专题15 利用导数证明多元不等式（解析版）学案

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专题15  利用导数证明多元不等式【热点聚焦与扩展】利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元  ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.【经典例题】例1．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题设可得定义域，，①当，恒成立，在上单调递减；②当，，当，，故在单调递减；当，，故在单调递增.（2）证明：由（1）知，有两个零点，，则且，得，则，又，，又，且，又，即，又在上单调递减，，又，，所以原命题成立.例2．（2020·安徽高三三模）已知点是曲线上任意一点，.（1）若在曲线上点P处的切线的斜率恒大于，求实数a的取值范围.（2）点､是曲线上不同的两点，设直线的斜率为k.若，求证：.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】（1）由得，由题意得，当时，恒成立，即当时，恒成立，设函数，则其对称轴方程为，在上恒成立.若，即，则在上单调递增，∵在上恒成立，∴，解得；若，则，即，解得.综上可得或.（2）若，则，由于，不妨先设，令，，，故在上单调递增，所以，即，∴，∴，∴得证.综上可知，原命题得证.例3．（2020·四川高三三模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点､，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）的定义域为，当时，，则在上是增函数当时，；，所以在上是减函数，在上是增函数综上，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得.不妨设，由，得两式相减，得，解得，要证明，即证即证，设，则则，则，所以在上为增函数，从而，即成立，因此，成立.即例4．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）已知函数在处的切线与直线平行．（1）求实数的值，并判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，且，求证：．【答案】（1）；在上是单调递减；在上是单调递增；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域：，，解得，，令，解得，故在上是单调递减；令，解得，故在上是单调递增. （2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得 即，， 因此， 令，由，得.则， 构造函数， 则所以函数在上单调递增，故，即，可知.故命题得证.例5．（2020·江西景德镇一中高三三模）已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明：.【答案】（1）递增区间，递减区间（2）证明见解析【解析】（1）时，，，所以当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2），因为函数有两个极值点，所以只需，解得， 例6．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）【解析】（1）的定义域为． 曲线在处的切线平行于直线，，． （2），．当时，是增函数；当时，是减函数．函数的单调增区间是，单调减区间是．（3），，． 又，．设，则，在上是增函数． 令，不妨设，，，即．又，，．例7．（2020·湖南常德市一中高三三模）设关于的方程有两个实根，且.定义函数.（1）求的值；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）.（2），，所以在上是单调递增函数，所以，，所以，，，所以成立.例8．（2020·全国高三三模）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）．因为.当时，，此时在上单调递减；当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是减函数，，∴，即．所以原不等式得证. 【精选精练】1．（2020·陕西高三三模）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）的定义域为，．当时，，则在上是增函数．当时，；，所以在上是减函数，在上是增函数．综上，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得．不妨设，由，得两式相减，得，解得，要证明，即证，即证，设，则．则，则，所以在上为增函数，从而，即成立，因此，成立．即证.2．（2020·福建高三三模）已知函数.（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.【答案】（1），无最大值（2）证明见解析【解析】（1）解：当时，，定义域为，，当时，；当时，.可知在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值.（2）证明：，因为，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，.所以的最小值为，因为，所以在上存在一个零点；因为，可知在上也存在一个零点；所以，故.3．（2020·全国高三三模）已知函数．（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；（2）为的导函数，当，时，求证：．【答案】（1）极大值，极小值；（2）详见解析.【解析】由题意得：定义域为，，（1）当时，，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.（2）要证：，即证：，即证：，化简可得：．，，即证：，设，令，则，在上单调递增，，则由，从而有：.4．（2020·河南高三三模）已知函数，.（1）设函数，若，求的极值；（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，所以，.令，得，所以在，上单调递增；令，得，所以在上单调递减.故的极大值为，故的极小值为.（2）证明：，因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，所以关于的方程，即有两个不同的根.由题知①，②，①+②得③，②-①得④.由③，④得，不妨设，记.令，则，所以在上单调递增，所以,则，即，所以.因为所以，即.令，则在上单调递增.又，所以，即，所以.两边同时取对数可得，得证.5．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若，使得成立，求实数a的取值范围；（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）（）当时，，函数在上单调递增；当时，由得；由得，函数在上递增，在上递减（2）当时，，令得（舍去），当时，，①当时，则显然成立，即②当时，则，即，综上.（3）要证，由（1）知由得；只要证明即可∵是方程的两个不等实根，不妨设∴，∴，即，∴即证即证，设令，则在上单调递增，恒成立，得证.6．（2020·辽宁大连·高三三模）已知，函数.（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.附：简单复合函数求导法则为.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由已知得，记，则.①若，，在定义域上单调递增，符合题意；②若，令解得，自身单调递增，要使导函数在区间上为单调函数，则需，解得，此时导函数在区间上为单调递减函数.综合①②得使导函数在区间上为单调函数的的取值范围是.（2）因为，不妨设，取为自变量构造函数，，则其导数为在R上单调递增而且，所以，即.故关于的函数单调递增，即证得.7．（2020·甘肃高三三模）已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.【答案】（1）   （2）证明见解析【解析】（1）因为，所以.因为直线的斜率为，曲线在处的切线与直线垂直，所以，即，所以.（2）因为，且的两个零点从小到大依次为，，所以，是方程的两个根，所以，，又，，，所以且，欲证，只需证，而，令，则，所以在上单调递增，所以，所以成立.8．（2020·内蒙古乌兰察布·三模）已知.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，若正数，满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），由题意在上单调递减知当时，恒成立，故.令，，即在上单调递减，在上单调递增，因为，，故，即.（2）当时，，即，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，即有，因为，所以.9．（2020·云南师大附中高三三模）已知函数.（1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；（2）记的极值点为，函数的零点为，当时，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：，其定义域为，∵，代入切点横坐标得，∴.（2）证明：∵，令，当时，，所以在上单调递增．又，，所以，使得．当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增，所以是的极小值点，所以，所以且，即，，因为为的零点，即所以，又当时，是单调递增函数，由可得．10．（2020·山东聊城·高考三模）已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明：．【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】 ，，当时，在单调递增，当时，时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，， ，， ，不妨设，则，所以只要证，令，t，在上单调递减，，，．11．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三三模）已知函数.（1）求函数的最值；（2）函数图象在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【详解】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.因为，所以，变形为.欲证，只需证，即证.令，则只需证对任意的都成立.令，则所以在上单增，即对任意的都成立.所以.12．（2020·宁夏银川一中高三三模）已知函数的图象在处的切线过点.（1）若函数，求的最大值（用表示）；（2）若，证明：.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】（1）由，得，的方程为，又过点，∴，解得.∵，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故.（2）证明：∵，∴，，∴令，，，令得；令得.∴在上递减，在上递增，∴，∴，，解得：.