初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试同步训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试同步训练题，共63页。
第二十四章 圆 难题复习
一．选择题（共23小题）
1．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）

A． B． C．2 D．4
2．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）

A．2+ B．1+ C．2+ D．2﹣2
3．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣2 B．2π﹣2 C．2π+2 D．2π+2
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC˃6，则AC长为（　　）

A．6+ B．8+ C．6+2 D．8+2
7．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．2
8．如图，ABDC为⊙O的内接四边形，且CD平分∠ADE，ED与⊙O相切．若，则＝（　　）

A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（　　）

A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形
C．＝2 D．BC＝2CE
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）

A．25 B．25 C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．
13．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（　　）

A．9 B．3+4 C．10 D．6
14．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　）

A．2 B． C． D．
15．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
16．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（　　）

A．3 B．2 C．+1 D．不能确定
18．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（　　）

A． B． C． D．
19．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（　　）

A． B． C．4 D．5
20．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（　　）

A．MB＝3 B．EF＝4 C．FD∥AB D．EF＝EG
21．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）

A． B．7﹣4 C． D．1
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　）

A．32 B．36 C．40 D．48
23．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共10小题）
24．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 　 　．

25．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是　 　．

26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 　 　．

27．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 　 　．

28．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为　 　，CD的长为　 　．

29．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为　 　．

30．已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为　 　．

31．如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为　 　．

32．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为　 　．

33．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为　 　．

三．解答题（共5小题）
34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．

35．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．

36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．

37．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．

38．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC，交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当D是OA的中点，AB＝8时，求CF的长．


第二十四章 圆 难题复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）

A． B． C．2 D．4
【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的长，进而可得△OBC的面积．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，

∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
2．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）

A．2+ B．1+ C．2+ D．2﹣2
【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC＝PH，求出PH的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．

∵BA＝AH，BC＝CP，
∴AC＝PH，
∴当PH的值最大时，AC的值最大，
∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AH＝AB，
∴∠HOB＝90°，
∴OH＝OB＝2，
∵PH≤OH+OP，
∴PH≤2+2，
∴PH的最大值为2+2，
∴AC的最大值为+1．
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交EF于点M，连接OB，则O，E，B三点一定共线，设OM＝1，则OD＝ON＝2，再求得EF，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积之比，根据△DEF的面积为1，则可得△ABC的面积．
【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交EF于点M，连接OB，

∵△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，
设OM＝1，则OE＝ON＝2，
∵∠OEM＝∠OBN＝30°，
∴OB＝4，EM＝，EF＝2，BN＝2，BC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12，
∴S△DEF＝×2×3＝3，
∴＝＝4，
∴当△DEF的面积为1，
则△ABC的面积为4．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内接圆与内心，三角形外接圆与外心，勾股定理、垂径定理，直角三角形的性质，明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键．
4．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣2 B．2π﹣2 C．2π+2 D．2π+2
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，连接OF，过点O作OH⊥AB于H．
在Rt△OFH中，FH＝＝＝，
∵AH＝BH＝，
∴AF＝﹣，
∴S△DAF＝•AD•AF＝×2×（﹣）＝2﹣2，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）﹣S△ADF＝•[π•（2）2﹣2×2]﹣（2﹣2）＝2π﹣2，
故选：A．

【点评】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
6．如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC˃6，则AC长为（　　）

A．6+ B．8+ C．6+2 D．8+2
【分析】解：连接DA，DC，EO，BC．∵E是中点，推OE垂直平分AC，∵D是半圆中点，推FD垂直平分AC，∴D、E、F、O在同一条直线上，∵F是AC的中点，O是AB中点，推OF是△ABC的中位线，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC长．
【解答】解：连接DA，DC，EO，BC．
∵E是中点，
∴OE垂直平分AC，
∴F是AC的中点．
∵AC为⊙F的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵D是半圆中点，
∴FD垂直平分AC，
∴D、E、F、O在同一条直线上，DA＝DC，∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝45°．
∴DF＝AF．
设EF＝x，DF＝AF＝x+2，OF＝6﹣x
∴AC＝2x+4．
∵F是AC的中点，O是AB中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴BC＝2OF＝12﹣2x．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
122＝（4+2x）2+（12﹣2x）2，
x＝2±2．
∵AC˃6，
∴x＝2+2．
AC＝8+2．
故选：D．

