考点05 导数与不等式-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点05导数与不等式

一、单选题

1．（2021·黑龙江全国·高二期中（理））已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是

A．     B．   C．    D．

【答案】D

【详解】

试题分析：由题意得在函数定义域内恒成立，即在函数定义域内恒成立，即在函数定义域内恒成立，设，则，当上，函数单调递增；当上，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，所以实数的取值范围是，故选D．

考点：函数的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．

2．（2020·四川乐山市·高二期中（理））设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数在上的单调性，根据函数在上单调性结合已知进行求解即可.

【详解】

，

因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，

因此当时，恒成立，一定有成立，

即，因为，所以有.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.

3．（2019·六盘山高级中学高二月考（理））若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设，不等式对任意实数x都成立，只需，用导数法求出，即可求解.

【详解】

,

当时，，当时，，

的递减区间是，递增区间是，

所以取得极小值，也是最小值，

，

不等式对任意实数x都成立，

所以.

故选:D.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于基础题.

4．（2020·全国（理））.设函数在上的导函数为,且.下面的不等式在上恒成立的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

可令f(x)＝x2＋，则f(x)满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.

5．（2020·重庆西南大学附中高三月考）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．

【详解】

，

所以在上恒成立，

等价于在上恒成立，

因为时，，所以只需在上递减，

即，恒成立，即时，恒成立，即恒成立，

只需，所以，故选：B

6．（2020·浙江省柯桥中学高三开学考试）已知是实数，，则“”是“恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

变形可得，即求的最小值，利用导数可求其单调性，即可求得最小值为，即可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】

可等价为，

设，，

，，

所以在为单调递增函数，

所以，即，

所以“”是“” 的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题考查恒成立问题，充分、必要条件的判定，利用导数判断函数的单调性等知识，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.

7．（2021·浙江高三其他模拟）若实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

构造函数证得，从而得到，结合均值不等式得到方程组，解之即可.

【详解】

证明不等式，

令，，

故在上单调递减，在上单调递增，

，故证明成立；

又因为≥，且仅当a=时成立

又因为

故与题意联立，得

令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=

解得a=，b=，

故选：C.

【点睛】

构造函数证明不等式，然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到方程组，需要较强的抽象思维能力.

8．（2021·浙江高三其他模拟）已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意可得，构造函数，对其求导判断单调性，根据单调性即可判断四个选项的正误，进而可得正确选项.

【详解】

因为，且，可得，即，

令，则，所以，

所以在上单调递增，

对于选项A：由可得，即，故选项A正确；

对于选项B：由可得，即，得不出

，故选项B不正确；

对于选项C：由可得，即，因为 ，所以，可得，故选项C正确；

对于选项D：由可得，即，故选项D正确；

所以不一定正确的是选项B，

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数，并根据单调性比较大小.

9．（2021·江苏南京市·高三一模）已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，，正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】

构造函数，利用导数判断的单调性，由此判断不等式正确的个数.

【详解】

构造函数，，

所以在区间上，递增；在区间上递减，

由于，所以，

所以：，

，

，

所以不等式正确的个数为.

故选：D

10．（2021·江西高三其他模拟（理））若正实数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用基本不等式可得（当且仅当时取等号），利用熟知的结论（当且仅当时取等号）进行放缩可得到，结合已知条件，得到，考虑到各不等式取等号的条件，解得的值，然后逐一检验即可做出正确判断.

【详解】

先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.

设,则,

在(0,1)上，,单调递减;在(1,+∞)上，,单调递增.

故,

∴恒成立，且当且仅当时取等号.

由,

由已知，∴，

且，解得,

经检验只有B正确，

故选：B.

【点睛】

本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论恒成立，且当且仅当时取等号进行研究，得到，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和取等号的条件，才能列出方程组求得的值.

11．（2021·济南市·山东省实验中学高二月考）已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出函数在上的最值，等价于，解出即可．

【详解】

因为，所以，

当时，对任意的，，恒有；

当时，, 恒有，

所以在上是单调递增函数，对任意的，不等式 恒成立, 只要，

又，,

所以，即, 解得,

所以的取值范围是．

故选：B．

12．（2021·重庆高三三模）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．

【详解】

解：设，则对一切正实数恒成立，即，

由，令，则恒成立，

所以在上为增函数，

当时，，当时，，

则在上，存在使得，

当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在，上单调递增，

所以函数在处取得最小值为，

因为，即，

所以恒成立，即，

又，当且仅当，即时取等号，

故，所以．

故选：C．

【点睛】

方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

13．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】

∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】

本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

14．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

15．（2019·辽宁高考真题（理））若，则下列不等式恒成立的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于，当 时，，而 ，所以A选项不正确；对于，当 时，，所以B选项不正确；令 ，则，对 恒成立，在 上为增函数，所以的最小值为 ，所以，，故C正确；令 ，则，

令，得.当 时，，当时， .

在 时取得最小值，所以D不正确．

故选：C

考点定位：本题考查不等式恒成立问题，意在考查考生用构造函数的方法，利用导数求最值来比较大小的能力

16．（2020·江苏高考真题）对于总有成立，则=______________．

【答案】4

【解析】

本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．

要使恒成立，只要在上恒成立．

当时，，所以，不符合题意，舍去．

当时，即单调递减，，舍去．

当时

① 若时在和上单调递增，

在上单调递减．

所以

② 当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去．综上可知a=4.