初中数学华师大版八年级上册13.4 尺规作图综合与测试教学设计及反思

13.4　尺规作图

1～3　作线段、角、角平分线(第1课时)

一、基本目标

使学生了解尺规作图的含义，学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、已知角的平分线．

二、重难点目标

【教学重点】

用尺规作图作一条线段等于已知线线、一个角等于已知角、已知角的平分线．

【教学难点】

用尺规作图作已知角的平分线．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．尺规作图是指(　C　)

A．用量角器和刻度尺作图

B．用圆规和有刻度的直尺作图

C．用圆规和无刻度的直尺作图

D．用量角器和无刻度的直尺作图

2．下列作图语句正确的是(　B　)

A．作射线AB，使AB＝a

B．作∠AOB＝∠α

C．延长直线AB到点C，使AC＝BC

D．以点O为圆心作弧

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生对学)

1．作一条线段等于已知线段

讨论1：已知MN为已知线段，你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗？

作图步骤：

(1)画一条射线AC；

(2)以点A为端点，在射线上用圆规截取AC＝MN.

线段AC即为所求．

2．作一个角等于已知角

讨论2：这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法，你能用所学的知识说明为什么∠A′O′B′＝∠AOB吗？

【教师点拨】因为OC＝OC′，OD＝OD′，CD＝ C′D′，所以△ODC≌△O′D′C′(S.S.S.)，所以∠A′O′B′＝∠AOB.

3．作已知角的平分线

讨论3：如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．

作图步骤：

第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；

第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；

第三步：作射线OC.

射线OC就是所求作的∠AOB的平分线．

【教师点拨】OC就是所求作的∠AOB的平分线的证明过程见教材P87.

讨论4：想想看，如何将∠AOB四等分？

【教师点拨】在讨论3的基础上，再按上述作角平分线的方法分别作出∠COB、∠AOC的平分线OG、OH，即可将∠AOB四等分．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG，交BC边于点D.

则∠ADC的度数为(　C　)

A．30° B．50°

C．60° D．70°

2．如图，以∠AOB的顶点为圆心，取适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连结CD.下列说法错误的是(　B　)

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．O、E两点关于CD所在直线对称

C．△COD是等腰三角形

D．C、D两点关于OE所在直线对称

3．完成教材P86“练习”第1～2题．

略

4. 完成教材P88“练习”第1～2题．

略

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

4～5　作直线的垂线、线段的垂直平分线(第2课时)

一、基本目标

进一步了解尺规作图的含义，学会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线．

二、重难点目标

【教学重点】

用尺规作图作直线的垂线、线段的垂直平分线．

【教学难点】

用尺规作图作线段的垂直平分线．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P88～P90的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．下列作图语言规范的是(　D　)

A．过点P作线段AB的中垂线

B．过点P作∠AOB的平分线

C．在直线AB的延长线上取一点C，使AB＝AC

D．过点P作直线AB的垂线

2．阅读下面材料：

数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB上一点C.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

小艾的作法如下：

如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；

(2)分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；

(3)作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线．

老师表扬了小艾的作法是对的．

请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

1．经过一已知点作已知直线的垂线

已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上，点在直线外，因此要分别作这两种情况下已知直线的垂线．

 (1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线．

讨论1：已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．

作图步骤：如图，由于点C在直线AB上，因此所作的垂线正好是平角ACB的平分线．

第一步：作平角ACB的平分线；

第二步：反向延长射线CD.

直线CD就是要求作的垂线．

(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线．

讨论2：已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．

作图步骤：如图，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形．由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知，只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线．

讨论3：你能说说讨论2中为什么“只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线”吗？

【教师点拨】等腰三角形“三线合一”的性质．

2．作已知线段的垂直平分线

讨论4：如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴，对l上的任意两点C、D，通过对折可以发现，总有CA＝CB，DA＝DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？

【教师点拨】见教材P90“试一试”．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，依下列步骤尺规作图，并保留痕迹．

步骤1：以B为圆心，BA长为半径画弧；

步骤2：以C为圆心，CA为半径画弧，交前弧交于点D；

步骤3：连结AD，交BC于点E.

下列叙述不正确的是(　B　)

A．BC垂直平分AD B．AD平分∠BAC

C．∠B＝∠CAE D．∠C＝∠BAE

2．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(　B　)

3. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C.

(1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D：(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求证：AD＝BC.

(1)解：如图，OB即为所求．

(2)证明：∵AE∥BF，

∴∠EAC＝∠BCA.

∵AC平分∠BAE，

∴∠EAC＝∠BAC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴BA＝BC.

∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，

∴AB＝AD，

∴AD＝BC.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点(不与A、C重合)．

(1)用直尺和圆规作DE⊥BC于点E，延长ED交BA的延长线于点F；(保留作图痕迹，不写画法)

(2)判断△ADF的形状并加以证明．

【互动探索】根据经过已知直线外一点作已知直线垂线的方法作图，再判断△ADF的形状．

【解答】(1)如图所示，点E、F即为所求．

(2)△ADF为等腰三角形．理由如下：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵FE⊥BC，

∴∠FEC＝∠FEB＝90°，

∴∠BFE＋∠B＝90°，∠EDC＋∠ACB＝90°.

∵∠ADF＝∠EDC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠AFD＝∠ADF，

∴AF＝AD，

∴△ADF为等腰三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！