考点43 直接证明与间接证明-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

考点43  直接证明与间接证明

1．（2007·福建高考真题（理））等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【详解】

（Ⅰ）由已知得，，

故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．

即．

，

．

与矛盾．

所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

一、直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：―→―→―→…―→.

二、间接证明

反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

三、数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

1．（2020·全国高三专题练习）用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不小于”时，第一步假设为（    ）

A．三个内角至多有一个大于 B．三个内角都大于

C．三个内角至多有两个大于 D．三个内角都小于

2．（2020·全国高三专题练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，应假设（    ）

A．三角形的三个内角都不大于 B．三角形的三个内角都大于

C．三角形的三个内角至多有一个大于 D．三角形的三个内角至少有两个大于

3．（2020·全国高三专题练习）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（    ）

A．方程没有实数根

B．方程至多有一个实数根

C．方程至多有两个实数根

D．方程恰好有三个实根

4．（2020·山东威海市·高三期末）在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·全国高三专题练习（理））分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证”索的因应是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·全国（理））用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为

A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数

C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数

7．（2019·全国高三专题练习（理））设、、，，，，则、、三数

A．都小于 B．至少有一个不大于

C．都大于 D．至少有一个不小于

8．（2020·全国高三专题练习（理））对于实数，，已知下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能推出“，中至少有一个大于”的条件为

A．②③④ B．②③④⑤

C．①②③⑤ D．②⑤

9．（2019·四川成都市·成都外国语学校高三月考（理））利用反证法证明：若，则，假设为(　　)

A．都不为0 B．不都为0

C．都不为0，且 D．至少有一个为0

10．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（理））用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是

A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确

11．（2020·吉林长春市·高三一模（理））已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．（2020·全国高三专题练习（理））设x，y，z＞0，则三个数

A．都大于2 B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2

13．（2015·湖南高考真题（理））设，，且.

证明：(1) ；

(2) 与不可能同时成立．

14．（2017·北京高考真题（理））设和是两个等差数列，记，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

1．D

【分析】

根据反证法证明命题时，应假设命题的否定成立,即得结果.

【详解】

用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不小于”时，应假设命题的否定成立，

而“三角形的内角中至少有一个不小于”的否定是“三角形的三个内角都小于”，

故选: D.

【点睛】

本题考查了反证法，属于易错题.

2．B

【分析】

根据反证法可知，假设应该否定结论，即可求解.

【详解】

由反证法可知，只需要把结论否定即可，

应该假设：三角形的三个内角都大于

故选：B

【点睛】

本题主要考查了反证法，命题的否定，属于容易题.

3．A

【分析】

由题意可知写出命题“方程至少有一个实根”的否定即可.

【详解】

由题意可得：用反证法证明命题，

即需要对结论进行否定，

对于命题“方程至少有一个实根”的否定为：

方程一个实根都没有，即没有实数根

故选：A

【点睛】

本题考查了命题的否定，关键写出“至少有一个”的否定，属于较易题.

4．B

【分析】

根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.

【详解】

有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x，

除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，

2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1，

不满足除以11余10，

2111全都满足

故选：B

【点睛】

此题以中华民族优秀传统文化为背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.

5．C

【分析】

根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可.

【详解】

由a>b>c，且a＋b＋c＝0得b＝－a－c，a>0，c<0.

要证

只要证

即证

即证

即证

即证

故求证“”索的因应是.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分析法，属于中档题.

6．B

【分析】

对结论进行否定可得出正确选项.

【详解】

“自然数、、中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数、、中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数、、中两个偶数一个奇数或全是偶数”，

即“自然数、、中至少有两个是偶数”，故选B.

【点睛】

本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多个”与“至少个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题.

7．D

【分析】

利用基本不等式计算出，于此可得出结论.

【详解】

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，

故选D.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．D

【分析】

根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可．

【详解】

①当a＝b＝1时，满足a+b＝2，但此时推不出结论，

②若a≤1，b≤1，则a+b≤2，与a+b＞2，矛盾，即a+b＞2，可以推出，

③当a，b时，满足条件a+b＞﹣2，则不可以推出，

④若a＝﹣2，b＝﹣1．满足ab＞1，但不能推出结论，

⑤由logab＜0得logab＜loga1，若a＞1，则0＜b＜1，若0＜a＜1，则b＞1，可以推出结论．

故可能推出的有②⑤，

故选D．

【点睛】

本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．

9．B

【分析】

根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.

【详解】

的否定为，即，不都为0，选B.

【点睛】

本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.

10．C

【详解】

分析：利用命题的否定的定义判断即可.

详解：①的命题否定为，故①的假设正确.

或”的否定应是“且”② 的假设错误，

所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.

点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.

11．C

【详解】

，∵A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，

∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.

考点：综合法求解.

12．C

【详解】

假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.

13．(1)见解析.

(2)见解析.

【详解】

试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.

(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.

试题解析：

由,,得.      

(1)由基本不等式及,有,即

(2)假设与同时成立,              

则由及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.

故与不可能同时成立.         

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

14．（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减. 所以，从而得证；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.

试题解析：（Ⅰ）

，

.

当时，，

所以关于单调递减.

所以.

所以对任意，于是，

所以是等差数列.

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则

.

所以

①当时，取正整数，则当时，，因此.

此时，是等差数列.

②当时，对任意，

此时，是等差数列.

③当时，

当时，有.

所以

对任意正数，取正整数，

故当时，.