专题15 利用导数证明多元不等式（原卷版）学案

这是一份专题15 利用导数证明多元不等式（原卷版）学案，共5页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题15  利用导数证明多元不等式【热点聚焦与扩展】利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元  ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.【经典例题】例1．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，，证明：.例2．（2020·安徽高三三模）已知点是曲线上任意一点，.（1）若在曲线上点P处的切线的斜率恒大于，求实数a的取值范围.（2）点､是曲线上不同的两点，设直线的斜率为k.若，求证：.例3．（2020·四川高三三模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点､，且，求证：.例4．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）已知函数在处的切线与直线平行．（1）求实数的值，并判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，且，求证：．例5．（2020·江西景德镇一中高三三模）已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明：.例6．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．例7．（2020·湖南常德市一中高三三模）设关于的方程有两个实根，且.定义函数.（1）求的值；（2）若，求证：.例8．（2020·全国高三三模）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，，证明：．  【精选精练】1．（2020·陕西高三三模）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求证：．2．（2020·福建高三三模）已知函数.（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.3．（2020·全国高三三模）已知函数．（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；（2）为的导函数，当，时，求证：．4．（2020·河南高三三模）已知函数，.（1）设函数，若，求的极值；（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.5．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若，使得成立，求实数a的取值范围；（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.6．（2020·辽宁大连·高三三模）已知，函数.（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.附：简单复合函数求导法则为.7．（2020·甘肃高三三模）已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.8．（2020·内蒙古乌兰察布·三模）已知.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，若正数，满足，求证：.9．（2020·云南师大附中高三三模）已知函数.（1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；（2）记的极值点为，函数的零点为，当时，证明：.10．（2020·山东聊城·高考三模）已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明：．11．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三三模）已知函数.（1）求函数的最值；（2）函数图象在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.12．（2020·宁夏银川一中高三三模）已知函数的图象在处的切线过点.（1）若函数，求的最大值（用表示）；（2）若，证明：.