b＝2+7，则a，b的大小关系为 ．
25．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．
26．比较大小：7−6 8−7（用＞，＜，＝连接）．
人教版2022届一轮复习打地基练习 不等关系与不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知a，b∈R，a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＞b2B．a12＞b12C．a﹣3＜b﹣3D．a13＞b13
【分析】取a＝0，b＝﹣1时，即可判断出结论．
【解答】解：取a＝0，b＝﹣1时，A，B，C都不符合，
故选：D．
2．下列四个命题：
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞0，c＜0，则ca＞cb
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由a＞|b|，利用不等式的性质可得a2＞b2；
②由a＞b，c＞d，利用不等式的性质可得a+c＞b+d，即可判断a﹣c＞b﹣d是否正确；
③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，即可判断出；
④由a＞b＞0，c＜0，利用不等式的性质可得1b＞1a＞0，﹣c＞0，于是−cb＞−ca，因此ca＞cb．
【解答】解：①∵a＞|b|，∴a2＞b2，故正确；
②∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，因此a﹣c＞b﹣d不正确；
③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，但是ac＝﹣4＜bd＝﹣3，故不正确；
④∵a＞b＞0，c＜0，∴1b＞1a＞0，﹣c＞0，
∴−cb＞−ca，∴ca＞cb，故正确．
综上可知：只有①④正确．
故选：B．
3．若a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＜b2B．ab＜b2C．ba＜abD．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】解：当a＜b＜0时，a2＞b2，故A错误，
当a＜b＜0时，ab＞b2，故B错误，
当a＜b＜0时0＜ba＜1，ab＞1，则ba＜ab成立，故C正确，
当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故D错误，
故选：C．
4．若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．1a＜1bB．ac＜bcC．a+c＜b+cD．ac2＜bc2
【分析】根据a，b，c的符号或取0值可解决此题．
【解答】解：当0＜a＜b时，A错；
当c＝0时，BD错；
根据不等式性质可知C对．
故选：C．
5．已知bg糖水中含有ag糖（b＞a＞0），若再添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．ab＜a+mb+m
B．a+mb+m＜a+2mb+2m
C．（a+2m）（b+m）＜（a+m）（b+2m）
D．23b−1＜13a−1
【分析】根据题意，用a、b、m表示加入mg糖之前之后的浓度，构造不等式即可得答案．
【解答】解：根据题意，b g糖水中有a g糖，此时糖水的浓度为ab，
若再添m g糖（m＞0），则糖水的浓度为a+mb+m，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，即ab＜a+mb+m，
故选：A．
6．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则1a＜1b
【分析】对于A、当c＜0时，不成立；对于B、当c＝0时，不成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立，从而得出正确选项．
【解答】解：A、当c＜0时，不成立；
B、当c＝0时，不成立
C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0
∴一定有a＞b．故C成立；
D、当a＞0．b＜0时，不成立；
故选：C．
7．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+cD．若a＜b，则a＜b
【分析】对于A，B举反例即可，对于C，D根据不等式的性质可判断
【解答】解：对于A：当c＝0时，不成立，
对于B：当a＝﹣2，b＝1时，则不成立，
