考点02 推理与证明-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02推理与证明

1．（2021·广西玉林市·高二期中（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式的左边（    ）

A．增加了一项

B．增加了两项，

C．增加了一项，又减少了一项

D．增加了两项，，又减少了一项

【答案】D

【分析】

根据题意，分别写出当和时，左边的式子，两式比较，即可求解.

【详解】

由题意，当时，左边为，

当时，，

两式比较，可得从递推到时，不等式的左边增加了两项，，又减少了一项.

故选：D.

2．（2021·陕西咸阳市·高二期中（理））下面几种推理是合情推理的是（    ）

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是；

③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；

④三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是

A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④

【答案】B

【分析】

由类比推理和归纳推理的定义逐个判断即可得解.

【详解】

合情推理分为类比推理和归纳推理，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有类似特征的推理称为类比推理；由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的推理是归纳推理；

对比选项，可得①属于类比推理，②④属于归纳推理，

所以是合情推理的是①②④.

故选：B.

3．（2021·山西省古县第一中学高二期中（理））用数学归纳法证明，在验证时，左边的代数式为（    ）

A． B．

C． D．1

【答案】A

【分析】

将代入计算可得结果.

【详解】

解：代入为：.

故选：A

4．（2021·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））用反证法证明命题∶“，，，且，则，，，中至少有一个负数”时的假设为（　　）

A．，，，全都大于等于 B．，，，全为正数

C．，，，中至少有一个正数 D．，，，中至多有一个负数

【答案】A

【分析】

用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立，直接写出即可.

【详解】

“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于或等于0”，所以用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a,b,c,d全都大于或等于0”.

故选：A

5．（2021·山西高二期中（理））某公司制造了一个人工智能机器人，程序设计师的程序是让机器人每一秒前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向前进（1步的距离为一个单位长度），令表示第秒机器人所在位置的坐标，记，则（    ）

A．403 B．404 C．405 D．406

【答案】C

【分析】

由题意可知此运动以5秒为一时间段，每段时间向前移动一个单位，本题只需将2021除以5，观察商及余数即可，逐一运算得解．

【详解】

解：从计时开始，此运动以5秒为一时间段，每段时间先向前移动3步，再向后移动2步，结果是向前移动一个单位，

，

从开始计算的404个5秒组共前进到数轴上404的位置，下一秒应是向右在前进一步，到达405的位置，即,

故选：C．

6．（2021·江西省兴国县第三中学高二月考（理））观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，，猜想第n（n∈N+）个等式应为（    ）

A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n－1）+n=10n－9

C．9n+（n－1）=10n－9 D．9（n－1）+（n－1）=10n－10

【答案】B

【分析】

根据所给的四个式子依次归纳出规律，从而可得结论

【详解】

解：第1个等式：化为，

第2个等式：化为，

第3个等式：化为，

第4个等式：化为，

……，

由此可得第n（n∈N+）个等式应为，

故选：B

7．（2021·广西玉林市·高二期中（理））指数函数都是增函数，（大前提）：函数是指数函数，（小前提）；所以函数是增函数.（结论）.上述推理错误的原因是（    ）

A．小前提不正确 B．大前提不正确

C．推理形式不正确 D．大､小前提都不正确

【答案】B

【分析】

根据指数函数的单调性及演绎推理即可得到答案.

【详解】

大前提错误.因为指数函数（，且）在时是增函数，而在时为减函数.

故选：B

8．（2021·西安市信德中学高二期中（理））下面给出的类比推理中，结论正确的是（    ）

A．由“”类比推出“”

B．由“”类比推出“”

C．由“边长为的正三角形的面积为”类比推出“棱长为的正四面体的体积为”

D．由“若三角形的周长为，面积为，则其内切圆的半径”类比推出“若三棱锥的表面积为，体积为，则其内切球的半径”

【答案】D

【分析】

由向量的数量积运算判断A；举实例判断B；通过空间几何体的计算判断C、D.

