八年级上册12.1 幂的运算综合与测试教学设计

这是一份八年级上册12.1 幂的运算综合与测试教学设计，共10页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

12.1　幂的运算
1　同底数幂的乘法(第1课时)

一、基本目标
理解并掌握同底数幂的乘法法则，并能进行相关计算．
二、重难点目标
【教学重点】
同底数幂的乘法法则．
【教学难点】
同底数幂的乘法法则的推导及应用．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把下列式子化成同底数幂．
(－a)2＝a2；(－a)3＝－a3；(x－y)2 _＝_(y－x)2；(x－y)3＝ __－__(y－x)3.
2．根据乘法的意义填空：
(1)23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝27；
53×54＝(5×5×5)×(5×5×5×5)＝57;_
a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a7；
(2)同底数幂的乘法法则：am·an＝ am＋n (m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，_底数_不变，_指数_相加．
(3)推广：am·an·ap＝am＋n＋p(m、n、p都是正整数)．
3．计算：
(1)103×104；　　　(2)a·a3.
解：(1)原式＝103＋4＝107.
(2)原式＝a1＋3＝a4.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：(1)－a3·(－a)2·(－a)3;
(2)10 000×10m×10m＋3；
(3)mn＋1·mn·m2·m；
(4)(x－y)2·(y－x)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算．
【解答】(1)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8.
(2)原式＝104×10m×10m＋3＝104＋m＋m＋3＝107＋2m.
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
(4)原式＝(y－x)2·(y－x)5＝(y－x)7.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1；(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．下列算式中，结果等于x6的是(　A　)
A．x2·x2·x2 B．x2＋x2＋x2
C．x2·x3 D．x4＋x2
2．如果32×27＝3n，那么n的值为(　C　)
A．6 B．1
C．5 D．8
3．若am＝3，an＝4，则am＋n＝12_.
教师指导：am＋n＝am·an＝3×4＝12.
4．计算：
(1)－a3·a4；　　　(2)100·10m＋1·10m－3；
(3)(－x)4(－x2)(－x)3.
解：(1)－a3·a4＝－a3＋4＝－a7.
(2)100·10m＋1·10m－3＝102·10m＋1·10m－3＝102＋(m＋1)＋(m－3)＝102m.
(3)(－x)4·(－x2)·(－x)3＝x4·(－x2)·(－x3)＝x4·x2·x3＝x4＋2＋3＝x9.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，等式的左边等于多少？a、b之间有什么关系？
【解答】∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，
∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)


请完成本课时对应练习！

2　幂的乘方(第2课时)

一、基本目标
1．理解幂的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义．
2．通过推理得出幂的乘方法则，并掌握该法则．
二、重难点目标
【教学重点】
幂的乘方法则．
【教学难点】
幂的乘方法则的推导及应用．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P19～P20的内容，完成下面练．
【3 min反馈】
1．乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘；(32)3的意义：3个32相乘．
(1)根据幂的意义解答：
(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)
＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)
＝32×3.
(am)2＝am·am＝a2m(根据am·an＝am＋n)．
(am)n＝am·am·…·am(幂的意义)
＝am＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)
＝amn(乘法的意义)．
(2)幂的乘方法则：(am)n＝amn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．计算：
(1)(103)5；　 (2)(b3)4；　 (3)(xn)3；
(4)－(x7)7.
解：(1)1015.　(2)b12. (3)x3n.　(4)－x49.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)(－24)3；　　　　(2)(xm－1)2；
(3)[(24)3]3; (4)(－a5)2＋(－a2)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．
【解答】(1)原式＝－212.
(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.
(3)原式＝24×3×3＝236.
(4)原式＝a10－a10＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆；(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式；(3)幂的乘方的推广：
((am)n)p＝amnp(m、n、p都是正整数)．
【例2】若92n＝38，求n的值．
【互动总结】(引发学生思考)比较等式两边底数的关系→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．
【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38.
∴4n＝8.解得n＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
【例3】已知ax＝3，ay＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．
【互动探索】(引发学生思考)对a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．
【解答】a3x＋2y＝a3x·a2y＝(ax)3·(ay)2＝33×42＝27×16＝432.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用amn＝(am)n＝(an)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．计算(－a3)2的结果是(　A　)
A．a6 B．－a6
C．－a5 D．a5
2．下列运算正确的是(　B　)
A．(x3)2＝x5 B．(－x)5＝－x5
C．x3·x2＝x6 D．3x2＋2x3＝5x5
3．当n为奇数时，(－a2)n＋(－an)2＝_0_.
4．计算：
(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；
(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.
解：(1)0.　(2)3x16.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例4】请看下面的解题过程
比较2100与375的大小．
解：∵2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27，
∴2100＜375.
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．
【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，比较底数的大小来比较所求两个数的大小．
【解答】∵3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125，
∴35＞53，∴3100＞560.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)


