考点02 导数与函数的单调性-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02导数与函数的单调性

一、单选题

1．（2021·江苏高三其他模拟）函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．和

【答案】B

【分析】

先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.

【详解】

的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.

2．（2021·全国高三专题练习（理））若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围.

【详解】

依题意在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，

，

在上递增，，

所以.

所以的取值范围是.

故选：B

3．（2021·浙江高二单元测试）函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求导，，由即可得解.

【详解】

函数的定义域是，，

令，解得，

故函数在上单调递减，

选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.

4．（2020·江西省宜春实验中学高二月考（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.

【详解】

由的图象可知，在上为增函数，

且在上存在正数，使得在上为增函数，

在为减函数，

故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，

故排除A，B.

由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.

故选：D.

【点睛】

本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.

5．（2020·肇州县实验高中高二期中（理））如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：

①-2是函数的极值点；

②1是函数的极值点；

③的图象在处切线的斜率小于零；

④函数在区间上单调递增.

则正确命题的序号是

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

【答案】D

【详解】

根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D

点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号

6．（2020·全国高二课时练习（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．

考点：利用导数研究函数的单调性.

7．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））设在上单调递增，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

对于命题，先根据函数的单调性求出参数，再根据小范围推出大范围，大范围推不出小范围，进而判断命题间的充分必要性.

【详解】

解：∵在内单调递增，所以恒成立，即恒成立，得，即，即；

而，所以是的充分不必要条件.

故选:A.

【点睛】

(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

8．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）设函数，则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，利用导数可判断的单调性，结合题意，化简整理，即可得答案.

【详解】

由题意得：所以为奇函数，

又，

因为，当且仅当x=0时等号成立，

所以，所以在上单调递增，

所以，

所以，解得

故选

9．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（理））下列函数中，值域为且在定义域上为单调递增函数的是（    ）

A． B．

C． D．以上都正确

【答案】B

【分析】

根据对数型函数的单调性和导数的性质进行判断即可.

【详解】

解：对于A，的定义域为，

在上，是减函数，是增函数，

从而得出在上是减函数，

从而在定义域上该函数不是增函数，即该选项错误，故A错误；

对于B，该函数的定义域为，

，∴该函数的值域为，

在上是增函数，是增函数，

∴该函数在定义域上是增函数，故B正确；

对于C，，时，；时，，

∴在定义域上没有单调性，故C错误；

对于D，由AC错误，得D错误.

故选：B.

10．（2021·甘肃高三一模（理））已知函数，则（   ）

A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增

C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增

【答案】D

【分析】

根据奇偶函数的定义判断奇偶性，根据导数确定函数的单调性.

【详解】

因为，,定义域关于原点对称，

且，

所以是偶函数，

当时，，

所以在单调递增，

故选：D

11．（2021·宁夏固原市·固原一中高三一模（理））已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.

【详解】

因为，所以函数在上单调递减，

由于所以，得

故选：D

【点睛】

关键点点晴：判断函数的单调性是解题的关键.

12．（2020·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟）若函数在区间是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

分单调递增、单调递减两种情况进行讨论，从而可转化为（或）恒成立，进而转化为求函数的最值即可．

【详解】

因为函数在区间是单调函数，

若函数在区间是单调递增函数，

则在区间上恒成立；

所以在区间上恒成立，

又当时，，

所以；

若数在区间是单调递减函数，

则在区间上恒成立；

所以在区间上恒成立，

又当时，，

所以；

综上所述，.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．

13．（2017·福建高考真题（理））已知对任意实数，有，且时，，则时

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B

14．（2018·安徽高考真题（理））设函数则（ ）

A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数

【答案】A

【解析】

，则．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以在处取到极大值，故选A

15．（2017·浙江高考真题）    函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

16．（2017·山东高考真题（理））若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.

【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．

(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．

17．（2019·全国高考真题（理））若函数在是增函数，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

试题分析：由条件知在上恒成立，即在上恒成立．

∵函数在上为减函数，

∴,

∴．

故选D．

考点：函数的单调性与导数的关系．