2022年中考数学一轮复习3.6《二次函数的应用》讲解（含答案）学案

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第六节  二次函数的应用课标呈现指引方向会利用二次函数解决简单的实际问题考点梳理  夯实基础1．二次函数的实际应用问题  (1)利用顶点坐标来求最值  (2)最值不在顶点处取得  (3)分段函数求最值问题2．解决二次函数的实际应用问题的关键在于：(1)理解问题；(2)分析问题中变量之间的关系；(3)建立二次函数模型，得到解析式：(4)运用二次函数的有关性质求解；(4)将所得结果结合实际情况进行检验．考点精析  专项突破考点一二次函数与几何问题【例1】（四川内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．  (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；  (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；  (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．解题点拨：二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值．在此类实际问题中，最大（小）值有时会在顶点处取得，此时达到最大（小）值时的x即为顶点横坐标值，最大（小）值也就是顶点纵坐标值；有时会在端点取得．因此，对于实际问题中的最值问题要特别注意自变量的取值范围．  解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米．依题意可列方程x( 30-2x)= 72，即x2-15x+36=0.  解得x1 =3，x2 =12．∵当x=3时，30-2x =24>18，∴x=12.  (2)依题意，得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11．  面积S=x(30-2x)= -2(x-)2+(6≤x≤11)．①当x=时，s有最大值，s最大=；  ②当x =11时，S有最小值，S最小=11x(30-22)=88.  (3)令x(30-2x)= 100，得x2-15x+50=0.解得x1=5，x2=10．∴x的取值范围是5≤x≤10．考点二   二次函数与利润问题【例2】（湖北随州）九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下:时间x（天）1306090每天销售量p（件）1981408020  已知商品的进价为30元／件，设该商品的售价为y（单位：元／件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为W（单位：元）．  (1)求出W与x的函数关系式；  (2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．  解题点拨：(1)此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，建立函数并运用函数的性质是解题的关键；(2)分段函数的分类讨论是本题的考查重点，因此本题要分段考虑．  解：(1)当o≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点(0，40)、(50，90)，，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；  当50<x≤90时，y=90．∴售价y 与时间x的函数关系式为    ’  由题意可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，  设每天的销售量p与时间x的函数关系式为P=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵P=mx+n过点(60，80)、(30，140)，∴，解得：，∴P=-2x+200（0≤x≤90，且x为整数），  当0≤x≤50时，W=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x2+180x+2000；  当50<x≤90时，W=(90-30)（-2x+200）=-120x+12000．  综上所示，每天的销售利润W与时间x的函数关系式是  (2)当0≤x≤50时，W=-2x2+180x+2000  =-2（x-45）2+6050，∵a=-2<0且0≤x≤50．∴当x=45时，W取最大值，最大值为6050元．当50<x≤90时，W=-120x+12000，∵k=-120<0，W随x增大而减小，∴当x= 50时，W取最大值，最大值为6000元．∵6050>6000．∴当x=45时，W最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．课堂训练  当堂检测1．函数y=x2 +2x+3的最小值为    (  )A．-2    B．2    C．1    D．-1【答案】B2．已知0≤x≤，那么函数y= -2x2+8x-6的最大值是(   )A．- 10.5    B．2    C．-2.5    D．-6【答案】C3．（四川成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树，橙子的总产量为W．则W与x的关系式为 ．【答案】W=-5x2+100x+600004．（云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函教关系图象．(1)求y与x的函数解析式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值，解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b．根据题意，得：，解得：,∴y与x的函数解析式为y=-2x+340，(20≤x≤40)．(2)由已知得：W=（x-20）（-2x+340）= -2x2+380x-6800= -2（x-95）2+11250，∵-2<0．∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40．∴当x=40时，W最大，W最大值=-2(40-95)2+11250=5200(元)中考达标  模拟自测A组  基础训练一、选择题1．当x取(    )时，二次函数y= -x2+1有最大值．A．B．0    C．1    D．2【答案】B2．如果二次函数y= x2-2x+m的最小值为非负数，则m的取值范围是    (    )．A．m<1B．m>1C．m≤1D．m≥1【答案】Ｄ3．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y( m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（　　）A．3mB．7mC．10mD．14m【答案】C4．如图，重庆某长江大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ()秒．A．12  B．18   C．24  D．36【答案】Ｄ二、填空题5．已知二次函数y=-x2+4x+5，其中-2≤x≤1，则y有最小值为，最大值为．【答案】-7     86．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（40一x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．【答案】307．（浙江丽水改编）如图，地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=+3的绳子，则绳子最低点离地面的距离为m．【答案】1.4三、解答题8．（山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出：当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少l辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？  解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，  由50x-1100>0,  解得x>22．  又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元：  (2)设每辆车的净收入为y元，  当0<x≤100时，y1= 50x-1100，∵y随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50x100-1100= 3900；  当x>100时．y2=(50-) x-1100=-x2+70x-1100=-(x-175)x2+5025，  当x=175时，y2的最大值为5025，  5025>3900．  故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．9．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，记作△ABC，它的边BC= 120mm，高AD= 80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm．小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加T的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.解：(1)设矩形的边长PN= 2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC．∴，即 =，解得y=，∴PN=×2= ( mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(2)设PN =xmm，由条件可得△APN∽△ABC，∴ =，即=，解得PQ= 80．∴S=PN·PQ=x(80)=2+80x= +2400，∴S的最大值为2400mm2，此时PN= 60mm，PQ=80 =40(mm)．B组   提高练习10．（山东青岛改编）如图，需在一面长度为l0m的墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m， 到墙边OA的距离分别为m， m．则最多可以连续绘制(  )个这样的抛物线型图案？  A．4    B．5    C．6    D．7       第10题【答案】(提示：根据题意得：B(， )，C(， )，把B，C代入y =ax2+bx得，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=-x2+2x；令y=0，即-x2+2x=0，∴x1=0．x2=2，∴l0÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．选B）1 1．（浙江台州）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=        ．【答案】（提示：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度y=a（t-l.l）2+h，由题意a（t-l.l）2+h=a（t-l-l.l）2+h，解得t=1.6．故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．）12．（年江苏南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单元：元）、销售价 y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．  (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．  (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．  (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，∵y1=k1x+b1的图象过(0，60)与(90，42)，∴ ，解得 ∴线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=- 0.2x+60(0≤x≤90)．(3)设y2与x之间的函数表达式为y2 =k2x+b2，∵y2=k2x+b2的图象过(0，120)与(130，42)，∴ ，解得, 第12题∴y2与x之间的函数表达式为y2 =-0.6x+120(0≤x≤130)．设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时．W=x[(-0.6x+120)-（-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250∴当x= 75时，W的值最大，最大值为2250．当90≤x≤130时．W=x[(-0.6x+120)-42]= -0.6(x-65)2+2535,由-0.6<0知，当x>65时，W随x的增大而减小，因此当x= 90咐，W的值最大，最大值为W=-0.6(90-65)2+2535= 2160．∴90≤x≤130时．W≤2160．因此，当该产品产量为75kg时获得的利润最大，最大利润是2250元．