高中数学讲义微专题43 线性规划学案

www.ks5u.com第43炼 线性规划——作图与求解

一、基础知识

1、相关术语：

（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：

① 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

② 一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方

③ 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）

① 线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。

② 分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。

③ 含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。

（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。

例如：若变量满足约束条件，则的最大值等于_____

作出可行域如图所示，直线的斜率，直线的斜率，目标函数的斜率，所以，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比还要平，则会发现最优解在处取得，以及若平移的直线比还要陡，则会发现最优解在处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。

（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”

（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）

（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。

二、典型例题：

例1：若变量满足约束条件，则的最小值等于（    ）

A.               B.               C.              D. 

思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在点处，纵截距最大。且解得，所以的最小值

答案：A

例2：设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（   ）

A.                  B.                 C.               D. 

思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数，通过平移可得最优解为，所以

答案：B

例3：若变量满足，则的最大值为（     ）

A.        B.         C.         D. 

思路：目标函数可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为，所以

答案：D

例4：设变量满足约束条件，则的取值范围是（     ）

A.    B.    C.     D. 

思路：所求可视为点与定点连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在处的斜率最小，即，在处的斜率最大，为，结合图像可得的范围为

答案：D

例5：若实数满足条件，则的最大值为（     ）

A.          B.         C.         D. 

思路：设，则可先计算出的范围，即可求出的最大值：，则最优解为，所以，则

答案：B

例6：设为坐标原点，点的坐标为，若点满足不等式组，则使取得最大值的点的个数有（     ）

A.  1                B.                C.              D. 无数个

思路：设，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线重合，所以有无数多个点均能使取得最大值

答案：D

例7：（2015，福建）变量满足约束条件，若的最大值为，则实数等于（     ）

A.       B.         C.            D. 

思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数，若最大则动直线的纵截距最小，可观察到为最优解。，则有，解得：

答案：C

小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数

例8：在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（     ）

A.         B.            C.         D.

思路：先做出常系数直线，动直线时注意到，斜率为常数1，且发现围成的区域恒为一个三角形。目标函数，通过图像可得最优解为，所以，则解得：

答案：D

例9：若变量满足约束条件，若的最大值为4，则（    ）

A.                 B.                C.                D. 

思路：如图作出可行域，目标函数为，由于决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑的符号：

当时，此时与的斜率进行比较：

若，则的最大值为0，不符题意；

若，则最优解为，代入解得与初始范围矛盾，故舍去；当时，直线与斜率进行比较：

若，则最优解为，代入解得，符合题意

若，可得的最大值为2，不符题意，舍去

若，则最优解为，代入解得与初始范围矛盾，舍去

综上所述：

答案：B

小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。

（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出的值，再带入验证。

例10：设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值是（     ）

A.           B.         C.         D. 

思路：先做出可行域，目标函数，由可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值在处取得，即，所以

答案：C

小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而后与均值不等式结合求出最值

三、历年好题精选

1、（2016，衡阳联考）如果实数满足条件，则的最小值为，则正数的值为__________

2、(2014，温州中学三月考)已知实数满足，则的最小值是_________

3、若点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是_________

4、（2016，南昌二中四月考）已知实数满足，则的取值范围是________

5、设实数 满足 ,则的取值范围为（   ）

 A.           B.           C.          D.

6、设实数满足，则为（     ）

A. 有最小值2，最大值3                    B. 有最小值2，无最大值

C. 有最大值3，无最小值                    D. 既无最小值，也无最大值

7、设满足约束条件：，则的最小值是（     ）

A.                B.                C.               D. 

8、（2016，湖南师大附中月考）若实数满足，设，则的最大值为（    ）

A．1                 B．               C．                 D．2

9、（2015，北京）若满足，则的最大值为（    ）

A.               B.             C.               D. 

10、（2015，广东）若变量满足约束条件，则的最小值为（    ）   A．              B.               C.             D.  

11、（2015，新课标I）若满足约束条件，则的最大值为________

答案：3

12、（2015，新课标II）若满足约束条件，则的最大值为____

13、（2015，山东）已知满足约束条件，若的最大值为，则（     ）

A.               B.               C.                D. 

14、（2014，北京）若满足约束条件，且的最小值为，则的值为（     ）

A.                B.              C.                D. 

习题答案：

1、答案：1

解析：根据约束条件画出可行域，可知时，即

2、答案：

解析：设，则有，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图可知当与抛物线相切时，此时取得最小值，联立方程，所以判别式

3、答案：

解析：将代入可得：，作出可行域，可视为点到原点距离的平方。结合图像可知：到原点距离最大，即原点到直线的距离为，所以

4、答案：

解析：，其中可视为与连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线与在第一象限相切时，取得最大值，解得：，，而时，，所以

5、答案：C

解析：令，作出可行域，可知可视为连线的斜率，

且为关于的增函数，所以

6、答案：B

解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线即可得到在处达到最小值，即，但没有最大值

7、答案：B

解析：，则可视为可行域中的点与连线的斜率，作出可行域可得：，所以的最小值为3

8、答案：C

解析：方法一：，其中为可行域中的点与原点连线斜率的倒数，作出可行域可知：，所以，从而可计算出

方法二：由可得：，代入到不等式组可得：，作出可行域，所求为与连线的斜率，数形结合即可得到最大值为

9、答案：D

解析：，作出可行域，可得最优解为时，取得最大值

10、答案：C

解析：由可得：，数形结合可知经过时，取得最小值

11、答案：3

解析：作出可行域（如图所示），所求分式，即可行域中点与原点连线的斜率最大值，由图可知点与原点连线斜率最大，所以的最大值为

12、答案：

解析：目标函数变为，即求动直线纵截距的最大值，作出可行域，数形结合可得直线过，则

13、答案：B

解析：由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，所以

14、答案：D

解析：目标函数变形为，由直线可得该直线过定点，分讨论，若，则由图可知纵截距的最小值在直线过处取得，即，不符题意；当时，可知直线纵截距的最小值过与轴的交点，所以，解得