内蒙古赤峰第八中学2020-2021学年上学期10月月考九年级数学【试卷+答案】

这是一份内蒙古赤峰第八中学2020-2021学年上学期10月月考九年级数学【试卷+答案】，共22页。试卷主要包含了对于抛物线y＝﹣，一学生推铅球，铅球行进高度y等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年内蒙古赤峰八中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一.选择题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x﹣2）＝0
C．x2++1＝0 D．2（x﹣1）2＝2x2﹣x
2．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
4．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
6．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）
A．16 B．﹣4 C．4 D．8
7．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值为（　　）
A．2009 B．2012 C．2011 D．2010
8．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1，最小值是5
B．对称轴是直线x＝1，最大值是5
C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是5
D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是5
9．一学生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球落地水平距离为（　　）
A．m B．3m C．10m D．12m
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．定义一种新运算：a※b＝a（a﹣b），例如4※3＝4×（4﹣3）＝4，若x※2＝3，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或1 D．3或﹣1
12．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题
15．当m≠　 　时，函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．
16．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为　 　．
17．如图，是一座抛物线形拱桥，当拱顶距水面距离为2m时，水面宽度为4m，当水面下降1m时，水面宽度为 　 　m．

18．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，则（a+3）（b+3）＝　 　．
三、解答题
19．解下列方程．
（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（2）2x2+x﹣6＝0．
20．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
21．已知二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（1，0），C（0.3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）求此函数的顶点坐标和对称轴；
（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
22．如图，某农户要建一个矩形菜园，菜园的一边用12m的院墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为出入方便，在垂直于院墙的一边留一个1m宽的门，长和宽为多少时菜园的面积为80m2？

23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低1元，每天多售出5件，但要求销售单价不低于成本价．设每件工艺品的销售单价为x元，每天销量为y件．
（1）写出y与x的关系式及自变量的取值范围．
（2）若每天的利润为w元，当销售单价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？
24．阅读理解
解方程：x3﹣x＝0
x（x2﹣1）＝0
x（x+1）（x﹣1）＝0
x＝0，x+1＝0，x﹣1＝0
x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1
（1）解方程：4x3﹣4x2+x＝0；
（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0；
（3）方程：（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为 　 　．
25．如图a，抛物线y＝ax2+bx+c，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．当x＝﹣1，抛物线有最大值4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图b，设点Q是线段AC上的动点，作DQ⊥x轴交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值；
（3）若点P在抛物线上，且S△AOP＝2S△BOC，请直接写出符合条件的点P的坐标．


26．探究题
探究1：如图甲，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF与BD之间的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　；
探究2：如图乙，当点D运动到线段BC的延长线上时，其余条件不变，探究1中的两个结论是否仍然成立？请写出证明过程．




参考答案
一.选择题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x（x﹣2）＝0
C．x2++1＝0 D．2（x﹣1）2＝2x2﹣x
【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程．根据定义即可求解．
解：A．ax2+bx+c＝0中，a＝0时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
B．x（x﹣2）＝0可化为x2﹣2x＝0，是一元二次方程，符合题意；
C．x2++1＝0，不是整式方程，不符合题意；
D.2（x﹣1）2＝2x2﹣x，可化为﹣4x+2＝﹣x，是一元一次方程，不符合题意；
故选：B．
2．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
故选：B．
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值．
解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，
∴12+m﹣2＝0，即m﹣1＝0，
解得 m＝1．
故选：C．
4．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．
解：依题意得Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）
＝41＞0，
∴方程有两不相等的实数根．
故选：A．
5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
6．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）
A．16 B．﹣4 C．4 D．8
【分析】根据抛物线的顶点在x轴上，得＝0，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，c＝16．
故选：A．
7．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值为（　　）
A．2009 B．2012 C．2011 D．2010
【分析】由抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2﹣m的值，代入所求式子即可求出值．
解：∵物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），
∴将x＝m，y＝0代入抛物线解析式得：m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
则m2﹣m+2011＝1+2011＝2012．
故选：B．
8．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1，最小值是5
B．对称轴是直线x＝1，最大值是5
C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是5
D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是5
【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标进行判断即可．
解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象，开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，5），函数有最大值是5，
故选：B．
9．一学生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球落地水平距离为（　　）
A．m B．3m C．10m D．12m
【分析】铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值．
解：令函数式y＝﹣x2+x+中，y＝0，
即﹣x2+x+＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故选：C．
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设这种植物每个枝干长出x个小分支，根据主干、枝干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
11．定义一种新运算：a※b＝a（a﹣b），例如4※3＝4×（4﹣3）＝4，若x※2＝3，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或1 D．3或﹣1
【分析】根据题意，可得：x（x﹣2）＝3，所以x2﹣2x﹣3＝0，所以（x﹣3）（x+1）＝0，所以x﹣3＝0或x+1＝0，据此求出x的值即可．
解：∵a※b＝a（a﹣b），x※2＝3，
∴x（x﹣2）＝3，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x＝3或﹣1．
故选：D．
12．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．
解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；