【点评】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，掌握这三定理的熟练应用，证明D、E、F、O在同一条直线上是关键．
7．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．2
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG＝2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE＝FG，根据相交弦定理得BD•DC＝DE•DF，而BD、DC的长易知，DE＝2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
【解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD•DC＝DE•DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．
8．如图，ABDC为⊙O的内接四边形，且CD平分∠ADE，ED与⊙O相切．若，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据CD平分∠ADE，由角平分线定理得，可得＝＝，根据ED与⊙O相切可得∠EDC＝∠EBD，证明△EDC∽△EBD，对应边成比例即可求出结论．
【解答】解：∵CD平分∠ADE，
∴由角平分线定理可知：，
∴＝＝，
∵ED与⊙O相切
∴∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBD，
∴＝＝，
∴＝•＝．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（　　）

A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形
C．＝2 D．BC＝2CE
【分析】根据圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定等矩形逐一判断即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
故A正确；
∵DF与⊙O相切，
∴OD⊥DF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∴∠EHD＝90°，
∴四边形DHEF为矩形，
故B正确；

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵＝，
∴＝2，
故C正确；
∵∠BAC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
即∠BCE＝67.5°，
∴∠EBC＝22.5°，
∴sin∠EBC＝sin22.5°＝≠．
∴BC≠2CE，
故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定，解决本题的关键是掌握圆的切线．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度．
【解答】解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴＝，
∴HD2＝PD•BD，
同理可证CD2＝PD•BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝3，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝10，
∴AH＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AP＝5，
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出∠HDP＝90°．
11．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）

A．25 B．25 C． D．
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：连OC，如图，

∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
12．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．想办法求出EC，DE，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．

∴AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，
∴EM＝EN，DH＝DH，
∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，
∴EM＝EN＝，
∵∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴CN＝EN＝，
∴EC＝，
∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，
∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），
∴AG＝BH，
同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），
∴CG＝CH，
∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，
∴CG＝DG＝7，
∴CD＝7，
∴DE＝7﹣＝，
∴＝＝．
解法二：过点A作AH⊥BC于H，连接OD．

证明△AHE∽△DOE，求出AH，OD，可得结论．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（　　）

A．9 B．3+4 C．10 D．6
【分析】设EC＝a，EB＝b．证明△PAC∽△PDB，可得＝＝＝，推出可以假设PA＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，再证明△EAB∽△EDC，可得＝＝，构建方程组，求出a，b即可．
【解答】解：设EC＝a，EB＝b．
∵∠APC＝∠DPB，∠A＝∠D，
∴△PAC∽△PDB，
∴＝＝＝，
∴可以假设PA＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，
∴CD＝k，AB＝6k，
∵∠E＝∠E，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴＝＝，
∴＝＝，
可得a＝，b＝，
∴EC+EB＝a+b＝10，
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，

∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE＝＝，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．
则AB+BC的最大值是+1．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
15．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线＝圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．
【解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．

∵AB⊥CD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴OC⊥AF，
∴∠AJO＝∠CEO＝90°，
∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，
∴△AJO≌△CEO（AAS），
∴OJ＝OE，
∴AE＝CJ，
∵AB是直径，
∴∠F＝∠CJT＝90°，
∵AE＝BF，
∴BF＝CJ，
∵∠CTJ＝∠BTF，
∴△CTJ≌△BTF（AAS），
∴CT＝BT，
∵TH⊥AB，CD⊥AB，
∴TH∥CE，
∴EH＝BH，
∵＝，
∴∠TBF＝∠TBH，
∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，
∴△BTF≌△BTH（AAS），
∴BF＝BH，
∵AE＝BF，
∴AE＝BH，
∵OA＝OB，
∴OE＝OH＝1，
∴EH＝BH＝2，
∴AE＝BH＝2，
∴AB＝6，OC＝OB＝3，
∴EC＝＝＝2，
∴BC＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（　　）