【详解】

A，由向量的数量积运算知，，A错误；

B，由“”类比推出“”，不正确，

比如时，可得，B错误；

C，如图，

可求出，，

，

棱长为的正四面体的体积为，C错误；

D，设三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，

，所以内切球半径，D正确.

故选：D

9．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二期末（理））我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定，类比上述方法，则正数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.

【详解】

令，即，即，解得(舍)，故

故选：B.

10．（2021·山西运城·高二期中（理））已知，类比这些等式，若（a，b均为正整数），则（    ）

A．72 B．71 C．55 D．42

【答案】B

【分析】

分析式子的特点找出规律，用归纳推理求解即可

【详解】

由题可知，规律可表示为，

故可得，则．

故选：B

11．（2021·江西（理））将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（    ）

A．193 B．192

C．174 D．173

【答案】A

【分析】

根据题意，分析可得第行的第一个数字为，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、，

则第行的第一个数字为，

则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；

故选：A．

12．（2021·广西南宁三中高二月考（理））某程序执行后的输出结果为△〇△△〇△△△〇△△△△〇△△△△△〇，按这种规律往下排，则第个图形（    ）

A．是△ B．是〇

C．是△的可能性大 D．是〇的可能性大

【答案】A

【分析】

从图形中寻找规律，△和〇交替出现，其中〇每次只出现1个，而△每次出现都比前面多1个，由此规律可得结论．

【详解】

观察可知△与交替出现，到第个圆共有个图形，当时，共有个图形，当时，共有个图形，所以第个图形是△．

故选：A．

13．（2021·全国高三其他模拟（理））从一个边长为3的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程．若按照上述规律，则第四个图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

找出相邻图形的边长之间的关系，以及相邻图形边数之间的关系进行求解即可．

【详解】

设曲线的边长分别为，，，，边长个数为，，，，
设周长为（），，，

，，，

，，，，

，，，，

故选：D．

14．（2021·陕西省洛南中学高二月考（理））甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（    ）

A．乙、丁可以知道自己的成绩

B．乙可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．丁可以知道四人的成绩

【答案】A

【分析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一判断即可得解．

【详解】

解：因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好，

又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀，一位良好，

又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩，

又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩，

即乙、丁可以知道自己的成绩，

故选：A．

15．（2021·安徽高三二模（理））“干支(gānzhī)纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称.甲､乙､丙､丁戊､已､庆､辛､壬､癸十个符号叫天干，子､丑､實､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥十二个符号叫地支，千支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；……共得60种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支丧”，周而复始干支纪年以每年立春换年，是中华民族的伟大发明.2021年是干支纪年中的辛丑年，则2035年是干支纪年中的（    ）

A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．甲巳年

【答案】B

【分析】

由题意把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，再根据2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年即可求出答案

【详解】

解：因为2021年是干支纪年中的辛丑年，
，
，
所以2035年是“乙”年，
所以2035年是“卯”年
所以2035年是干支纪年中的乙卯年，
故选： B．

16．（2019·北京高考真题（理））学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)

A．2人 B．3人 C．4人 D．5人

【答案】B

【详解】

试题分析：用分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得的学生最多只有个，语文成绩得也最多只有个，得的最多只有个，因此人数最多只有人，显然满足条件，故选B．

考点：合情推理的应用．

17．（2018·湖北高考真题（理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

18．（2020·陕西高考真题（理））为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是

A．11010 B．01100 C．10111 D．00011

【答案】C

【详解】

A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；

B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；

C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；

D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；

故选C．

19．（2019·广东高考真题（理））如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)

【答案】，12，

【解析】

当多面体的棱数由n增加到n+1时，所确定的直线的条数将增加n+1，由递推关系f(n+1) -f(n)=n+1我们能够求出答案．从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为12对．能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为，进而得到f(n)的表达式．

20．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】5       

【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.

【详解】

（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.