解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据图象得出a＞0，b＝2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x＝2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．
解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b＝2a﹣2a＝0，∴②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
故选：C．
二．填空题
15．当m≠　1　时，函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．
【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
解：∵函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得m≠1．
故答案为：m≠1．
16．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为　8100×（1﹣x）2＝7600　．
【分析】该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：
8100×（1﹣x）2＝7600，
故答案为：8100×（1﹣x）2＝7600．
17．如图，是一座抛物线形拱桥，当拱顶距水面距离为2m时，水面宽度为4m，当水面下降1m时，水面宽度为 　2　m．

【分析】根据图象建立平面直角坐标系，求出函数解析式，然后将y＝﹣1代入解析式求解．
解：如图，建立平面直角坐标系，抛物线顶点C坐标为（0，2），AB＝4，
则点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），

设抛物线解析式为y＝ax2+2，
将（2，0）代入y＝ax2+2得0＝4a+2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2，
把y＝﹣1代入y＝﹣x2+2得﹣1＝﹣x2+2，
解得x＝±，
∴水面宽度为2米．
故答案为：2．
18．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，则（a+3）（b+3）＝　　．
【分析】由方程根与系数的关系可求得a+b＝，ab＝﹣，再把（a+3）（b+3）化为ab+3（a+b）+9代入可求得答案．
解：∵一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，
∴a+b＝，ab＝﹣，
∴（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9＝﹣+3×+9＝，
故答案为：．
三、解答题
19．解下列方程．
（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（2）2x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2．
（2）2x2+x﹣6＝0，
（x+2）（2x﹣3）＝0，
则x+2＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝．
20．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，进而可得[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解不等式即可；
（2）根据（1）中所计算的m的取值范围，确定出m的值，再把m的值代入方程，解方程即可．
解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即：[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0
解得m＞﹣；

（2）∵m＞﹣，
∴取m＝0，
方程为x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
21．已知二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（1，0），C（0.3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）求此函数的顶点坐标和对称轴；
（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3），可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；
（3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当y≤0时，x的取值范围．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标是（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
该函数图象如右图所示；

（3）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．
22．如图，某农户要建一个矩形菜园，菜园的一边用12m的院墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为出入方便，在垂直于院墙的一边留一个1m宽的门，长和宽为多少时菜园的面积为80m2？

