专题04函数及其表示 （文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题04  函数及其表示

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常考点归纳

常考点01 求函数的定义域

【典例1】

1．（2020北京11）函数的定义域是__________．

2．若函数的定义域是，则函数的定义域为________．

【考点总结与提高】

1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

2．求函数定义域的注意点[来源:Z§xx§k.Com]

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

【变式演练1】

1.函数的定义域为    ．

2．设函数，则的定义域为

A．  B．          C．         D．

常考点02 求函数的值域

【典例2】

1.设全集为R，集合，则（    ）

A．     B．     C．       D．

2．函数的值域为        ．

【考点总结与提高】

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

   1．观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．

2．利用常见函数的值域：

一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.

3．换元法：

对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数

可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．

4．配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．

6．数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．

7．单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．

【变式演练2】

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，，已知函数，则函数的值域为

A．  B．          C．  D．[来源:Zxxk.Com]

常考点03 分段函数

【典例3】

1．2015新课标2，理5）设函数,(     )

A．3     B．6       C．9     D．12

2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则满足的的取值范围是         ．

【考点总结与提高】

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：

1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．

4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

【变式演练3】

1．已知函数，则______．

2．设函数则使得成立的的取值范围是______．

【冲关突破训练】

1．设集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

2.函数的定义域为

A．    B．    C．    D．

3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是

A．[0,1]     B．[0,1)       C．[0,1)∪(1,4]     D．(0,1)

4.已知函数，，若，则

A．1        B．2        C．3        D．-1

5.函数的定义域是（   ）

A．   B．     C．     D．

6.设函数,(     )

A．3     B．6       C．9     D．12

7.已知函数，且，则

A．       B．       C．         D．

8．已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为

A．                    B．

C.                      D．

9.已知函数的图象过点，则       ．

10．函数的定义域为__________．

11．已知函数，则_______，的最小值是______．

12.若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是               ．