A．3 B．2 C．+1 D．不能确定
【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA+DC＝2DF，求出DF即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．

∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠BDE＝∠BDF，
∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，
∴△BDE≌△BDF（AAS），
∴BE＝BF，DE＝DF，
∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，
∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），
∴AE＝CF，
∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，
∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，
∴BF＝BD＝，
∴DF＝＝＝，
∴DA+DC＝3，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F，求两个弓形的面积之差即可；
【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．

当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×＝5，
S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，
当∠A＝60°时，
过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，
∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，
S弓形AD′＝﹣×10×5＝π﹣25，
∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（　　）

A． B． C．4 D．5
【分析】如图，当点B与A重合时，连接CD．证明OE＝AC，此时OE的值最大．
【解答】解：如图，当点B与A重合时，连接CD．

∵BD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴CD是直径，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED，
∵OC＝OD，
∴OE＝AC＝4，
此时OE的值最大，最大值为4
∴OE的最大值为4，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（　　）

A．MB＝3 B．EF＝4 C．FD∥AB D．EF＝EG
【分析】连接OC，根据圆周角定理和垂径定理得到∠OMC＝90°，CM＝DM，求得OM＝3，得到BM＝2，故A选项错误；连接AF，OF，求得∠AFB＝90°，根据切线的性质得到∠OFE＝90°，求得∠AFO＝∠EFG，推出∠EFG＝∠EGF，得到EF＝EG，故D选项正确；根据射影定理得到EF＝4，故B选项错误；连接AD，则∠BAD＝∠BFD，根据三角函数值推出∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，于是得到FD与AB不平行，故C 选项错误．
【解答】解：连接OC，
∵AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，
∴∠OMC＝90°，CM＝DM，
∵AB＝10，CD＝8，
∴OC＝5，CM＝4，
∴OM＝3，
∴BM＝2，故A选项错误；
连接AF，OF，
∴∠AFB＝90°，
∵过F作圆O的切线EF，
∴∠OFE＝90°，
∴∠AFO＝∠EFG，
∵∠A+∠B＝∠B+∠BGM＝90°，
∴∠BGM＝∠A，
∵∠A＝∠AFO，∠BGM＝∠DGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，故D选项正确；
∵3DE＝4OM，
∴DE＝4，CE＝12，
∴EF2＝DE•CE＝48，
∴EF＝4，故B选项错误；
连接AD，则∠BAD＝∠BFD，
∵GM＝EM﹣EG＝8﹣4，
∴tan∠MBG＝＝4﹣2，tan∠BAD＝＝＝≠tan∠MBG，
∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，
∴FD与AB不平行，故C 选项错误，
故选：D．

【点评】本题考查了切线的性质，射影定理，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）

A． B．7﹣4 C． D．1
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　）

A．32 B．36 C．40 D．48
【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT＝TB＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．

∵PB是⊙O的直径，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴BC＝2x＝12，
∴S△ABC＝•AB•BC＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．
23．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到的度数＝＝72°求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD求得∠CGD＝108°，于是得到∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝，
∴AO⊥BE，故①正确；
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°，
∴∠COD＝72°，
∵∠COD＝2∠CAD，
∴∠CAD＝36°；
连接CD

∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝＝＝，
∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，
∴∠CGD＝108°，
∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；
连接AB，AE，
∴∠MBA＝∠MAB＝36°，
∴AM＝BM，
∵∠MAN＝36°，∠ANM＝∠DAE+∠AEB＝72°，
∴AM≠MN，
∴BM≠MN③错误！则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，
∵AB＝AE，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM＝EN＝AM＝AN，
∵∠MAN＝36°，
∴AM≠MN，∴③错误．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
24．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 　　．

