考点47 坐标系与参数方程-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

考点47  坐标系与参数方程

1．（2021·全国高考真题（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【答案】（1），（为参数）；（2）或.

【分析】

（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【详解】

（1）由题意，的普通方程为，

所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或

【点晴】

本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

1． 直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝α；

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

2． 圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；

(3)圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.

3． 常见曲线的参数方程

(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)．

(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．

(3)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．

(4)抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．

(5)过定点P(x0，y0)的倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．

4． 直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标

系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直

角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则

，.

1．（2021·全国高三专题练习）若曲线C的参数方程为 (为参数)，则曲线C上的点的轨迹是（    ）

A．直线  B．以为端点的射线

C．圆 D．以和为端点的线段

2．（2020·陕西省子洲中学高三月考（理））直线（为参数）被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．3

3．（2020·陕西省子洲中学高三月考（理））极坐标方程的直角坐标方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·陕西省子洲中学高三月考（理））直线（t为参数）和圆交于，两点，则的中点坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·江西高三其他模拟（理））已知、是圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·陕西西安市·西安中学高三月考（理））在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线(t为参数)与曲线C相交于，两点.若成等比数列，则实数a的值是（    ）

A．1 B．1或 C．4 D．

7．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（理））在直角坐标系中，曲线C：（t为参数）上的点到直线l：的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·山西朔州市·应县一中（理））若动点在曲线上变化，则的最大值为（    ）

A． B． C．    D．

9．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（    ）

A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．

10．（2020·福建漳州市·高三其他模拟（理））已知点Q在椭圆上运动，过点Q作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11．（2019·陕西汉中市·高三月考（理））已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·吉林长春市·高三月考（理））在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·全国高三专题练习（理））已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C． D．

14．（2020·全国高三专题练习（理））将正弦曲线先保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的；再将纵坐标变为原来的3倍，就可以得到曲线，上述伸缩变换的变换公式是（　　）

A． B．

C． D．

15．（2011·北京高考真题（理））在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是

A． B． C．(1,0) D．(1，)

16．（2017·天津高考真题（理））在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.

17．（2019·天津高考真题（理））设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.

18．（2020·江苏高考真题）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

19．（2020·全国高考真题（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

20．（2014·全国高考真题（理））

已知曲线，直线：（为参数）.

（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

1．D

【分析】

由题意得 (为参数)，消去参数，得，由此求得结果.

【详解】

(为参数) ， (为参数)

消去参数，得，其中

即，所以曲线C上的点的轨迹是以和为端点的线段

故选：D.

2．A

【分析】

化参数方程为普通方程，然后求得圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长．

【详解】

由消去参数得，圆心到直线的距离为，

因此弦长为．

故选：A．

3．A

【分析】

利用公式变形．

【详解】

由得，

，即，配方为．

故选：A．

4．D

【分析】

把直线的参数方程化为普通方程后代入圆的方程，化简可得，由韦达定理可得，即可得的中点的横坐标为3，代入直线的方程即可得解．

【详解】

直线（t为参数）可化为普通方程，

代入圆化简可得，，

，即的中点的横坐标为3，

的中点的纵坐标为，

故的中点坐标为，

故选：D．

【点睛】

本题考查了把参数方程化为普通方程的方法及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.

5．D

【分析】

计算得出，设，，，，利用三角恒等变换思想结合正弦型函数的有界性可求得结果.

【详解】

，则，

，可得，

不妨设，，，，

，同理可得，

所以，

，

其中为锐角，且.

故的最大值为.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求解是解本题的关键.

6．A

【分析】

由公式化极坐标方程为直角坐标方程，把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理得，这里的的绝对值表示直线点到的距离，把代入，可求得．

【详解】

把代入，即得.

将(t为参数)代入，整理得.

设是该方程的两根，则，

因为，所以，

所以，所以.

故选：A．

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用，旨在考查运算求解能力．

7．C

【分析】

设曲线C上点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值.

【详解】

设曲线C上点的坐标为，

则C上的点到直线l的距离，

即C上的点到直线1的距离的最小值为．

故选：C.

【点睛】

本题考查参数方程的应用，属于基础题.

8．A

【分析】

设动点的坐标为，将代入中整理化简求最值．

【详解】

解：设动点的坐标为，则

．

当时，；

当时，．

故选：A．

【点睛】

本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．

9．D

【分析】

对曲线的参数方程消参求得普通方程，利用导数求得直线与曲线相切时直线的斜率以及临界状态对应直线的斜率，即可容易求得结果.

【详解】

对曲线的方程消参可得：，即，，

作图如下：

若直线与曲线在第一象限内相切时，设其斜率为，

设直线与曲线在第一象限的切点为，且

因为，，故可得，

则，即，解得（舍去）.

故此时切点坐标为，对应直线的斜率.

当直线过点时，设其斜率为，

故可得.

数形结合可知，当直线与曲线C在第一象限内有两个交点时，

斜率的取值范围为，即为.

故选：.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的转化，以及直线与抛物线相切时切点的求解，涉及导数的几何意义，属综合中档题.

10．D

【分析】

设，计算，计算的最小值，再利用面积法·计算得到答案.

【详解】

设，圆的圆心为，半径，

则，

当时，有最小值为，故的最小值为，

设，交于点，根据对称性知，且，

故，

故最小时，最小为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用椭圆的参数方程是解题的关键.

11．B

【分析】

设，则先求出的斜率的最大值，再得出的最大值．

【详解】

解：设，则，

，

，

故选：．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．

12．C

【分析】

设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，可得出圆的方程为，可设点的坐标为，根据向量的坐标运算可将用的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出的最大值.

【详解】

设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，直线的方程为，即，

点到直线的距离为，

则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，

设点的坐标为，由，

得，，

所以，，

因此，的最大值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

13．D

【分析】

把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离求得答案。

【详解】

因为，所以， ，即。圆心为（1，-2），半径，因为点O到圆上的最大距离，等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D。

【点睛】

本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

14．A

【分析】

首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】

解：由变成

设伸缩变换为，代入，得，又因为，则，得，故选A。

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

15．B

【详解】

由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,

，，

，

圆心坐标为（0，-1），

则极坐标为，故选B.

考点：直角坐标与极坐标的互化.

16．2

【解析】

直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点

【考点】极坐标

【名师点睛】再利用公式  把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.

17．

【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．

【详解】

圆化为普通方程为，

圆心坐标为，圆的半径为，

由直线与圆相切，则有，解得．

【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．

18．（1）（2）

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【详解】

（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

，

因为点为直线上，故其直角坐标方程为，

又对应的圆的直角坐标方程为：，

由解得或，

对应的点为，故对应的极径为或.

（2），

，

当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【点睛】

本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

19．（1）；；（2）.

【分析】

（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

20．（I）；（II）最大值为，最小值为.

【解析】

试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．

试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．

（II）曲线C上任意一点到的距离为．则

．其中为锐角，且．

当时，取到最大值，最大值为．

当时，取到最小值，最小值为．

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．