2018-2019学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）

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2018-2019学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为（　　）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
2．（5分）（2016秋•安顺期末）若向量（1，0，z）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则z等于（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．（5分）（2013•张店区校级模拟）以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）（2001•上海）a＝3是直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行且不重合的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．（5分）（2018秋•博望区校级期末）平面内一点M到两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）的距离之和为10，则M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
6．（5分）（2011•未央区校级模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）（2014•甘肃二模）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2＝6，那么|AB|＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
8．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成600的二面角，则B，D两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）（2016秋•运城期末）试在抛物线y2＝﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）（2018秋•博望区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB＝BC＝1，AA1＝2，那么A到直线A1C的距离为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2019•内蒙古一模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
12．（5分）（2011•天心区校级模拟）若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）
A．， B． C． D．
二.填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2垂直，则k的值为　 　．
14．（5分）（2014秋•烟台期末）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　 　．
15．（5分）（2018秋•博望区校级期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方体ADD1A1和ABCD的中心，G是C1C的中点，设GF、C1F与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于　 　．

16．（5分）（2018秋•博望区校级期末）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直l1的直线分别交l1，l2于A，B两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率　 　．
三.解答题：本大题6小题，共70分.
17．（10分）（2018秋•博望区校级期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣m≥0，命题q：实数m满足：方程表示双曲线．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）（2017秋•衡阳县期末）如图所示，F1，F2分别为椭圆C：1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．

19．（12分）（2013秋•中山期末）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

20．（12分）（2018秋•博望区校级期末）已知直线y＝x﹣m与抛物线y2＝2x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．
（1）当m＝2时，证明：OA⊥OB
（2）若y1y2＝﹣2m，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

22．（12分）（2016•怀柔区模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（2，），Q（2，）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．


2018-2019学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为（　　）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】29：规律型；38：对应思想；5L：简易逻辑．
【分析】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．
【解答】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，
考察四个命题，（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．
2．（5分）（2016秋•安顺期末）若向量（1，0，z）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则z等于（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】M6：空间向量的数量积运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】利用空间向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】解：∵向量（1，0，z）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，
∴cos，
解得z＝0．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）（2013•张店区校级模拟）以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】解：双曲线 的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为 ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
4．（5分）（2001•上海）a＝3是直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行且不重合的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型．
【分析】两个方面分析本题，分别当a＝3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a＝3时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+4＝0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a＝3
综上所述，a＝3是两直线平行且不重合的充要条件．
故选：C．
【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．
5．（5分）（2018秋•博望区校级期末）平面内一点M到两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）的距离之和为10，则M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由定点F1和F2的坐标可得|F1F2|的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段F1F2，即可得答案．
【解答】解：根据题意，两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）则|F1F2|＝10，
而动点M到两定点F1（0，﹣5）和F2（0，5）的距离之和为10，
则M的轨迹为线段F1F2，
故选：D．
【点评】本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．
6．（5分）（2011•未央区校级模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A． B． C． D．
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．
【解答】解：∵




故选：A．
【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．
7．（5分）（2014•甘肃二模）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2＝6，那么|AB|＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法．
【分析】抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|＝x1+x2+2，由此易得弦长值．
【解答】解：由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝﹣1，
∵抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|＝x1+x2+2，
又x1+x2＝6
∴∴|AB|＝x1+x2+2＝8
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．
8．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成600的二面角，则B，D两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO＝BO，DO⊥AC，BO⊥AC，∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．
【解答】解：菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成600的二面角，
取AC中点O，连结DO，BO，BD，
则AO＝BO，
DO⊥AC，BO⊥AC，
∴∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，
∴∠DOB＝60°，
∴B，D两点的距离为BD．
故选：B．

【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
9．（5分）（2016秋•运城期末）试在抛物线y2＝﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．
【解答】解：∵y2＝﹣4x
∴p＝2，焦点坐标为（﹣1，0）
依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，
故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x，
则该点坐标为：（，1）．
故选：A．

【点评】本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．
10．（5分）（2018秋•博望区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB＝BC＝1，AA1＝2，那么A到直线A1C的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC，A1C，再根据等面积可得答案．
【解答】解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：
根据长方体得性质可得：A1A⊥平面ABCD．
因为AB＝BC＝1，AA1＝2，
所以AC，A1C，
根据等面积可得：AE．
故选：C．

【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．
11．（5分）（2019•内蒙古一模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【考点】L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；
根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；
根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；
例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．
【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF，∴△BEF的面积为定值EF×1，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα，α＝30°；当F与B1重合时tanα，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选：D．

【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．
12．（5分）（2011•天心区校级模拟）若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）
A．， B． C． D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围．
【解答】解：渐近线方程为y＝±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10＝0
设（k2﹣1）x2+4kx+10＝0的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴，∴k＜﹣1，
∴
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．
二.填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2018秋•博望区校级期末）已知（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2垂直，则k的值为　　．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出k与2的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k的方程，得到结果．
【解答】解：∵（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴kk（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2）
22（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
∵k与2垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4＝0，
∴k，
故答案为：
【点评】本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目．
14．（5分）（2014秋•烟台期末）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　x+2y﹣8＝0　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k．再由由点斜式可得l的方程．
【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率
k．
由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8＝0．
【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．
15．（5分）（2018秋•博望区校级期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方体ADD1A1和ABCD的中心，G是C1C的中点，设GF、C1F与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于　　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、C1E与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．
【解答】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B（0，2，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F（1，1，0），C1（0，0，2），E（2，1，1），
则，（1，1，﹣1），（2，1，﹣1），
∴．cosβ，
∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ1，又0＜α+β＜π，
∴α+β．
故答案是．

