安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（文）【试卷+答案】

2021-2022学年高三年级上学期第二次月考试卷

文科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. “”是“函数在上单调递增”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 复数的实数与虚部分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 已知点，，向量，若，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

5. 在确定“”代表无限次重复的值时，可采用如下方法：令，则，于是可得；类比上述方法，不难得到“”代表无限次重复的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图、所示．你能根据图象判断下列说法错误的是
                 
   图的建议为减少运营成本图的建议可能是提高票价
   图的建议为减少运营成本图的建议可能是提高票价

A.  B.  C.  D.

7. 若函数，当时，恒成立，则的取值范围

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则

A.  B.  C.  D.

9. 我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数，当时，取得最小值，则

A.  B.  C.  D.

11. 下列关于函数的表述正确的是   

A. 函数的最小正周期是
B. 当时，函数取得最大值
C. 函数是奇函数
D. 函数的值域为

12. 统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的次方成正比例如：大图形是小图形的倍，眼睛感觉到的只有约倍观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的倍，那么这个国家的实际面积大约是该县面积的

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

二、单空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知数列满足，则的值为______ ．
14. 设是定义在上的奇函数且，，则______．
15. 函数的一条对称轴方程是，则的值为______．
16. 给出下列四个命题：
    若，，那么；已知、、都是正数，并且，则；若、，则；函数的最大值是其中正确命题的序号是______把你认为正确命题的序号都填上

三、解答题（本大题共6小题，17小题10分，其它小题各12分，共70分）

17. 已知数列满足，为等差数列，且公差为．

求数列的通项公式

若，求数列的前项和．

 

18. 已知函数的部分图象如图所示．
    Ⅰ求；
    Ⅱ求函数的最小正周期和单调递增区间；
    Ⅲ设点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，求的值．
     

19. 已知平面向量，，定义函数．
    Ⅰ求函数的值域；
    Ⅱ若函数图象上的两点、的横坐标分别为和，为坐标原点，求的面积．
    
    
     
20. 已知函数．
    若，求函数在处的切线方程；
    若函数在上为增函数，求的取值范围；
    若，讨论方程的解的个数，并说明理由．
    
    
     
21. 已知函数，在处取得极小值．
    求函数的解析式；
    求函数的极值；
    设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
    
     
22. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府决定将一扇形如图荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域阴影部分改造为景观绿地种植各种花草已知该扇形的半径为米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设．

若矩形是正方形，求的值；

为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和宽度不计，使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．
 

答案和解析

1.

解析：由中的不等式变形得：，
得到：或，即，
全集，，
由中的不等式变形得：，即，
，
则．故选：．
2.

解析：因为“函数在上单调递增”，
可得，
又因为，，
所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件．故选：．
3.

解析：，
复数的实数与虚部分别为，．故选：．
4.

解析点，，向量，
，
，
，
解得．故选：． 

5.

解析：由题意令，则，
故，解得或，
，
，舍去．
故选：．
6.

解析：根据题意和图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是但是支出变少了，
说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，票价提高了，
说明了此建议是提高票价而保持成本不变，
综上可得正确，错误．故选：．  

7.

解析：依题意，当时，恒成立，
令，则，又，
在上单调递减，
．故选：．
8.

解析：，，
又是奇函数，所以，
，
，
则函数的周期是，
是定义在上的奇函数，
，
又当时，，且，
，
，
两式联立可解得，，
当时，，
，，，，
，
．故选：．
9.

解：函数的定义域为，且满足，
为奇函数，
当时，，故排除，
当时，，故排除，故选C．

10.

解析：，
，


，
当且仅当时取等号． 
，，
．故选：．

11.

解答：函数的最小正周期是，故A错误；
B.当时，函数，故B错误；
C.，函数是偶函数，故C错误；
D.因为，故函数的值域为，故D正确．故选D．  

12.

解析：设这个国家的实际面积大约是该县面积的倍，
若眼睛感觉全国面积约为某县面积的倍，则，
解得：，，
，
，
故选：．

13.

解析：已知数列满足，
可得，，，，故此数列具有周期性，且周期为．
由于，，故答案为．
14.

解析：是定义在上的奇函数
．
由，可得：，
是周期为的周期函数，
．故答案为：．
15.

解析：函数的一条对称轴是，
所以，且，
所以；故答案为：．
16.

解析：，，
且
所以，故不正确；
对于，
，，，
，故，正确；
对于，，
对任意、，都有，故正确；
对于，，
且，得或，
的值域为，
所以函数没有最大值，故不正确．故答案为：
17.解：由题意得：，
故．

由知，
设，其前项和为，

则，

，

得：
，

，

设，其前项和为，则，

故．

18.解：Ⅰ，
所以；
Ⅱ由周期的计算公式可得，的最小正周期为，
令，
解得，
所以的单调递增区间为，；
Ⅲ由题意可得，，
由点的纵坐标为，
所以．

19.解：Ⅰ依题意得函数，
的值域为．
 Ⅱ由Ⅰ知，，，，
从而、，，，，
根据余弦定理得，．
的面积为．
 

20.解：时，，
，
，
又，
函数在处的切线方程为：
，
函数在上为增函数，
则在恒成立，
即在恒成立，
故，
经检验，符合题意，
；
，
时，在上恒成立，
在是增函数，
取，，
由，，
得时，方程有唯一解，
时，，
在递减，在递增，
，
时，，此时方程无解，
时，，方程有唯一解，
时，，方程有个解，
综上：时，无解，
或时，有唯一解，
时，有个解．
 

21.函数的解析式为；时，函数有极小值；当时，函数有极大值；的取值范围是．

解析：根据函数在极值处导函数为，极小值为联立方程组即可求得，；由求得函数解析式，对函数求导且让导函数为，即可求得极大值和极小值；依题意只需即可，当时，函数有最小值，即对任意总存在，使得的最小值不大于；而，分、、三种情况讨论即可．
试题解析：函数在处取得极小值，分
又
由式得或，但显然不合题意，代入式得
分
经检验，当时，函数在处取得极小值
函数的解析式为分
函数的定义域为且由有
令，解得：
当变化时，的变化情况如下表：

时，函数有极小值；当时，函数有极大值分
依题意只需即可．
函数在时，；在时，且
由知函数的大致图象如图所示：

当时，函数有最小值分
又对任意总存在，使得当时，的最小值不大于
又
当时，的最小值为得；
当时，的最小值为得；
当时，的最小值为得或
又此时不存在
综上所述，的取值范围是分
考点：导数的应用、函数思想、分类讨论思想．
 

22.解：在中，，
在中，  ，
 ，
所以，
因为矩形是正方形，
，
所以，
所以，
所以 ．

因为，
所以，
即
因为 ，
所以当 ，即时，最大，
此时是的中点．