第18讲-同角函数基本关系与诱导公式（讲义版）学案

这是一份第18讲-同角函数基本关系与诱导公式（讲义版）学案，共9页。
第18讲-同角函数基本关系与诱导公式一、                       考情分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用定义推导出诱导公式.二、                       知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__α cos__α －cos__α sin__α－sin__α 正切tan αtan__α－tan__α－tan__α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限[微点提醒]1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、                       经典例题考点一　同角三角函数基本关系式　角度1　公式的直接运用【例1－1】已知α∈，且sin α＝－，则cos α＝(　　)A.－   B.   C.±   D.【解析】　因为α∈，且sin α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos α＝－＝－＝－.角度2　关于sin α，cos α的齐次式问题【例1－2】 已知＝－1，求下列各式的值.(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.【解析】　由已知得tan α＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系【例1－3】 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.(1)求sin x－cos x的值；(2)求的值.【解析】　(1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，所以cos x>0，则sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.(2)＝＝＝＝－.规律方法　1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点二　诱导公式的应用【例2-1】 (1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.【解析】　(1)∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝.(2)∵cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝a，∴cos＋sin＝－a＋a＝0.规律方法　1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝(　　)A.   B.±   C.±   D.(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)A.   B.   C.   D.【解析】　(1)∵α∈，sin＝，∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝.(2)由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角). (3)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.①求sin x－cos x的值；②求的值.【解析】　①由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2 x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0，∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.②＝＝＝＝－.规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等. [方法技巧]1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan 等.3.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.4.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.四、                       课时作业1．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知，，则（    ）A． B． C． D．2．（2020·福建省高三其他（文））若则(   )A． B． C． D．3．（2020·广东省高三其他（文））若，则（    ）A．或 B． C．或 D．4．（2020·湖南省高一月考）已知为第三象限角，且，则（    ）A． B． C． D．5．（2020·渭南市尚德中学高一月考）中，，，则为（    ）A． B．或 C． D．或6．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，，则的化简结果为（    ）A． B． C． D．以上都不对7．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在中，,则的值为（    ）A． B． C． D．±8．（2020·开鲁县第一中学高一期中（文））已知 ，则（    ）A．  B．2 C．  D． 9．（2020·山西省高三其他（理））若，则的值为（    ）A． B． C． D．10．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知，则（    ）A． B． C． D．11．（2020·山西省高三其他（文））已知sin（），则sin2x的值为（   ）A． B． C． D．12．（2020·湖南省高一月考）化简的结果为（    ）A．1 B． C． D．13．（2020·渭南市尚德中学高一月考）的值为 ( )A． B． C． D．14．（2020·湖南省高三二模（文））已知，则的值为（    ）A． B． C． D．15．（2020·陕西省西安中学高一期中）设，，，则（    ）A． B． C． D．16．（多选题）（2020·山东省高一月考）下列化简正确的是（    ）A． B．C． D．17．（多选题）（2020·湖南省湖南师大附中高二期末）下列命题中为真命题的是（    ）A．B．C．D．18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列化简正确是（    ）A． B．C． D．E.若，则19．（2020·上海高一期中）若，则______．20．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，则__________.21．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：（1）__________；（2）________；（3）________．22．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知关于x的方程的两根为，，.求：（1）；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．23．（2020·湖南省高一月考）已知，求：（1）；（2）24．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知.（1）化简; （2）若是第三象限角,且,求的值.25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知（1）求的值；（2）求的值．