2022年中考数学一轮复习4.9《相似三角形》讲解含答案学案

这是一份2022年中考数学一轮复习4.9《相似三角形》讲解含答案学案，共12页。

指引方向
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
考点梳理
夯实基础
1．比例线段：对于四条线段a，b，c，d中，如果 EQ \F(a,b)＝ EQ \F(c,d)，就称a，b，c，d四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．比例线段的性质：
⑴基本性质：
EQ \F(a,b)＝ EQ \F(c,d)⇒ad＝bc(bd≠0)； EQ \F(a,b)＝ EQ \F(b,d)⇒b2＝ad；
⑵合比性质： EQ \F(a,b)＝ EQ \F(c,d)⇒ EQ \F(a±b,b)＝ EQ \F(c±d,d)；
⑶等比性质：
若 EQ \F(a,b)＝ EQ \F(c,d)＝…＝ EQ \F(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么 EQ \F(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝ EQ \F(a,b)
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．相似三角形性质：__________
⑴相似三角形的对应边__________，对应角__________．
⑵相似三角形的对应高的比，_________________与__________都等于相似比
⑶相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________．
【答案】⑴成比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶相似比，相似比的平方
5．相似三角形的判定：
⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那么这两个三角形相似：
(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
6．相似三角形的几种典型图形
7．位似图形的定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
(1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．
(2)两个位似图形的位似中心只有一个．
(3)位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 平方．
考点一：比例线段
【例l】下列四条线段中，不能成比例的是 (C)
A．a=3，b=6，c=2，d=4
B．a=1，b=，c=，d=
C．a= 4，b=6，c=5，d= 10
D．a=2，b=，c=，d=
解题点拨：本题考查了成比例线段的定义，注意成比例线段的顺序．
考点二：平行线分线段成比例定理
【例2】（杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则()
答案：B
解题点拨：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
考点三：相似三角形的性质和判定
【例3】（河北）如图，△ABC中，∠A=78°．AB=4．AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
答案：C
解题点拨：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
考点四：似三角形性质的实际运用
【例4】（陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距Ⅳ点5块地砖长）时，其影长AD怡好为1块地砖长：当小军正好站在广场的B点（距Ⅳ点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，朋ⅣINQ，ACINQ，BEINQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
解题点拨：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，根据对应边列出方程，建立适当的模型来解决问题．
解：由题意得：∠CAD= ∠MND= 90°,
∠CDA=∠MDN,
∴△CAD∽△MND,
∴
∴
∴MN= 9.6,
又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN,
∴
∴
∴
∴EB≈1.75,
∴小军身高约为1.75米．
考点五：位似图形
【例5】（十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A’B’C’，已知OB= 30B’，则△A'B'C’与△ABC的面积比为 （）
A．1：3 B．1：4 C．1：5D．1：9
答案：D
解题点拨：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
1．（新疆）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）
A． B． C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC= 1:2
答案：D
2．（盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E．在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：C
3．（乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2:3，AD=4，则DB=_________，
答案：2
4．（齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD上BC．BE上AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
解:（1）证明:∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF= ∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴ ∠DBF= ∠DAC,
∴△ACD∽△BFD
(2)∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°。
∴
∴,
∵△ACD∽△BFD
∴
∴
A组 基础训练
一、选择题
1．（重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为 ( )
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:16
答案：C
2．（巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为 ( )2
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1
答案：B
3．（云南）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2．LDAC=LB．如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ( )
A．15 B．10C．D．5
答案：D
4．（烟台）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点()力位似中心的位似图形，且相似比为≥。点4 ,B,E在戈轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ( )
A．(3，2) B．(3，1)C．(2，2) D．(4，2)
答案：A
二、填空题
5．（南京）如图，AB、CD相交于点0，OC=2，OD=3，AC∥BD．EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为___________
答案：
6．（天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点4出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知ABIBD．CDI BD，测得AB=2米，BP=3
米，PD= 12米，那么该古城墙的高度CD是______米．
答案：8
7．（梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若SL。。。=3，则S△BCF= _______．
答案：4
三、解答题
8．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB= 2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM= 1.2m，MN=0.8m，求木竿PQ的长度
解：如图，过N点作ND⊥PQ于D，
∴
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
∴
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．
答：木竿PQ的长度为2.3米
9．（杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，LAED= LB，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若，求的值．
解: (1)证明: ∵∠AED=∠B, ∠DAE=∠DAE，
∴ ∠ADF=∠C，
∵
∴△ADF∽△ACG
(2)∵△ADF∽△ACG，∴
又∵，∴，∴
B组提高练习
10．（东营）如图，在短形ABCD中，E是AD边的中点，BEIAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：B
（提示：过D作DM∥BE交AC于N，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC= 90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC= ∠ACB，∠ABC= ∠AFE= 90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵，∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=,∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC，∴DF=DC，故③正确；设EF=1，则BF=2，∵△ABF∽△EAF，∴，∴,∴,∵∠CAD=∠ABF，④错误．）
11.（桂林）如图，在Rt△ACB中．∠ACB= 90°,AC=BC=3，CD= 1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=____________
（提示：在BD上截取BE =CH，连接CO，OE，∵∠ACB=90°，CH⊥BD，∴AC=BC=3，CD=，∴∵△CDH∽△BDC，∴,∴,∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO= OB= c，∠A= ∠ACO= ∠BCO=∠ABC= 45°，∴∠OCH+∠DCH= 45°，∠ABD+ ∠DBC= 45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH= ∠ABD，△CHO≌△BEO，∴OE =OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH= 90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵，∴.)
12．（武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．
(1)如图l，若∠ACP=∠B，求证：AC2 =AP·AB；
(2)若M为CP的中点，AC=2，如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长．
解：(1)证明：∵∠ACP=∠B，∠BAC=∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC:AB=AP:AC，∴AC2=AP·AB；
(2)①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP=x，则PQ =2x，∵∠PBM=∠ACP，∠PAC= ∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2 =AP·AQ得：22=（3-x）(3+x)，∴即