对于C：根据不等式的基本性质可得若a＞b，c＜0，则a+c＞b+c，故C不成立，
对于D：若a＜b，则a＜b，成立，
故选：D．
8．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞c﹣dB．a+c＞b+dC．a﹣c＞b﹣cD．a﹣c＜a﹣d
【分析】根据a＞b，c＞d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．
【解答】解：∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d，a﹣c＞b﹣c，﹣c＜﹣d，a﹣c＜a﹣d，a﹣b＞c﹣d不一定成立．
故选：A．
9．已知a＝3.20.1，b＝lg25，c＝lg32，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．a＞b＞c
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵1＝3.20＜a＝3.20.1＜3.20.5＜40.5＝2，
b＝lg25＞lg24＝2，
12=lg33＜c＝lg32＜lg33＝1，
∴b＞a＞c．
故选：A．
10．下列不等式中恒成立的个数有（ ）
①x+1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a+mb+m＞ab(a，b，m＞0，a＜b)；④|a+b|+|b﹣a|≥2a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】可利用不等式的性质逐个判断，①用到均值不等式，注意均值不等式成立的条件．②用到不等式的可乘性，注意在不等式两边同乘数的正负．③用到作差法证明不等式，④用到绝对值不等式的性质．
【解答】解；①中不知道x，y的正负，不能用均值不等式，∴①错误，
②中∵a＞b＞0，∴0＜1a＜1b，∵c＞0，∴ca＜cb，∴②正确．
③可用糖水中加糖会比原来甜说明∴③正确
④时绝对值不等式的性质，∴④正确
故选：B．
11．若b＜a＜0，给出下列不等式：①1a+b＜1ab：②|a|+b＞0．③a−1a＞b−1b；④lna2＞lnb2．其中正确的不等式是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：b＜a＜0，给出下列不等式：
①1a+b＜0＜1ab，∴1a+b＜1ab，正确：
②|a|+b＜0，因此不正确．
③由已知可得：1a＜1b，∴−1a＞−1b，又a＞b，∴a−1a＞b−1b，正确；
④由已知可得：a2＜b2，可得：lna2＜lnb2，因此不正确．
其中正确的不等式是①③．
故选：C．
12．已知a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是（ ）
A．|a﹣b|＜|a﹣c|+|c﹣b|B．a2+1a2≤a+1a
C．|a﹣b|+1a−b≥2D．a+3−a+1≤a+2−a
【分析】通过举例可判断选项A、B、C错误；作差化简a+3−a+1−（a+2−a）=2a+3+a+1−2a+2+a，从而可判断a+3−a+1≤a+2−a成立．
【解答】解：当a＝1，b＝3，c＝2时，|a﹣b|＝2，|a﹣c|+|c﹣b|＝2，
故选项A错误；
当a＝2时，a2+1a2=4+14，a+1a=2+12，
故选项B错误；
当a＝1，b＝2时，|a﹣b|＝1，1a−b=−1，
故选项C错误；
∵a+3−a+1−（a+2−a）
=2a+3+a+1−2a+2+a，
∵a+3+a+1＞a+2+a＞0，
∴2a+3+a+1＜2a+2+a，
即a+3−a+1−（a+2−a）＜0，
故a+3−a+1≤a+2−a成立，
故选：D．
13．已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．a2＞b2B．|a|＞|b|C．sina＞sinbD．2a＞2b
【分析】对于A，B，C举反例即可比较，对于D，考察指数函数y＝2x的单调性即可得出．
【解答】解：对于A，当a＝0，b＝﹣1时，a2＜b2，故A不成立，
对于B，当a＝0，b＝﹣1时，不成立，
对于C，当a＝0，b＝﹣π时，sina＝sinb，故C不成立，
对于D，根据指数函数y＝2x为增函数，故2a＞2b，故成立，
故选：D．
二．多选题（共6小题）
14．已知a＞b＞1，下列不等式中正确的是（ ）
A．ab＜a2B．﹣b2＜﹣abC．ca＜cbD．1a−1＜1b−1
【分析】由不等式的基本性质，即可判断ABD，据条件取特殊值即可判断C．
【解答】解：A：∵a＞b＞1，∴a2＞ab，∴A正确，
B：∵a＞b＞1，∴ab＞b2，∴﹣ab＜﹣b2，∴B错误，
C：当a＝3，b＝2，c＝﹣6时，ca=−2，cb=−3，∴ca＞cb，∴C错误，
