专题14 利用导数证明一元不等式（原卷版）学案

这是一份专题14 利用导数证明一元不等式（原卷版）学案，共5页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题14  利用导数证明一元不等式【热点聚焦与扩展】利用函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题，考查学生构造函数、选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式.此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置.1、证明方法的理论基础（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知的公共定义域为，若，则证明：对任意的，有由不等式的传递性可得：，即2、证明一元不等式主要的方法有两个：   第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性   第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法.3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则.4、若在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度.5、合理的利用换元简化所分析的解析式.6、判断解析式符号的方法：（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号【经典例题】1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．（1）证明：；例2．（2020·重庆高三三模）已知函数．（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）例3．（2020·长春市第八中学三模）已知函，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，.例4．（2020·江西省奉新县第一中学三模）已知函数．（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）证明：当时，．例5．（2020·洛阳市第一高级中学三模）函数（为自然对数的底数），为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）证明：的最小值大于.例6．（2020·新疆高三三模）已知函数，其中常数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且时，求证：.例7．（2020·陕西临渭·高三三模）设函数，曲线在点处的切线的斜率为0.（1）求的值；（2）求证：当时，.例8．（2019·陕西碑林·西北工业大学附属中学高三三模）已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求证：当时，.【精选精练】1．（2020·宁阳县第四中学高三三模）已知函数.（1）若，证明：；（2）当时，判断函数有几个零点.2．（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高三三模）已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．3．（2020·福建省泰宁第一中学高三三模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.4．（2020·江西高三三模）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：.5．（2020·重庆高三三模）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.（1）判断的零点的个数，并说明理由；（2）证明：对恒成立.6．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）已知函数的图象与直线相切.（1）求实数的值；（2）若存在实数满足且，求证：.7．（2020·重庆高三三模）已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）当时，证明：.8．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）已知函数.  （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明.9．（2020·安徽省舒城中学高三三模）已知（Ⅰ）求函数上的最小值；（Ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.10．（2020·甘肃省岷县第二中学三模）已知函数在上满足，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明：对任意、，不等式恒成立.11．（2020·福建省泰宁第一中学高三三模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.12．（2020·河北枣强中学高三三模）已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）求证：.