【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可．
【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．

∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π．
故答案为：2+2+π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n'°的圆心角所对的弧的长度为．
25．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是　　．

【分析】设正方形的边长为2a，则AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，则DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，利用勾股定理得出ax+ay+xy＝a2，再由S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，得出a2＝，从而求出a，得到r．
【解答】解：设⊙O与AD相切于M，与EF相切于N，与CF相切于G，

设正方形的边长为2a，
∴AM＝DM＝DG＝CG＝a，
设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，
在Rt△DEF中，
∵DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，
∴（x+y）2＝（a﹣x）2+（a﹣y）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，
∴4a2﹣＝，
∴，
∴，
∵a＞0，
∴a＝，
∴AB＝2a＝3，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 　　．

【分析】如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．证明CF＝ET，求出ET的最大值即可．
【解答】解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．

∵AC＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC•tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，
∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，
∴CF＝ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
27．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 　2﹣2　．

【分析】如图，连接AC，OC．证明点N在⊙T上，运动轨迹是，过点T作TH⊥AB于H．求出BT，TN，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，OC．

∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵CNO+∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH•tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝＝＝2，
∵BN≥BT﹣TN，
∴BN≥2﹣2，
∴BN的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
28．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为　120°　，CD的长为　　．

【分析】连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，由AE为直径，可得∠ACE＝∠ABE＝90°，由点D是△ABC高线的交点，可得BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∠CFB＝∠CGA＝90°，利用四边内角和可求∠FDG＝120°，利用对顶角性质∠ADB＝∠FDG＝120°，可证四边形CDBE为平行四边形，可得CD＝BE，由＝，可得∠ACB＝∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，可求BE＝AB×tan30°＝．
【解答】解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AB×tan30°＝8×＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直径所对圆周角，同弧所对圆周角性质，四边形内角和，平行四边形判定与性质，特殊角的三角函数，掌握同弧所对圆周角性质，平行四边形判定与性质，特殊角的三角函数值是解题关键．
29．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为　3+　．

【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝3，
∴的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为3+．
故答案为：3+．

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
30．已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为　　．

【分析】如图，连接OD，AC．首先证明∠ACE＝∠ABE＝45°，推出∠AOD＝2∠ACE＝90°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD，AC．

∵BA＝BE＝BC，
∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE＝∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是证明∠ACE＝45°．
31．如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则的长为　π　．

【分析】连接OC、OD、BD．根据图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积求出半径R，再根据弧长公式的长度．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BD．

∵C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠BOD，
∴CD∥OB，
∴S△OCD＝S△BCD，
∴图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积，
∴，
∴R＝3，
∴的长为＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积是解题的难点．
32．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为　+　．

【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
33．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为　或　．

【分析】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴HC＝3，
∵∠AHC＝90°，AC＝5，
∴cosC＝＝＝，
∴DC＝，
∴BD＝＝，
①⊙O与AC相切时，切点为D，
∵半径为，
∴OD＝，
∵BD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；
②⊙O与BC相切时，切点为M，
∴OM⊥BC，
∴∠BMO＝∠BDC＝90°，
∵∠MBO＝∠DBC，
∴△MBO∽△DBC，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝；
③⊙O与AB相切时，切点为N，
∴ON⊥AB，
∴∠BNO＝∠BDA＝90°，
∵∠NBO＝∠DBA，
∴△NBO∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝．

