专题16立体几何（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题16立体几何（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共26页。

一. 平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行. 符号：
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.

证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。,90。].
2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。].
如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

取值范围：（0。,180。）
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
O
A
B
O
A
B
l
如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则， 即；
如果是钝角，则， 即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即
1．如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）由是等边三角形,,得．再证明,,从而和证明平面,故平面平面得证．
（2）作,垂足为连接．由,证得结合二面角为,可得,,.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则,,向量,即平面的一个法向量,运用公式和,即可得出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
解:（1）证明:因为是等边三角形,,
所以,可得．
因为点是的中点,则,,
因为,平面PBD,平面,
所以平面,因为平面,
所以平面平面．
（2）如图,作,垂足为连接．
因为,
所以为二面角A-BD-C的平面角．
由已知二面角为,知．
在等腰三角形中,由余弦定理可得．
因为是等边三角形,则,所以．
在中,有,得,
因为,所以．
又,所以．
则,．
以为坐标原点,以向量的方向分别为轴,轴的正方向,
以过点垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,向量,
平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.
2．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）
【分析】
（1）连接交于,连接,根据中位线定理证明,即可证得平面.
（2）先证平面.又∵平面,则.
（3）建立空间直角坐标系,列出各点的坐标表示,求出平面的法向量为,又因平面,所以为平面的一条法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角的余弦值.
【详解】
解:（1）证明:连接交于,连接.
因为,分别为,的中点,所以为的中位线
∴,又平面,平面,∴平面
（2）在中,,点为的中点,
∴,则平面.
又∵平面,则.
（3）取中点,连接.
依题意可得为等边三角形,∴,
又因为底面,,平面
则,
建立以为坐标原点,如图所示坐标系,则有:
,,,,,,
,,设平面的法向量为,
则,∴
∵平面,所以为平面的一条法向量,且
∴
【点睛】
本题考查直线与平面平行判定定理的应用,直线与平面垂直的判定定理的应用,求二面角的余弦值,熟练掌握定理是证明的关键.
3．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
要证线面平行，先证线线平行
建系，利用法向量求解。
【详解】
（1）连接ME，BC
∵M，E分别为B1B，BC的中点
∴
又∵
∴A1DCB1是平行四边形
∴
∴
∴NDEM是平行四边形
∴NM∥DE
又NM平面C1DE
∴NM∥平面C1DE
(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz
则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）
设平面A1MD的法向量为
则
∴
解得
又
∴
∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.
【点睛】
要证线面平行，可证线线平行或面面平行。
求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。
4．如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小.
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【答案】（1）45°.（2）30°.
【分析】
（1）以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设=(m,m,1)(m>0), 由=60°,利用坐标运算可得m，进而可得cs，从而得解；
（2）平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),由cs即可得解.
【详解】
(1)如图所示,
以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
设DA=1.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.
设=(m,m,1)(m>0),
由已知=60°,由=||||cs,可得2m=.解得m=,
所以=.
因为cs=
所以=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),
因为cs=
所以=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量处理线线角和二面角，属于基础题.
5．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：// 平面；
（II）若平面平面，， 求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【分析】
（I）连接BD交AC于点F，再连接EF，利用EF是三角形DBS的中位线，判断出DS平行EF，再利用线面平行的判定得证;
（II）取AB的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量，再利用线面角的公式求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（I）证明：连接BD角AC于点F，再连接EF.
因为四边形是菱形，所以点F是BD的中点，
又因为点是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，
所以DS平行EF，
又因为EF平面ACE，SD平面ACE
所以// 平面
（II）因为四边形是菱形，，所以
又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形.
取AB的中点O，连接SO，则DOAB
因为平面平面，平面平面=AB
所以DO平面ABS，又因为三角形ABS为正三角形
则以O为坐标原点建立坐标系
设AB=2a，则

设平面ADS的一个法向量为
则
取x=1，则
所以
设直线AC与平面ADS所成角为
则
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.
6．已知两两垂直,,为的中点，点在上，.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，设,当时，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，写出的坐标，从而可得的长；
（Ⅱ）利用垂直，向量数量积为0，求出的值.
【详解】
（Ⅰ）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，

由于为的中点，点在上，可得,

（Ⅱ）设 ，且点在线段上



【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解线段的长度，利用空间向量解决空间的垂直问题.
7．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面 ．
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明．
【详解】
证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

．
【点睛】
本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题．
8．如图，直棱柱的底面△ABC中， ， ，棱，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．
（1）求平面的法向量；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）为平面A1B1C的法向量，则，解方程组即得平面的法向量；
（2）利用向量法求直线与平面夹角的正弦值．
【详解】
（1）由题意可知
故
设为平面的法向量，
则
即，令，则
（2）设直线与平面夹角为，而，
所以直线与平面夹角的正弦值=
【点睛】
（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，考查法向量的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力．（2） 直线和平面所成的角的求法方法一：(几何法)找作(定义法)证(定义)指求(解三角形)，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形．方法二：(向量法)，其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角．
9．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】
分析：（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接，根据中位线即可得即可求证；（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.
详解：
（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，
设与平面所成角为，
则.
点睛：考查立体几何的线面平行证明，线面角的求法，对定理的熟悉和常规方法要做到熟练是解题关键.属于中档题.
10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.
详解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.
11．已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
【答案】(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2)．
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体的棱长为2.
由题意知A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2），
C（0，2，0），∴N（2，2，1）.
(2)由(1)可知，（2，0，1），
设直线AM与CN所成的角为θ，
则csθ＝|cs|＝||．
∴直线AM与CN所成的角的余弦值是．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题．
12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
【详解】
试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cs＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cs＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
13．如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．
（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG；
（3）求证：平面AA1C⊥面EFG ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,
然后解三角形求出此角即可.
（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.
(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA1C⊥面EFG.
（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1
平面ABCD
∴AC为在平面ABCD的射影
∴为与平面ABCD所成角……….2分
正方体的棱长为
∴AC=，=
………..4分
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1
连接BD，∥，=
为平行四边形
∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥…………3分
∵EF平面GEF，平面GEF
∴∥平面GEF …………7分
同理∥平面GEF∵=
∴平面A B1D1∥平面EFG ……………9分
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1∴平面ABCD
∵EF平面ABCD
∴EF …………10分
∵ABCD为正方形
∴ACBD
∵EF∥BD
∴ACEF ………分
∴EF平面AA1C
∵EF平面EFG
∴平面AA1C⊥面EFG …………….12分.
考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.
点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.
14．如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．
（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
【答案】（1）时,三棱锥的体积最大．（2）当时，．与平面所成角的大小．
【详解】
【分析】
试题分析：（1）设，则．又，所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数，通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.
（2）沿将△折起后，两两互相垂直，故可以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可找到点N的位置，并求得与平面所成角的大小．
试题解析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以.公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线