D：∵a＞b＞1，∴a﹣1＞b﹣1＞0，∴1a−1＜1b−1，∴D正确．
故选：AD．
15．若实数a＜b，则下列不等关系正确的是（ ）
A．（25）b＜（25）a＜（35）a
B．若a＞1，则lgaab＞2
C．若a＞0，则b21+a＞a21+b
D．若m＞53，a，b∈（1，3），则13（a3﹣b3）﹣m（a2﹣b2）+a﹣b＞0
【分析】直接利用函数的单调性，不等式的性质和作差法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：幂函数y＝xa，当a＝﹣1时，函数单调递减，所以(25)−1＞(35)−1，故A错误；
对于B：当lgaab＝lgaa+lgab＞1+1＝2，故B正确；
对于C：b21+a−a21+b=(b−a)(b2+a2+ab+a+b)(1+a)(1+b)，
由于b＞a＞0，故b21+a＞a21+b成立，故C正确；
对于D：原不等式变形为(13a3−ma2+a)−(13b3−mb2+b)＞0，
令g（x）=13x3−mx2+x，
则g′（x）＝x2﹣2mx+1，△＝4m2﹣4＞0，
g′（x）＝0，
解得：x1=m−m2−1，x2=m+m2−1
由于m＞53，
所以x1＜1，x2＞3，
所以函数g（x）在（1，3）上单调递减，
所以g（a）﹣g（b）＞0，故D正确．
故选：BCD．
16．若0＜b＜a＜π2，则（ ）
A．ea+1eb−b＞eb+1ea−a
B．aeb+a＞bea+b
C．blna+a＞alnb+b
D．asinb+a＞bsina+b
【分析】直接利用函数的关系式的变换和构造函数的应用，进一步求出函数的导数，利用函数的导数和单调区间的关系和二次求导的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：ea+1eb−b＞eb+1ea−a，整理得ea−1ea+a＞eb−1eb+b，
设f(t)=et−1et+t，
则f′(t)=et+1et+1≥2et⋅1et+1=3，故函数f（t）为增函数，
由于0＜b＜a＜π2，
所以ea−1ea+a＞eb−1eb+b，即A正确；
对于B：a•eb+a＞b•ea+b，整理得ea+1a＜eb+1b，
设f（x）=ex+1x，
所以f′(x)=(x−1)⋅ex−1x2，（x∈(0，π2)），
令h（x）＝（x﹣1）•ex﹣1，
所以h′（x）＝x•ex，
当x∈(0，π2)时，h′（x）＞0，故h（x）在x∈(0，π2)上单调递增，
故h（x）min＝h（0）＝﹣2，
所以f′（x）＞0，函数f（x）在x∈(0，π2)上单调递增，
故ea+1a＞eb+1b，故B错误；
对于C：blna+a＞alnb+b，整理得lna−1a＞lnb−1b，
设f(x)=lnx−1x，x∈(0，π2)，
所以f′(x)=−lnx+2x2，令f′(x)=−lnx+2x2=0，解得x=e2＞π2，
故函数f（x）在x∈(0，π2)上单调递增，
所以lna−1a＞lnb−1b，故C正确；
对于D：asinb+a＞bsina+b，整理得sinb+1b＞sina+1a，
设f(x)=sinx+1x，
所以f′(x)=xcsx−sinx−1x2，
设h（x）＝xcsx﹣sinx﹣1，
由于x∈(0，π2)，
故h′（x）＝﹣xsinx＜0，
所以函数h（x）在x∈(0，π2)单调递减，
故h（x）max＝h（0）＝﹣1＜0，
所以f′（x）＜0，
即函数f（x）在x∈(0，π2)上单调递减，
所以sinb+1b＞sina+1a，故D正确．
故选：ACD．
17．若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．x＝yB．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0
【分析】构造函数，做出函数图象，利用函数的性质特别注意指数函数的增长快慢．
【解答】解：若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x⇔4x+5x＝5y+4y，
设f（x）＝4x+5x，g（y）＝5y+4y，由初等函数的性质，可得f（x），g（y）都是单调递增函数，
画出函数f（x），g（y）的图象，如图所示，
f（0）＝g（0）＝1，f（1）＝g（1）＝9，
作一条直线y＝m，
①当m＜1时，y＜x＜0，所以，D选项正确，
②当m＝1或9时，x＝y＝0或x＝y＝1，所以，A选项正确，
③当1＜m＜9时，0＜x＜y＜1，所以，C选项正确，
④当m＞9时，1＜y＜x，所以，B选项不正确．
故选：ACD．
18．已知实数a，b，c满足a＞1＞b＞c＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．aa＞bbB．lgca＜lgba