当圆O与AB相切时，OB的长为，
∵BD＝，
∵＞，
也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，
故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．
综上所述，AP的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ABD＝∠ACF，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到DE＝GE，于是得到结论；
（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，根据圆周角定理得到∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，求得∠AHB＝∠BFC＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CF，推出△AFC为等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据切线的性质得到OA⊥AG，根据平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，于是得到答案．
【解答】解：（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACG＝∠ACD，
又∵∠GEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△CEG≌△CED（ASA），
∴DE＝GE，
又CE⊥GD，
∴点G和D关于直线AC成轴对称；
（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，
如图，∵BE⊥AC，AF⊥CG，
∴A、G、F、E四点共圆，B、F、C、E四点共圆，
∴∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，
∴∠AHB＝∠BFC＝90°，
又∵∠AFG＝∠CFB＝90°，AG＝CB，
∴△AGF≌△CBF（AAS），
∴AF＝CF，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
又OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵AG与⊙O相切，
∴OA⊥AG，
∴BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝112.5°．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．

【分析】（1）由题意连接OC，依据垂直平分线的性质得出∠EBC＝∠ECB，进而利用切线得出∠OBE＝90°，OB⊥BE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，进而利用OD2+BD2＝OB2，得到R，最后根据三角函数求出∠BOC，从而运用劣弧BC＝得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，即∠OBE＝∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴OB⊥BE，
∵OB是半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，
在Rt△OBD中，BD＝BC＝，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得R＝4，
∴OD＝2，OB＝4，
∴cos∠BOD＝，
∴∠BOD＝60°，
又OD⊥BC，OB＝OC，得∠BOC＝120°，
∴劣弧BC＝．
【点评】本题主要考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的切线性质以及利用方程思想结合勾股定理与三角函数求值是解决本题的关键．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．

【分析】（1）连接OB、BF，综合圆周角的基本性质以及题意推出∠DBC＝∠OBF，从而结合直径所对的圆周角证明∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）连接AF，延长BO交AF于点H点，推出四边形ACBH为矩形，先求出半径，然后根据题意推出△ADE∽△BOE，从而结合相似三角形的性质求出AD，然后结合垂径定理求出OH，得出AC的长度，从而得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OB、BF，

则∠OBF＝OFB，
根据圆周角的性质，∠BFO＝∠BAC，
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BFO，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵DF为⊙O的直径，
∴∠DBF＝∠DBO+∠OBF＝90°，
∴∠DBO+∠DBC＝90°，即∠OBC＝90°，且OB为半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AF，延长BO交AF与H点，

∵DF为直径，
∴∠DAF＝90°，且∠C＝∠OBC＝90°，
∴四边形ACBH为矩形，
∴∠OHA＝90°，
根据垂径定理：AF＝2AH，
∵DE＝6，EF14，
∴DF＝20，DO＝BO＝10，EO＝DO﹣DE＝4，
∵HB∥AC，
∴△ADE∽△BOE，
∴，可得AD＝15，
在Rt△ADF中，AF＝＝5，
∴AH＝HF＝AF＝，
在Rt△OHF中，OH＝＝，
∴HB＝AC＝OH+BO＝，
∴CD＝AC﹣AD＝﹣15＝，
即CD的长度为．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定以及相似三角形的判定与性质，熟记圆相关的基本性质与定理，灵活运用相似三角形求解是解题德的关键．
37．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．

【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；
【解答】解：（1）如图1，

∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
【点评】考查了圆的相关性质及定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
38．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC，交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当D是OA的中点，AB＝8时，求CF的长．

【分析】（1）连接OF，由垂直得∠DBC+∠C＝90°，同圆半径相等推∠OBC＝∠OFB，再由已知条件EF＝EC推∠C＝∠EFC，等量代换的90°的角从而证出EF是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径，得角90°，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出CF的长．
【解答】（1）证明：连接OF，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠OBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴，
∴BD＝3OD＝6，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵CD＝AB＝8，
由勾股定理得：BC＝10，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴，
∴
∴，
∴．

【点评】本题考查了勾股定理、切线的判断，圆的有关性质，相似三角形，掌握这些定理性质的熟练应用，90°、相似三角形的判定是解决本题的关键．