请完成本课时对应练习！

3　积的乘方(第3课时)

一、基本目标
1．理解积的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义．
2．通过推理得出积的乘方法则，并掌握该法则．
二、重难点目标
【教学重点】
积的乘方法则．
【教学难点】
积的乘方法则的推导及应用．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．下列各式正确的是(　D　)
A．(a5)3＝a8 B．a2·a3＝a6
C．x2＋x3＝x5 D．a2·a2＝a4
2．(1)填空：(2×5)3＝103,23×53＝103，(－2×5)3＝－103，(－2)3×53＝－103.

(2)积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方_，再把所得的幂_相乘．
推广：(abc)n＝anbncn(n是正整数)．
3．计算：
(1)(3a2)n；　(2)(－2xy)4；　 (3)(a2)3·(a3)2.
解：(1)3na2n.　　(2)16x4y4.　(3)a12.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算(1)(x4·y2)3；
(2)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2；
(4)2017×2018；
(5)0.12515×(23)15.
【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．
【解答】(1)原式＝x12y6.
(2)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
(3)原式＝(27a6＋9a6)2＝(36a6)2＝1296a12.
(4)原式＝2017×＝1×＝.
(5)原式＝15×(8)15＝15＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)按先乘方再乘除后加减的运算顺序；(4)(5)反用(ab)n＝anbn可使计算简便．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．(x2y)2的结果是(　B　)
A．x6y B．x4y2
C．x5y D．x5y2
2．(am)m·(am)2不等于(　C　)
A．(am＋2)m B．(am·a2)m
C．am2＋m2 D．(am)3·(am－1)m
3．am＝2，an＝3，a2m＋3n＝108_.
4．计算：
(1)－4xy2·2·(－2x2)3;
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3；
(3)2017×2018.
解：(1)8x9y6.　(2)0.　 (3).
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？
【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算．
【解答】∵R＝6×105千米，
∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．
即它的体积大约是8.64×1017立方千米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)　
1．在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．
2．公式(ab)n＝anbn(n为正整数)的逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数)．

请完成本课时对应练习！

4　同底数幂的除法(第4课时)

一、基本目标
理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练地进行计算．
二、重难点目标
【教学重点】
同底数幂的除法法则．
【教学难点】
同底数幂的除法法则的推导．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P22～P23的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用你熟悉的方法计算：
(1)23·22＝25,25÷22＝23；
(2)104·103＝107,107÷103＝104；
(3)a4·a3＝a7，a7÷a3＝a4_；
(4)从(1)～(3)运算中归纳出同底数幂的除法法则：
am÷an＝am－n(a≠0，m、n为正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．.计算：
(1)a5÷a3；　(2)(－x)7÷(－x)2；
(3)(x3)9÷x5.
解：(1)原式＝a5－3＝a2.
(2)原式＝＝(－x)7－2＝(－x)5＝－x5.
(3)原式＝＝x27÷x5＝x27－5＝x22.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)x12÷x3；
(2)(x3)2÷x2÷x；
(3)(a2＋1)8÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【互动探索】(引发学生思考)各式的底数是多少？指数是多少？根据同底数幂的除法法则计算．
【解答】(1)x12÷x3＝x12－3＝x9.
(2)(x3)2÷x2÷x＝x6÷x2÷x＝x6－2－1＝x3.
(3)(a2＋1)8÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)8－4－2＝(a2＋1)2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．下列各式计算的结果正确的是(　C　)
A．a4÷(－a)2＝－a2 　　 B．a3÷a3＝0
C．(－a)4÷(－a)2＝a2 　　 D．a6÷a4＝a
2．下列计算的结果为x8的是(　A　)
A．x·x7 B．x16－x2
C．x16÷x2 D．(x4)4
3．m5÷m2＝m3；(－4)4÷(－4)2＝16;_a3·am·am＋1＝a2m＋4.
4．若3x＝10,3y＝5，则32x－y＝_20_.
教师指导：32x－y＝32x÷3y＝(3x)2÷3y＝100÷5＝20.
5．计算：
(1)x3÷x2；　 　(2)(－x)7÷(－x)；
(3)62m＋1÷6m；
(4)(x－y)9÷(y－x)4÷(x－y)2.
解：(1)x.　(2)x6.　(3)6m＋1.　(4)(x－y)3.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【互动探索】要求am－n－1的值，观察已知式子，看它们之间有什么联系？
【解答】∵am＝4，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)


请完成本课时对应练习！