【分析】设矩形菜园垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形菜园垂直于住房墙一边长为xm，则得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得：
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：长为10m、宽为8m时菜园的面积为80m2．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低1元，每天多售出5件，但要求销售单价不低于成本价．设每件工艺品的销售单价为x元，每天销量为y件．
（1）写出y与x的关系式及自变量的取值范围．
（2）若每天的利润为w元，当销售单价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，每天多售出5件可列出y与x的关系式．
（2）由w＝（x﹣50）y可得函数解析式，然后将其配方整理为顶点式求解．
解：（1）由题得y＝50+5（100﹣x）＝﹣5x+550，
∴y＝﹣5x+550（50≤x≤100）．
（2）∵w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∴x＝50时，w取最大值为4500．
即当销售单价为80元时，每天利润最大为4500元．
24．阅读理解
解方程：x3﹣x＝0
x（x2﹣1）＝0
x（x+1）（x﹣1）＝0
x＝0，x+1＝0，x﹣1＝0
x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1
（1）解方程：4x3﹣4x2+x＝0；
（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0；
（3）方程：（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为 　x1＝，x2＝　．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
解：（1）4x3﹣4x2+x＝0，
x（4x2﹣4x+1）＝0，
x（2x﹣1）2＝0，
x＝0或（2x﹣1）2＝0，
解得：x1＝0，x2＝x3＝；
（2）（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0，
（x2﹣x）（x2﹣x﹣3）＝0，
x2﹣x＝0，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝，x4＝；
（3）（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0，
整理得：（2x2﹣x）2﹣4＝0，
∴2x2﹣x﹣2＝0，2x2﹣x+2＝0，
解方程2x2﹣x﹣2＝0得：x1＝，x2＝；
方程2x2﹣x+2＝0中△＝﹣15＜0，此方程无解，
所以原方程的解为：x1＝，x2＝；
故答案为：x1＝，x2＝．
25．如图a，抛物线y＝ax2+bx+c，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．当x＝﹣1，抛物线有最大值4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图b，设点Q是线段AC上的动点，作DQ⊥x轴交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值；
（3）若点P在抛物线上，且S△AOP＝2S△BOC，请直接写出符合条件的点P的坐标．


【分析】（1）根据当x＝﹣1，抛物线有最大值4，可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），因此在用待定系数法求函数的解析式时，应设为顶点式，再将C（0，3）代入该顶点式，求出待定系数的值即可；
（2）先用待定系数法求直线AC的解析式，再设点Q的横坐标为x，且用含x的代数式分别表示点Q、点D的纵坐标以及线段DQ的长度，再根据二次函数的性质求线段DQ长度的最大值；
（3）设点P的横坐标为x，再用含x的代数式表示点P的纵坐标，△AOP的边OA上的高为点P的纵坐标的绝对值，根据S△AOP＝2S△BOC列方程求出x的值及点P的坐标即可．
解：（1）∵当x＝﹣1，抛物线有最大值4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，
把C（0，3）代入y＝a（x+1）2+4，
得a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，当y＝0时，由0＝﹣x2﹣2x+3得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+3，把A（﹣3，0）代入y＝kx+3，
得﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴y＝x+3，
设点Q的横坐标为x（﹣3≤x≤0），则Q（x，x+3），D（x，﹣x2﹣2x+3），
∴DQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∵DQ＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，且﹣1＜0，﹣3＜﹣＜0，
∴当x＝﹣时，DQ最大＝，
∴线段DQ长度的最大值是．
（3）如图2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∵∠BOC＝90°，OB＝1，OC＝3，
∴S△BOC＝×1×3＝，
∵S△AOP＝2S△BOC＝，且OA＝3，△AOP的边OA上的高为|﹣x2﹣2x+3|，
∴×3|﹣x2﹣2x+3|＝2×，
解得x1＝，x2＝，x3＝，x4＝，
∴P1（，2），P2（，2），P3（，2），P4（，2）．


26．探究题
探究1：如图甲，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF与BD之间的位置关系为 　CF⊥BD　，数量关系为 　CF＝BD　；
探究2：如图乙，当点D运动到线段BC的延长线上时，其余条件不变，探究1中的两个结论是否仍然成立？请写出证明过程．


【分析】探究1：由“SAS”可证△BAD≌△CAF，可得CF＝BD，∠B＝∠ACF，由余角的性质可得∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；
探究2：结论不变．证明方法与探究1类似．
解：探究1：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠CAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；
探究2：探究1中的两条结论仍然成立．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．