【点评】本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．
16．（5分）（2018秋•博望区校级期末）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直l1的直线分别交l1，l2于A，B两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率　　．
【考点】83：等差数列的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
【解答】解：设双曲线方程为 由 ，同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，），
∴渐近线斜率为：，∴
∴|AB|2＝（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）＝（|OB|﹣|OA|）2|AB|，
∴
∴
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB
而由对称性可知：OA的斜率为k＝tan（）
∴，∴2k2+3k﹣2＝0，∴；
∴，∴
∴
故答案为．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据 ，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．
三.解答题：本大题6小题，共70分.
17．（10分）（2018秋•博望区校级期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣m≥0，命题q：实数m满足：方程表示双曲线．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）∀x∈R，x2+x﹣m≥0恒成立，可得△＝1+4m≤0，从而求得m的范围；
（Ⅱ）由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵∀x∈R，x2+x﹣m≥0恒成立，
∴△＝1+4m≤0，解得m，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，]；
（Ⅱ）∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题，
当q为真命题时，则（m﹣1）（4﹣m）＜0，解得m＞4或m＜1．
∴q为假命题时，1≤m≤4．
由（1）知，p为假命题时m．
从而，即1≤m≤4．
∴实数m的取值范围为1≤m≤4．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．
18．（12分）（2017秋•衡阳县期末）如图所示，F1，F2分别为椭圆C：1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．

【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆定义可得a＝2，将点代入椭圆方程求得b2＝3，从而得到c＝1，写出椭圆方程和焦点坐标；
（2）由条件求出直线PQ的方程，联立椭圆方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，可求|y1﹣y2|，
再由面积公式|F1F2|•|y1﹣y2|计算即得．
【解答】解：（1）由题设知：2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得 ，得b2＝3
∴c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
故椭圆方程为，
焦点F1、F2的坐标分别为（﹣1，0）和（1，0）．
（2）由（1）知，
∴，∴PQ所在直线方程为，
由得
设P （x1，y1），Q （x2，y2），则，
∴，
∴．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2013秋•中山期末）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【分析】根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：
（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos求出cos然后根据cos0则异面直线BE与AC所成角即为，若cos0则异面直线BE与AC所成角即为π进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos求出cos，再根据若cos，0则直线BE和平面ABC的所成角为，，若cos，0则直线BE和平面ABC的所成角为，然后再根据诱导公式和cos，的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴，
∴COS …（5分）
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为（6分）
（2）设平面ABC的法向量为 则
知
知取，…（8分）
则（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为（12分）

【点评】本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！
20．（12分）（2018秋•博望区校级期末）已知直线y＝x﹣m与抛物线y2＝2x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．
（1）当m＝2时，证明：OA⊥OB
（2）若y1y2＝﹣2m，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】（1）问题转化为证明•0，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；
（2）假设存在m，使得，则⇔x1x2+y1y2＝﹣1⇔•y1y2＝﹣1，代入y1y2＝﹣2m即可．
【解答】解：（1）m＝2时，联立得x2﹣6x+4＝0，则x1+x2＝6，x1x2＝4，
∴•x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝2x1x2﹣2（x1+x2+4＝2×4﹣2×6+4＝0，
∴OA⊥OB．
（2）假设存在m使得•1，
则 x1x2+y1y2•y1y22m＝m2﹣2m＝﹣1，解得m＝1．
故存在m＝1符合题意．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
21．（12分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．
（2）由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由（1）的结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，
所以AE⊥PD．

解：（Ⅱ）设AB＝2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，，
所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时，
因此．又AD＝2，所以∠ADH＝45°，
所以PA＝2．
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，
在Rt△AOE中，，，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，，
又，
在Rt△ESO中，，
即所求二面角的余弦值为．

【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠ESO．其解题过程为：作∠ESO→证∠ESO是二面角的平面角→计算∠ESO，简记为“作、证、算”．
22．（12分）（2016•怀柔区模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（2，），Q（2，）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝﹣2上，可得﹣b＝﹣2，解得b．又，a2＝b2+c2，联立解得即可．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：k（x﹣2），与椭圆的方程联立化为416＝0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝﹣2上，
∴﹣b＝﹣2，解得b＝2．
又，a2＝b2+c2，
∴a＝4，，
可得椭圆C的标准方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，
可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，
直线PA的方程为：k（x﹣2），
联立，
化为416＝0，
∴x1+2，
同理可得：x2+2，
∴x1+x2，x1﹣x2，
kAB．
∴直线AB的斜率为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
4．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
5．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；
（3）分配律：（）••（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
6．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有•1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（　　）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3），∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
7．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
8．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
9．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
10．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

11．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
12．圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．
13．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
14．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个多边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征

根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．

5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．

15．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

16．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无

17．平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
两平面平行
无
α∥β

两平面相交
有一条公共直线
α∩β＝l

18．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作•，即•||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（）•（）

（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：

利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2（2，﹣4，1），且（0，2，﹣1），则•　﹣7　
分析：通过2（2，﹣4，1），且（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2（2，﹣4，1），且（0，2，﹣1），
∴（1，﹣3，1），
∴•1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
19．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
20．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
21．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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