C．lgca＜acD．b12＜c12
【分析】直接利用对数函数，指数函数和幂函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于实数a，b，c满足a＞1＞b＞c＞0，
所以aa＞ab＞bb，b12＞c12，
故A正确，B、D错误，
对于C：由于lgca＜0，ac＞0，
故lgca＜ac，故C正确；
故选：AC．
19．已知两个不为零的实数x，y满足x＜y，则下列说法中正确的有（ ）
A．3|x﹣y|＞1B．xy＜y2C．x|x|＜y|y|D．1x＞1y
【分析】由x＜y，得x﹣y＜0，得|x﹣y|＞0可判断A；根据y的符合可判断B；
根据x，y同正、同负、负正进行讨论可判断C；根据x负、y正可判断D．
【解答】解：由x＜y，得x﹣y＜0，得|x﹣y|＞0，∴3|x﹣y|＞1，∴A对；
当y＜0时，由x＜y，得xy＞y2，∴B错；
当x＜y时，在x，y同正、同负、负正三种情况下都会有x|x|＜y|y|，∴C对；
当x＜y，其中x＜0，y＞0时，D错．
故选：AC．
三．填空题（共7小题）
20．已知a，b为实数，则2a2+14b2+1 ≥ ab+2a．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
【分析】根据不等式a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号），即可得出a2+14b2≥ab，a2+1≥2a（当且仅当a=12b=1时取等号），这样即可得出答案．
【解答】解：∵a2+14b2=a2+(12b)2≥ab，当且仅当a=12b时取等号；
a2+1≥2a，当且仅当a＝1时取等号；
∴2a2+14b2+1=(a2+14b2)+(a2+1)≥ab+2a，当且仅当a=12b=1时取等号．
故答案为：≥．
21．已知a＝23+lg23，b＝32+lg32，则a，b的大小关系是 a＞b ．
【分析】对a，b进行化简即可比较大小．
【解答】解：a＝23+lg23=23×2lg23=8×3＝24，
b＝32+lg32=32×3lg32=9×2＝18，
所以a＞b．
故答案为：a＞b．
22．用不等号或等号填空：
（1）5+8 ＜ 6+7；
（2）若a＞b＞0，则1a ＜ 1b；
（3）若a＜b＜0，则a2b ＜ ab2；
（4）设a，b∈R，则a4+b4 ≥ a3b+ab3．
【分析】根据分析法、不等式的性质及作差法解答即可．
【解答】解：对于（1），（5+8）2＝13+240，（6+7）2＝13+242，
因为13+240＜13+242，所以5+8＜6+7；
对于（2），若a＞b＞0，则1a＜1b；
对于（3），若a＜b＜0，则ab＞0，所以a2b＜ab2；
对于（4），a4+b4﹣（a3b+ab3）＝a3（a﹣b）﹣b3（a﹣b）＝（a﹣b）（a3﹣b3）＝（a﹣b）2（a2+ab+b2），
∵（a﹣b）2≥0，a2+ab+b2＝（a+12b）2+34b2≥0，
∴a4+b4≥a3b+ab3．
故答案为：＜；＜；＜；≥．
23．下列两个数：a＝0.33，b＝lg30.3的大小关系是 a＞b ．
【分析】利用中间值0即可判断大小．
【解答】解：a＝0.33＞0，b＝lg30.3＜lg31＝0，
所以a＞b．
故答案为：a＞b．
24．设a=3+22，b＝2+7，则a，b的大小关系为 a＜b ．
【分析】先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．
【解答】解：∵a=3+22，b＝2+7，
∴a2=11+46，b2=11+47
∴a、b的大小关系为a＜b；
故答案为 a＜b．
25．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： x+ba+x＞ba（a＞b＞0） ．
【分析】利用糖水的浓度可得x+ba+x＞ba（a＞b＞0）即可．
【解答】解：由a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0）可得糖水的浓度为ba×100%；
在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为x+ba+x×100%．
∵糖水变甜了，于是可得x+ba+x×100%＞ba×100%；
化为x+ba+x＞ba（a＞b＞0）．
故答案为x+ba+x＞ba（a＞b＞0）．
26．比较大小：7−6 ＞ 8−7（用＞，＜，＝连接）．
【分析】把比较大小的两数作下面转化：7−6=17+6，8−7=18+7可解决问题．
【解答】解：把比较大小的两数作下面转化：7−6=17+6，8−7=18+7，
∵0＜7+6＜8+7，∴17+6＞18+7，∴7−6＞8−7．
故答案为：＞．